Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình $2x-4=0$ ?
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$. Tập nghiệm $T = {\rm{\{ }}2\} $
Đáp án A: $(x - 1)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 1 = 0\\ x + 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 2 \end{array} \right.$. Tập nghiệm ${T_1} = {\rm{\{ }}1; - 2\} $
Đáp án B: $x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$. Tập nghiệm ${T_2} = {\rm{\{ }} - 1\} $
Đáp án C: $2x - 2 = 0 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1$. Tập nghiệm ${T_3} = {\rm{\{ }}1\} $
Đáp án D: $x -2 = 0 \Leftrightarrow x =2$. Tập nghiệm ${T_4} = {\rm{\{ }} 2\} $
Ta thấy $T = {T_4}$ nên đáp án đúng là D.
Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{{x -17}}{{\sqrt {{x^2} + 4x -5} }} - \sqrt {x+3} = 0$ là:
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 4x -5 > 0\\ x+3 \ge 0 \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định của phương trình là:
$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 4x -5 > 0\\ x+3 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x < - 5\\ x > - 1 \end{array} \right.\\ x \ge -3 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > -1$
Vậy điều kiện xác định của phương trình là $({-1}; + \infty )$.
Vậy đáp án đúng là C.
Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{{10x}}{{{x^2} +5x + 6}} - \dfrac{{3 +x}}{{{x^2} +8x + 15}} = \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} +7x + 10}}$ là:
Điều kiện xác định của phương trình chứa phân thức là mẫu thức khác không.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định của phương trình là:
$\left\{ \begin{array}{l} {x^2}+5x + 6 \ne 0\\ {x^2} + 8x + 15 \ne 0\\ {x^2} + 7x + 10 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x \ne- 2\\ x \ne -3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x \ne -3\\ x \ne -5 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x \ne -2\\ x \ne-5 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne -2\\ x \ne -3\\ x \ne -5 \end{array} \right.$
Vậy đáp án đúng là C.
Trong các phương trình sau phương trình nào tương đương với phương trình ${x^2} = 16$ ?
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${x^2} = 16 \Leftrightarrow x = \pm 4$. Tập nghiệm $S = {\rm{\{ }} - 4;4\} $
Đáp án A: $x-4=0 \Leftrightarrow x = 4$ . Tập nghiệm ${S_1} = {\rm{\{ }}4\} $
Đáp án B: ${x^2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = - 1 \end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_2} = {\rm{\{ }} - 1;4\} $
Đáp án C: ${x^2} - 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset $. Tập nghiệm ${S_3} = \emptyset $
Đáp án D: $\left| x \right| = 4 \Leftrightarrow x = \pm 4$. Tập nghiệm ${S_4} = {\rm{\{ - 4;4\} }}$
Ta thấy $S = {S_4}$ nên đáp án đúng là D.
Tập nghiệm của phương trình $2x - \sqrt {2x - 8} = \sqrt {4 - x} + 8$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} 2x - 8 \ge 0\\ 4 - x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 4\\ x \le 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4$
Thử thấy $x=4$ là nghiệm của phương trình.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {\rm{\{ }}4\} $.
Đáp án đúng là B.
Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} -x-2} = \sqrt {2+x - {x^2}} $ là:
Dựa vào điều kiện để tìm nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - x-2 \ge 0\\ 2+x - {x^2} \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} - x-2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -1\\ x = 2 \end{array} \right.$
Thử $x=-1$, $x=2$ vào phương trình thấy thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $T = {\rm{\{ -1;}}2\} $
Vậy đáp án đúng là D.
Phương trình $\sqrt {{x^4}-7{x^3} +18 {x^2} -20x +8} = \sqrt {1 - x} $ có bao nhiêu nghiệm?
Tìm ĐKXĐ từ đó tìm nghiệm của phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} {x^4}-7{x^3}+18{x^2} -20x +8 \ge 0\\ 1 - x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {(x - 2)^3}(x - 1) \ge 0\\ x \le 1 \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow x \le1$
Thử thấy $x=1$ vào phương trình thấy $x = 1$ thỏa mãn.
