Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{gathered}\n mx + 2m > 0 \hfill \\\n \frac{{2x + 3}}{5} > 1 - \frac{{3x}}{5} \hfill \\ \n\end{gathered} \right.$. Xét các mệnh đề sau:
(I) Khi m < 0 thì hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm.
(II) Khi m = 0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.
(III) Khi $m \geqslant 0$ thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \[\left( {\frac{2}{5}; + \infty } \right)\] .
(IV)Khi m > 0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \[\left( {\frac{2}{5}; + \infty } \right)\].
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng ?
Hệ bất phương trình vô nghiệm khi giao 2 tập nghiệm của hai bất phương trình bằng rỗng, …
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn D
Với m < 0 thì $\left\{ \begin{gathered}\n mx > - 2m \hfill \\\n x > \frac{2}{5} \hfill \\ \n \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n x < - 2 \hfill \\\n x > \frac{2}{5} \hfill \\ \n \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset$. Vậy (I) đúng.
Với m = 0 thì $\left\{ \begin{gathered}\n mx > - 2m \hfill \\\n x > \frac{2}{5} \hfill \\ \n \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n\n 0x > 0 \hfill \\\n x > \frac{2}{5} \hfill \\ \n \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset $. Vậy (II)
Với m > 0 thì $\left\{ \begin{gathered}\n mx > - 2m \hfill \\\n x > \frac{2}{5} \hfill \\ \n \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n x > - 2 \hfill \\\n x > \frac{2}{5} \hfill \\ \n \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x > \frac{2}{5}$. Vậy (III) , (IV) đúng.
Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{gathered}\n \left( {x + 3} \right)\left( {4 - x} \right) > 0 \hfill \\\n x < m - 1 \hfill \\ \n\end{gathered} \right.$ vô nghiệm khi
Hệ bất phương trình vô nghiệm khi giao 2 tập nghiệm của hai bất phương trình bằng rỗng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A
\[\left\{ \begin{gathered}
\left( {x + 3} \right)\left( {4 - x} \right) > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
- 3 < x < 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\].
Hệ bất phương trình vô nghiệm $m - 1 \leqslant - 3 \Leftrightarrow m \leqslant - 2$.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để hệ bất phương trình $\left\{ \begin{gathered}\n 3\left( {x - 6} \right) < - 3 \hfill \\\n \frac{{5x + m}}{2} > 7 \hfill \\ \n\end{gathered} \right.$ có nghiệm.
Hệ bất phương trình vô nghiệm khi giao 2 tập nghiệm của hai bất phương trình khác rỗng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A
$\left\{ \begin{gathered}\n 3\left( {x - 6} \right) < - 3 \hfill \\\n \frac{{5x + m}}{2} > 7 \hfill \\ \n\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n 3x < 15 \hfill \\\n 5x + m > 14 \hfill \\ \n\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n x < 5 \hfill \\\n x > \frac{{14 - m}}{5} \hfill \\ \n\end{gathered} \right.$.
Hệ bất phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow \frac{{14 - m}}{5} < 5 \Leftrightarrow 14 - m < 25 \Leftrightarrow m > - 11$.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình $\left\{ \begin{gathered}\n x - 3 < 0 \hfill \\\n m - x < 1 \hfill \\ \n\end{gathered} \right.$ vô nghiệm.
Hệ bất phương trình vô nghiệm khi giao 2 tập nghiệm của hai bất phương trình bằng rỗng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn D
$\left\{ \begin{gathered}\n x - 3 < 0 \hfill \\\n m - x < 1 \hfill \\ \n\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n x < 3 \hfill \\\n x > m - 1 \hfill \\ \n\end{gathered} \right.$.
Hệ bất phương trình vô nghiệm $ \Leftrightarrow m - 1 \geqslant 3$$ \Leftrightarrow m \geqslant 4$.
Cho bất phương trình: ${m^2}\left( {x + 2} \right) \leqslant {m^2}\left( {x + 1} \right)$(1). Xét các mệnh đề sau:
(I) Bất phương trình tương đương với $x + 2 \leqslant x + 1$ (2).
(II) Với$m = 0$, bất phương trình thoả mãn $\forall x \in \mathbb{R}$.
(III) Với mọi giá trị $m \in \mathbb{R}$ thì bất phương trình vô nghiệm.
Mệnh đề nào đúng?
