Điều kiện xác định của phương trình $\sqrt {4x + 2} = -2x + 1$ là:
Điều kiện xác định của phương trình chứa căn là điều kiện để biểu thức trong căn có nghĩa.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định của phương trình là:
$4x +2 \ge 0 \Leftrightarrow 4x \ge -2 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{-1}{2} \Leftrightarrow x \in {\rm{[}}\dfrac{-1}{2}; + \infty )$
Vậy đáp án đúng là B.
Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}} - 5 = \dfrac{3}{{{x^2} + 1}}$ là:
Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu là mẫu thức phải khác không.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì ${x^2} + 1 \ne 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Vậy đáp án là A.
Tập xác định của phương trình $\sqrt {2x - 4} + \dfrac{{{x^2} -7}}{{\sqrt {5 - x} }} = 0$ là:
Tập xác định của phương trình là tập tất cả các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định của phương trình là:
$\left\{ \begin{array}{l} 2x - 4 \ge 0\\ 5 - x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x < 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x < 5 \Leftrightarrow x \in {\rm{[}}2;5)$
hay tập xác định của phương trình là $D = {\rm{[}}2;5)$.
Vậy đáp án đúng là B.
Tập xác định của phương trình $\dfrac{{\sqrt {x + 5} }}{{2{x^2} +5x + 2}} - \dfrac{{x}}{{\sqrt {6 - 3x} }} = 0$ là:
Tập xác định của phương trình là tập tất cả các giá trị để phương trình xác định.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định của phương trình là:
$\left\{ \begin{array}{l} x+5 \ge 0\\2 {x^2} +5x + 2 \ne 0\\ 6 - 3x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge -5\\ \left\{ \begin{array}{l} x \ne -2\\ x \ne \dfrac{-1}{2} \end{array} \right.\\ x < 2 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 \le x < 2\\ \left\{ \begin{array}{l} x \ne - 2\\ x \ne - \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \end{array} \right.$
Hay tập xác định của phương trình là: $D = {\rm{[}} - 5;2)\backslash {\rm{\{ }} - 2; - \dfrac{1}{2}{\rm{\} }}$
Vậy đáp án là C
Phương trình $\sqrt{2x} = \sqrt { - 2x} $ có bao nhiêu nghiệm?
Từ việc tìm điều kiện ta có thể tìm nghiệm của phương trình một cách dễ dàng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} 2x \ge 0\\ - 2x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0$
Thử $x = 0$ vào phương trình ta thấy $x = 0$ là nghiệm.
Vậy phương trình có 1 nghiệm.
Vậy đáp án đúng là B.
Tập nghiệm của phương trình $\dfrac{{\sqrt {3x} }}{x} = \sqrt { - 4x} $ là:
Từ điều kiện xác định ta có thể suy ra nghiệm của phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} 3x \ge 0\\ x \ne 0\\ - 4x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ x \ne 0\\ x \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset $
Suy ra tập xác định của phương trình là $D = \emptyset $.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Vậy đáp án đúng là B.
Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{1}{{{x^2} - 4}} = \sqrt {2x +8} $ là:
Phương trình xác định khi mẫu thức khác không và biểu thức trong căn không âm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định của phương trình là:
$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4 \ne 0\\ 2x +8 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x \ne -2\\ x \ne 2 \end{array} \right.\\ x \ge - 4 \end{array} \right.$
Vậy điều kiện xác định của phương trình là ${\rm{[}} - 4; + \infty )\backslash {\rm{\{ }} \pm 2\} $
Vậy đáp án đúng là C.
Phương trình $\dfrac{{{x^2} + 3x - 2}}{{x - 3}} = \dfrac{{2x - 1}}{5}$ có tập nghiệm là:
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-3 \ne 0\\ 5({x^2} + 3x - 2) = (2x -1)(x - 3) \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $x-3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3$
Ta có: $\dfrac{{{x^2} + 3x - 2}}{{x - 3}} = \dfrac{{2x - 1}}{5} \Leftrightarrow 5({x^2} + 3x - 2) = (2x - 1)(x - 3) \Leftrightarrow 3{x^2}+22x -13 = 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = \dfrac{{ - 11 + 4\sqrt {10} }}{3}\\\nx = \dfrac{{ - 11 - 4\sqrt {10} }}{3}\n\end{array} \right.(TM)$
Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = {\rm{\{ }}\dfrac{{ - 11 \pm 4\sqrt {10} }}{3}{\rm{\} }}$
Đáp án đúng là B.