Phương trình ban đầu tương đương với $\sqrt {{(x - 2)^3}(x - 1)}= \sqrt {1 - x} $
Với $x \ne1$ chia cả hai vế của phương trình cho $ \sqrt {x - 1} $ ta có
$\sqrt {{(x - 2)^3}}= -1$ (vô lý)
Vậy phương trình có 1 nghiệm.
Đáp án đúng là C.
Cho phương trình ${x^2} - x-2 = 0(1)$. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải hệ quả của phương trình (1).
Dựa vào định nghĩa của phương trình tương đương và hệ quả.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:${x^2} - x-2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -1\\ x = 2 \end{array} \right.$. Tập nghiệm $S = {\rm{\{ }}2;-1{\rm{\} }}$
Đáp án A: ${x^3}-4{x^2} + x+6 = 0. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = 2\\ x = - 1 \end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_1} = {\rm{\{ }}3;2; - 1{\rm{\} }}$
Đáp án B: $x -\dfrac{2}{{x - 1}} = 0 \Rightarrow {x^2} - x -2= 0$.
Đáp án C: ${({x^2} - x-2)^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x -2= 0$
Đáp án D: ${x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Tập nghiệm ${S_4} = {\rm{\{ }}1\} $
Ta thấy $S \subset {S_1},S \not\subset {S_4}$ nên đáp án đúng là D.
Phương trình $(m -2){x^2} - 2mx + m+1 = 0$ vô nghiệm khi:
Xét 2 trường hợp $\left[ \begin{array}{l} a = 0\\ a \ne 0 \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
- Với $m -2 = 0 \Leftrightarrow m = 2$. Khi đó phương trình trở thành $-4x +3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4}$.
- Với $m -2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2$. Ta có $\Delta \' = {m^2} - (m -2)(m + 1) = m + 2$
Phương trình vô nghiệm khi $\Delta \' < 0 \Leftrightarrow m + 2 < 0 \Leftrightarrow m < - 2$.
Vậy $m<-2$ thì phương trình vô nghiệm.
Đáp án đúng là B.
Phương trình $\left| {2x +2} \right| + \left| {{x^2} - 1} \right| = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
$\left| {2x +2} \right| + \left| {{x^2} - 1} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {2x +2} \right| = \left| {{x^2} - 1} \right| = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \left| {2x +2} \right| \ge 0\\ \left| {{x^2} - 1} \right| \ge 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left| {2x +2} \right| + \left| {{x^2} - 1} \right| \ge 0$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} \left| {2x +2} \right| = 0\\ \left| {{x^2} - 1} \right| = 0 \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = - 1\\\n\left[ \begin{array}{l}\nx = - 1\\\nx = 1\n\end{array} \right.\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1$
Thử thấy $x=-1$ là nghiệm của phương trình
Vậy số nghiệm của phương trình là 1.
Đáp án đúng là C.
Nghiệm của phương trình $\sqrt {(x - 5)(3 + x)} + 7\sqrt {x - 5} = 0$ là:
$\sqrt {(x - 5)(3 + x)} + 7\sqrt {x - 5} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x -5} (\sqrt {3+ x} + 7) = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} x - 5 \ge 0\\ (x - 5)(3 + x) \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 5\\ \left[ \begin{array}{l} x \le - 3\\ x \ge 5 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 5$
Với ĐKXĐ ta có:
$\sqrt {(x - 5)(3 + x)} + 7\sqrt {x - 5} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} (\sqrt {3 + x} + 7) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt {x - 5} = 0\\ \sqrt {3 + x} + 7 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5$
Vậy đáp án đúng là C.
Phương trình $21{x^4} - 26{x^2} - 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
Đặt $t = {x^2},t \ge 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = {x^2},t \ge 0$
Khi đó phương trình trở thành $21{t^2} - 26t - 1 = 0$. Ta có $ac=21.(-1)=-21<0$ nên có hai nghiệm trái dấu. Ta loại nghiệm âm. Do đó phương trình ban đầu có hai nghiệm.