Xét từng mệnh đề.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A
+) Với m = 0 thì (1) trở thành : ${0^2}.\left( {x + 2} \right) \leqslant {0^2}.\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow 0 \leqslant 0$( đúng $\forall x \in \mathbb{R}$).
Vậy (II) đúng ,(III) sai.
+) Với m = 0 thì (2) $\Leftrightarrow 2 \leqslant 1$(sai). Bất phương trình vô nghiệm.
Vậy khi $m = 0$ hai bất phương trình (1) và (2) không tương đương. (I) sai.
Giá trị nào của \[m\] thì phương trình \[{x^2} - mx + 1 - 3m = 0\] có 2 nghiệm trái dấu?
Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có 2 nghiệm trái dấu $ \Leftrightarrow ac < 0.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A
${\text{ycbt}} \Leftrightarrow a.c < 0$$ \Leftrightarrow 1 - 3m < 0$$ \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}$.
Tìm tham số thực \[m\] để phương trình \[\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\] có 2 nghiệm trái dấu?
Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có 2 nghiệm trái dấu $ \Leftrightarrow ac < 0.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn D
${\text{ycbt}} \Leftrightarrow a.c < 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) < 0$
$\Leftrightarrow m \in \left( {1;{\text{ }}3} \right)$.
Các giá trị m làm cho biểu thức \[f\left( x \right) = {x^2} + 4x + m - 5\] luôn luôn dương là
$f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\, > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a > 0 \hfill \\ \Delta < 0 \hfill \\ \n\end{gathered} \right..$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn C
$f\left( x \right) = {x^2} + 4x + m - 5 = \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + m - 9 = {\left( {x + 2} \right)^2} + \left( {m - 9} \right)$.
Cho \[f\left( x \right) = m{x^2} - 2x - 1\]. Xác định \[m\] để \[f\left( x \right) < 0\]với mọi \[x \in \mathbb{R}\].
$f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\, < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a < 0 \hfill \\ \Delta < 0 \hfill \\ \n\end{gathered} \right..$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A
TH1. $m = 0$
Vậy $m = 0$ không thỏa yêu cầu bài toán.
TH2
\[f\left( x \right) = m{x^2} -
Ta có :\[{\left( {x - \frac{1}{m}} \right)^2} \geqslan
\[{\text{ycbt}}\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m < 0 \hfill \\
- 1 - \frac{1}{m} < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m < 0 \hfill \\
\frac{{ - m - 1}}{m} < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow - m - 1 > 0\]\[ \Leftrightarrow m < - 1\] thỏa điều kiện).
Cho hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n {x - 7 \leqslant 0} \\ \n {mx \geqslant m + 1} \n\end{array}} \right.$. Xét các mệnh đề sau
(I): Với $m < 0$, hệ luôn có nghiệm.
(II): Với $0 \leqslant m < \frac{1}{6}$, hệ vô nghiệm.
(III): Với $m = \frac{1}{6}$, hệ có nghiệm duy nhất.
Mệnh đề nào đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn D
Với m < 0 thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n {x - 7 \leqslant 0} \\ \n {mx \geqslant m + 1} \n\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n {x \leqslant 7} \\ \n {x \leqslant \frac{{m + 1}}{m}} \n\end{array}} \right.$. Hệ này luôn có nghiệm . Vậy (I) đúng.
Với $m = \frac{1}{6}$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n {x - 7 \leqslant 0} \\ \n {\frac{1}{6}x \geqslant \frac{1}{6} + 1} \n\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n {x \leqslant 7} \\ \n {x \geqslant 7} \n\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 7$.
Hệ này có nghiệm duy nhất. Vậy (III) đúng.
Với m > 0 thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n {x - 7 \leqslant 0} \\ \n {mx \geqslant m + 1} \n\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n {x \leqslant 7} \\ \n {x \geqslant \frac{{m + 1}}{m}} \n\end{array}} \right.$.
Hệ này vô nghiệm nếu $\frac{{m + 1}}{m} > 7$ $\Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{m} - 7 > 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - 6m}}{m} > 0 \Leftrightarrow 1 - 6m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{6}.$
Với m = 0 thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n {x - 7 \leqslant 0} \\ \n {mx \geqslant m + 1} \n\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n {x \leqslant 7} \\ \n {0x \geqslant 1} \n\end{array}} \right.$. Hệ này vô nghiệm.
Vậy (II) đúng.