Phương trình $({x^2} -4x -1)\sqrt {x - 4} = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
Dùng điều kiện để đánh giá biểu thức trong phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định: $x \ge 4$
Ta có $x=4$ là một nghiệm
Nếu $x > 4$ thì $\sqrt {x - 4} > 0$. Do đó phương trình tương đương $({x^2}-4x -1)\sqrt {x - 4} = 0 \Leftrightarrow {x^2} -4x -1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 + \sqrt 5 \\ x = 2-\sqrt 5 \end{array} \right.$
Thay $x=2+\sqrt 5 , x=2-\sqrt 5 $ vào phương trình thấy $x=2+\sqrt 5 $ thỏa mãn.
Vậy phương trình có 2 nghiệm.
Đáp án là B.
Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ${x^2} -3x+2 = 0$?
Tìm tập nghiệm và so sánh tập nghiệm của hai phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${x^2} - 3x+2 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 2\\\nx = 1\n\end{array} \right.$. Tập nghiệm $S = {\rm{\{ }} 2;1\} $
Đáp án A: $(x - 2)({x^2} -2x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 1\end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_1} = {\rm{\{ }} 1;2\} $=$S$
Đáp án B: $(2 + x)( - {x^2} + 2x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = 1 + \sqrt 2 \\ x = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_2} = {\rm{\{ }} - 2;1 + \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 {\rm{\} }}$
Đáp án C: $\sqrt {{x^2} - 3} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 2$. Tập nghiệm ${S_3} = {\rm{\{ }} \pm 2\} $
Đáp án D: ${x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$. tập nghiệm ${S_4} = {\rm{\{ }}2\} $
Vậy đáp án đúng là A.
Cho hai phương trình $2x(x - 3) = 3(x - 3)(1)$ và $\dfrac{{2x(x - 3)}}{{x - 3}} = 3(2)$ khẳng định nào sau đây đúng?
Dựa vào định nghĩa và định lý về phương trình tương đương và hệ quả.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 3 = 0\\ 2x-3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = \dfrac{3}{2} \end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_1} = {\rm{\{ }}\dfrac{3}{2};3\} $
$(2) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 3 \ne 0\\ x = \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$. tập nghiệm ${S_2} = {\rm{\{ }}\dfrac{3}{2}\} $
Vì ${S_2} \subset {S_1}$ nên phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2)
Vậy đáp án đúng là A
Phương trình ${x^6} + 2017{x^3} - 2019 = 0$ có bao nhiêu nghiệm âm?
Đặt $t = {x^3}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = {x^3}$ phương trình trở thành ${t^2} + 2017t - 2019 = 0(1)$
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu suy ra phương trình ban đầu có hai nghiệm trái dấu
Suy ra phương trình ban đầu có 1 nghiệm âm.
Vậy đáp án đúng là A.
Phương trình $\dfrac{{x - m}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}(1)$có nghiệm duy nhất khi:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ x \ne - 1 \end{array} \right.$
Phương trình (1) trở thành:
$\dfrac{{x - m}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} \Leftrightarrow (x - m)(x - 1) = (x - 2)(x + 1) \Leftrightarrow {x^2} - x - mx+m = {x^2} - x - 2 \Leftrightarrow mx = m + 2(2)$
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác $1$ và $-1$.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \dfrac{{m + 2}}{m} \ne 1\\ \dfrac{{m + 2}}{m} \ne - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m + 2 \ne m\\ m + 2 \ne - m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ 2 \ne 0\\ m \ne - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m \ne - 1 \end{array} \right.$
Vậy đáp án đúng là C.
Nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} y(x+1)+x = 3\\ {x^2}y + {y^2}x = 2\end{array} \right.$ là :
Đặt $S = x + y,P = xy({S^2} - 4P \ge 0)$
Khi đó phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l} P + S = 3\\ PS = 2 \end{array} \right.$
Tìm $S,P$ suy ra $x,y$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $S = x + y,P = xy({S^2} - 4P \ge 0)$
Khi đó phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l} P + S = 3\\ PS = 2 \end{array} \right.$
Suy ra $S,P$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} X = 2\\ X = 1 \end{array} \right.$
Khi $S=1;P=2$(loại)
Khi $S=2;P=1$(nhận) thì $x;y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - 2X + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} X = 1 \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của hệ là $(1;1)$
Đáp án đúng là C.
Phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} + {y^2} = 2x\\\n{(x - 1)^3} + {y^3} = 1\n\end{array} \right.$ có nghiệm là:
$\left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} + {y^2} = 2x\\\n{(x - 1)^3} + {y^3} = 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{(x - 1)^2} + {y^2} = 1\\\n{(x - 1)^3} + {y^3} = 1\n\end{array} \right.$
Đặt $a=x-1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} + {y^2} = 2x\\\n{(x - 1)^3} + {y^3} = 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{(x - 1)^2} + {y^2} = 1\\\n{(x - 1)^3} + {y^3} = 1\n\end{array} \right.$
Đặt $a=x-1$ ta được:
$\left\{ \begin{array}{l}\n{a^2} + {y^2} = 1\\\n{a^3} + {y^3} = 1\n\end{array} \right.$. Suy ra $- 1 \le a,y \le 1$.
Mặt khác ta cũng có ${a^3} = 1 - {y^3} = (1 - y)(1 + y + {y^2}) \ge 0 \Rightarrow 0 \le a \le 1$
Tương tự ta cũng có: $0 \le y \le 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{a^2} \ge {a^3}\\\n{y^2} \ge {y^3}\n\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {y^3} = 1$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=1; y=0 $ hoặc $ a=0; y=1$
Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là $(1;1), (2;0)$
Đáp án đúng là B.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n2{x^2}y - {y^2}x = 1\\\n8{x^3} - {y^3} = 7\n\end{array} \right.$ có bao nhiêu nghiệm?
Biến đổi phương trình (2) $8{x^3} - {y^3} = 7.1 \Leftrightarrow 8{x^3} - {y^3} = 7(2{x^2}y - {y^2}x)$ đưa về phương trình tích
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}\n8{x^3} - {y^3} = 7(2{x^2}y - {y^2}x) \Leftrightarrow 8{x^3} - 14{x^2}y + 7x{y^2} - {y^3} = 0\\ \Leftrightarrow (x - y)(4x - y)(2x - y) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ny = x\\\ny = 2x\\\ny = 4x\n\end{array} \right.\n\end{array}$
Thay vào phương trình (1) ta tìm được nghiệm của hệ phương trình là:
$(x;y) = (1;1),( - \dfrac{1}{2}; - 2)$
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm.
Đáp án đúng là A.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} - {y^2} + xy = 1\\\n3x + y = {y^2} + 3\n\end{array} \right.$ có mấy nghiệm?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} - {y^2} + xy = 1\\\n3x + y = {y^2} + 3\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} - 1 + xy = {y^2}\\\n3x + y - 3 = {y^2}\n\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} - 1 + xy = 3x + y - 3 \Leftrightarrow {x^2} + (y - 3)x - y + 2 = 0$
Đây là phương trình bậc hai với ẩn $x$ có: $\Delta = {y^2} - 6y + 9 - 4( - y + 2) = {(y - 1)^2}$
Suy ra $x=1$ hoặc $x=2-y$ thay vào 1 phương trình ta tìm được các nghiệm là: $(1;0), (1;1), (5;-3)$
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Đáp án đúng là D.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 2{x^2}{y^2}\\ (x + y)(1 + xy) = 4{x^2}{y^2} \end{array} \right.$ có mấy nghiệm?
Xét $x=0,y=0$ là nghiệm của hệ
Xét $x,y \ne 0$ chia cả 2 vế của hệ cho ${x^2}{y^2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét $x=0,y=0$ là nghiệm của hệ
Xét $x,y \ne 0$ chia cả 2 vế của hệ cho ${x^2}{y^2}$ ta được hệ:
$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 2\\ (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y})(2 + \dfrac{2}{{xy}}) = 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y})^2} - \dfrac{2}{{xy}} = 2\\ (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y})(2 + \dfrac{2}{{xy}}) = 8 \end{array} \right.$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\\ b = 2 + \dfrac{2}{{xy}} \end{array} \right.$ hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l} ab = 8\\ {a^2} - b = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {a^3} = 8 \Rightarrow a = 2;b = 4$
Với $a=2, b=4$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 2\\ 2 + \dfrac{2}{{xy}} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 2\\ xy = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 \end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm $(x;y)=(1;1)$ và $(x;y)=(0;0)$
Đáp án đúng là C