Vậy đáp án đúng là B.
Gọi ${x_0}$ là nghiệm của phương trình $2 - \dfrac{4}{{x - 1}} = \dfrac{{12}}{{x + 3}} - \dfrac{{20}}{{(1- x)(x + 3)}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
$2 - \dfrac{4}{{x - 1}} = \dfrac{{12}}{{x + 3}} - \dfrac{{20}}{{(1 - x)(x + 3)}} \Rightarrow 2(1 - x)(x + 3) +4(x + 3) = 12(1 - x) - 20$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} x - 1 \ne 0\\ x + 3 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ x \ne - 3 \end{array} \right.$
Ta có:
$\begin{array}{l} 2 - \dfrac{4}{{x - 1}} = \dfrac{{12}}{{x + 3}} - \dfrac{{20}}{{(1 - x)(x + 3)}} \Rightarrow 2(1 - x)(x + 3) + 4(x + 3) = 12(1 - x) - 20\\ \Leftrightarrow -2{x^2}+12x +26 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =\dfrac{{3 + \sqrt {35} }}{2}(TM)\\ x =\dfrac{{3 - \sqrt {35} }}{2}(TM) \end{array} \right. \end{array}$
Vậy nghiệm của phương trình là ${x_0} = \pm \dfrac{{3 + \sqrt {35} }}{2}\\ $
Đáp án đúng là C.
Cho phương trình $\dfrac{{3mx - 2}}{{x + 2}} = 4(1)$ với giá trị nào của $m$ thì phương trình (1) có nghiệm?
(1) $\Leftrightarrow $ $\dfrac{{3mx - 2}}{{x + 2}} = 4 \Leftrightarrow 3mx - 2 = 4x + 8 \Leftrightarrow (3m - 4)x = 10$ (2)
Phương trình (1) có nghiệm $ \Leftrightarrow $ phương trình (2) có nghiệm khác $-2$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $x \ne - 2$
Phương trình (1) trở thành $\dfrac{{3mx - 2}}{{x + 2}} = 4 \Leftrightarrow 3mx - 2 = 4x + 8 \Leftrightarrow (3m - 4)x = 10$ (2)
Phương trình (1) có nghiệm $ \Leftrightarrow $ phương trình (2) có nghiệm khác $-1$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3m - 4 \ne 0\\ \dfrac{10}{{3m - 4}} \ne - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne \dfrac{4}{3}\\ m \ne \dfrac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.$
Vậy với $m \ne \dfrac{4}{3},m \ne \dfrac{{ -1}}{3}$ thì phương trình (1) có nghiệm
Đáp án đúng là B.
Với giá trị nào của $a$ thì hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x + y = 2\\ x +2 y = 4a +1 \end{array} \right.$ có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $x < y$
Giả hệ phương trình bằng phương pháp thế tìm được $x,y$ theo $a$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x + y = 2\\ x + 2y = 4a +1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - y\\ (2 - y) + 2y = 4a + 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - y\\ y = 4a - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = -4a+3\\ y = 4a-1 \end{array} \right.$
Nên ta có $x < y \Leftrightarrow -4a+3 < 4 a-1 \Leftrightarrow a > \dfrac{1}{2}$
Vậy đáp án đúng là B.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} y + \left| x \right| = 0\\ 4y +x = - 2 \end{array} \right.$ có nghiệm:
C1:
TH1: $x \ge 0$ thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} y + x = 0\\ 4y + x = -2 \end{array} \right.$
TH2: $x<0$ thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} y-x = 0\\ 4y+x = -2 \end{array} \right.$
C2: Thử nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1:
$\left\{ \begin{array}{l} y + \left| x \right| = 0\\ 4y + x = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ y + x = 0\\ 4y + x = - 2 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x < 0\\ y - x = 0\\ 4y + x = - 2 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{2}{3}\\ y = - \dfrac{2}{3} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - \dfrac{2}{5}\\ y = - \dfrac{2}{5} \end{array} \right. \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $[(\dfrac{2}{3}; - \dfrac{2}{3});( - \dfrac{2}{5}; - \dfrac{2}{5})$
Đáp án đúng là A.