Cho phương trình $\dfrac{1}{4}{x^2} - (m +1)x + {m^2} - m + 5 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\Delta = {(m +1)^2} - 4.\dfrac{1}{4}({m^2} - m + 5) = 3m-4$.
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta > 0 \Leftrightarrow 3m-4 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{4}{3}$
Vậy đáp án đúng là B.
Phương trình ${x^2} - 2mx + {m^2} -5m +6 = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi:
Phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta \ge 0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình ${x^2} - 2mx + {m^2} -5m +6 = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi:
$\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4({m^2} -5m +6) \ge 0 \Leftrightarrow 20m -24 \ge 0 $$\Leftrightarrow m \ge \dfrac{6}{5}$
Vậy đáp án đúng là D.
Tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình ${x^2}-2x -8 = 0$ là:
Tìm 2 nghiệm của phương trình
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phương trình ${x^2} - 2x - 8 = 0$ có $\Delta = 36 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$, và $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 4\\ {x_2} = - 2 \end{array} \right.$
Suy ra ${x_1}^2 + {x_2}^2 = $$=16+4=20$
Vậy đáp án đúng là C.
Tập nghiệm $S$ của phương trình $\left| {5x - 1} \right| = 4 - 3x$ là:
$\left| {5x - 1} \right| = 4 - 3x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4-3x \ge 0\\ {\left| {5x - 1} \right|^2} = {(4 - 3x)^2} \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l} \left| {5x - 1} \right| = 4 - 3x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4 - 3x \ge 0\\ {\left| {5x - 1} \right|^2} = {(4 - 3x)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le \dfrac{4}{3}\\ 25{x^2} - 10x + 1 = 9{x^2} - 24x + 16 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le \dfrac{4}{3}\\16{x^2}+14x-15 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 14 \pm 34 }}{32} \end{array}$
Vậy nghiệm của phương trình là $ x1 = \dfrac{{ -3}}{2} $ và $ x2 = \dfrac{{5}}{8} $
Đáp án đúng là A.
Phương trình $\left| {5x - 4} \right| - 5x + 4 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
$\left| {5x - 4} \right| - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left| {5x - 4} \right| = 5x - 4$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left| {5x - 4} \right| - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left| {5x - 4} \right| = 5x - 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x - 4 \ge 0\\ 5x - 4 = 5x - 4 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow x \ge \dfrac{4}{5}$
Do đó phương trình có vô số nghiệm.
Vậy đáp án đúng là D.
Cho phương trình $2{x^2} - 4x + 2m - 1 = 0$ vô nghiệm khi:
Phương trình bậc hai vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta (\Delta \') < 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình $2{x^2} - 4x +2 m - 1 = 0$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow \Delta \' < 0 \Leftrightarrow 6- 4m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{3}{2}$
Vậy với $m>\dfrac{3}{2}$ thì phương trình vô nghiệm
Đáp án đúng là B.
Nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x + 3y+2z = 8(1)\\ 2x+2y + z = 6(2)\\ 3x+3y+z = 6(3) \end{array} \right.$ là:
C1: Rút $x$ từ (1) thay vào (2) (3) và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $z,y$
C2: Sử dụng máy tính bỏ túi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1:
Từ (1) ta có $x=8-3y-2z$ thay vào (2) và (3) ta được hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l} 2( - 3y - 2z + 8) + 2y + z = 6\\ 3( - 3y - 2z + 8) + 3y + z = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4y - 3z = - 10\\ - 6y - 5z = - 18 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = - 2\\ z = 6 \end{array} \right.$
$\Rightarrow x = 2$
Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(2;-2;6)$
Đáp án đúng là B.
Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi
Nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x -3y = 4\\ 2x +y = - 2 \end{array} \right.$ là:
C1: Rút $x$ từ phương trình (1) thế vào phương trình (2) $ \Rightarrow $ tìm $y$ $ \Rightarrow $ tìm $x$
hoặc Rút $y$ từ phương trình (2) thế vào phương trình (1) $ \Rightarrow $ tìm $x$ $ \Rightarrow $ tìm $y$
C2: Thử nghiệm
C3: Sử dụng máy tính bỏ túi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1: Ta có
$\left\{ \begin{array}{l} x -3y = 4\\ 2x +y = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4+3y\\ 2(4+3y) +y = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x =4+3y\\ y = -\dfrac{{10}}{7} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = -\dfrac{{2}}{7}\\ y = -\dfrac{{10}}{7} \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của phương trình là $(x;y) = (-\dfrac{{2}}{7};-\dfrac{{10}}{7})$
Đáp án đúng là A.
Cách 2: Thay $(x;y)$ của từng đáp án vào hệ, nếu thỏa mãn thì là nghiệm của hệ
Cách 3: Dùng MTBT
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:
- Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt :$\Delta > 0$
- Tổng hai số dương là một số dương
- Tích hai số dương là một số dương
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.$
Đáp án đúng là B.
Gọi $({x_0};{y_0};{z_0})$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x -3y +z = -7(1)\\ -4x +5 y + 3z = 6(2)\\ - x + 2y - 2z = 5(3) \end{array} \right.$. Tính giá trị của biểu thức $P = {x_0}+ {y_0} + {z_0}$
C1: Rút $x$ từ (1) và (3) lần lượt thay vào (2) được hệ phương trình bậc nhất với ẩn $y,z$.
C2: Sử dụng máy tính bỏ túi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình $(1) \Leftrightarrow x = 3y - z -7$. Thay vào (2) ta được:
$-4(3y - z -7) + 5y +3z = 6 \Leftrightarrow -7y +7z = - 22(*)$
Phương trình $(3) \Leftrightarrow x = 2y -2z - 5$. Thay vào (2) ta được:
$-4(2y -2z - 5) + 5y +3z = 1 \Leftrightarrow -3y + 11z = -19(**)$
Từ (*)(**) ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l} -7y +7z = - 22\\ -3y + 11z = -19 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \dfrac{18}{7}\\ z = -\dfrac{4}{7} \end{array} \right. \Rightarrow x = \dfrac{9}{7}$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $({x_0};{y_0};{z_0}) = (\dfrac{9}{7};\dfrac{{18}}{7}; - \dfrac{4}{7})$.
Suy ra $P = \dfrac{23}{7}$.
Đáp án đúng là B.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{y} = 10\\ \dfrac{2}{x} -\dfrac{1}{y} = 8 \end{array} \right.$ có nghiệm là:
Cách 1: Đặt $X = \dfrac{1}{x},Y = \dfrac{1}{y}$ giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn X, Y
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1:
ĐK: $x \ne 0,y \ne 0$
Đặt $X = \dfrac{1}{x};Y = \dfrac{1}{y}$ ta được
$\left\{ \begin{array}{l} X -2Y = 10\\ 2X - Y = 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X = 10+2Y\\ 2(10+2Y)-Y=8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X = 10+2Y\\ Y = -4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X = 2\\ Y = -4 \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{x} = 2\\ \dfrac{1}{y} = -4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{2}(TM)\\ y = -\dfrac{1}{4}(TM) \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của phương trình là $(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{4})$
Đáp án đúng là D.
Cách 2: Thử nghiệm
Cách 3: Dùng MTBT
Nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt 3 x + 2y = 10(1)\\ x - \sqrt 3 y = 0(2) \end{array} \right.$ là:
C1: Rút $x$ từ (2) thế vào (1) tìm $y$.
C2: Thử nghiệm
C3: Dùng MTBT
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1:
$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt 3 x +2 y = 10\\ x - \sqrt 3 y = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt 3 .\sqrt 3 y +2 y = 10\\ x = \sqrt 3 y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5y = 10\\ x = \sqrt 3 y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 2\\ x =2 \sqrt 3 \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $(x;y) = (2\sqrt 3 ;2)$
Đáp án đúng là A.
Cách 2: Thử nghiệm
Cách 3: Dùng MTBT