Cách 2: Thử nghiệm
Với giá trị nào của $m$ thì hai đường thẳng sau trùng nhau $({d_1}):({m^2} +2)x - y + m - 6 = 0$ và $({d_2}):2x - y -6 = 0$
Hai đường thẳng trùng nhau khi hệ hai phương trình của chúng có vô số nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} ({m^2} +2)x - y + m -6 = 0\\ -2x - y + 6 = 0 \end{array} \right.(*)$
Để $({d_1}) \equiv ({d_2})$ thì phương trình (*) phải có vô số nghiệm.
Dễ thấy để (*) có vô số nghiệm thì : $\left\{ \begin{array}{l} {m^2} +2 = 2\\ m -6 =- 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m =0$
Vậy với $m=0$ thì hai đường thẳng trùng nhau.
Đáp án đúng là B.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 3(1)\\ y = 2x -m(2) \end{array} \right.$ có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi:
Thế $y$ từ (2) vào (1) được phương trình bậc hai ẩn $x$. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow $ phương trình đó có nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thế $y =2 x - m$ vào phương trình ${x^2} + {y^2} = 3$ ta được:
$5{x^2}- 4mx + {m^2} - 3 = 0$(*) có $\Delta\' = - {m^2} + 15$
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (*) có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta \' = 0 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt {15}$
Vậy đáp án đúng là D.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} - xy + 3{y^2} -x +3y -3 = 0(1)\\ x - y = 2(2) \end{array} \right.$ có nghiệm là:
C1: Rút $x$ ở phương trình (2) thế vào phương trình (1) giải phương trình bậc nhất hai ẩn tìm được $y$. Thay vào (2) tìm được $x$.
C2: Thử nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} - xy + 3{y^2} - x + 3y - 3 = 0\\ x - y = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{(2 + y)^2} - (2 + y)y + 3{y^2} - (2 + y) + 3y - 3 = 0\\ x = 2 + y \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4{y^2} + 8y + 3 = 0\\ x = 2 + y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} y = - \dfrac{1}{2}\\ x = \dfrac{3}{2} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} y = - \dfrac{3}{2}\\ x = \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $( \dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2});( \dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2})$
Đáp án đúng là C.
Cách 2: Thử nghiệm
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \left| {2x +1} \right| + 2y = 0\\ x -2 y = 3 \end{array} \right.$ có nghiệm là
$\left\{ \begin{array}{l} \left| {2x +1} \right| + 2y = 0\\ x -2 y = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 - x \ge 0\\ \left[ \begin{array}{l} 2x + 1 = 3 - x\\ 2x + 1 = - 3 + x \end{array} \right.\\ x -2 y = 3 \end{array} \right. $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left\{ \begin{array}{l} \left| {2x +1} \right| + 2y = 0\\ x -2 y = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 - x \ge 0\\ \left[ \begin{array}{l} 2x + 1 = 3 - x\\ 2x + 1 = - 3 + x \end{array} \right.\\ x -2 y = 3 \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \le 3\\\n\left[ \begin{array}{l}\nx = \dfrac{2}{3}\\\nx = - 4\n\end{array} \right.\\\nx - 2y = 3\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\left\{ \begin{array}{l}\nx = \dfrac{2}{3}\\\ny = - \dfrac{7}{6}\n\end{array} \right.\\\n\left\{ \begin{array}{l}\nx = - 4\\\ny = - \dfrac{7}{2}\n\end{array} \right.\n\end{array} \right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(\dfrac{2}{3}; - \dfrac{7}{6});( - 4; - \dfrac{7}{2})$
Đáp án đúng là C.