Khoảng cách từ điểm $M\left( {3;1} \right)$ đến đường thẳng $d: \left\{ {\begin{array}{} {x = 2 + 3t}\\ {y = t} \end{array}} \right.$ là:
Khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0)$ đến đường thẳng $\Delta : d(M;\Delta)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(2;0)$ và có VTCP là $\overrightarrow u =(3;1)$ nên VTPT là $\overrightarrow n =(1;-3)$.
Phương trình tổng quát của đường thẳng là $d:x - 3y - 2 = 0 \Rightarrow d\left( {M,d} \right) = \dfrac{{\left| {3 - 3.1 - 2} \right|}}{\sqrt{10}} =\dfrac{ \sqrt{10}}{5}$.
Vậy đáp án là A.
Cho điểm $A\left( {-1; 4} \right)$, $B\left( {3;0} \right)$. Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
Đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ thì vuông góc với $AB$ tại trung điểm của $AB$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử $\Delta$ là đường trung trực của $AB \Rightarrow \Delta$ vuông góc với $AB$ tại trung điểm của $AB$.
Tọa độ trung điểm $M$ của $AB$ là: $\left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 1\\ {y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = 2 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1; 2} \right)$.
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {4;-4} \right) =4 \left( {1;-1} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }} = \overrightarrow {AB} = \left( {1;-1} \right)$.
Do đó phương trình tổng quát của đường trung trực đoạn thẳng $AB$ là: $1\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y -2} \right) = 0 \Leftrightarrow x -y +1= 0$.
Vậy đáp án là B.
Cho đường thẳng $d:x - y + 3 = 0$ . Nếu đường thẳng $\Delta$ qua điểm $M\left( {1; - 1} \right)$ và song song với $d$ thì $\Delta$có phương trình:
Đường thẳng $d {//}d’$ nhận $\overrightarrow{u_{d’}} $ làm vectơ chỉ phương.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $d$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)$.
Do $\Delta$ qua điểm $M\left( {1; - 1} \right)$ và song song với $d$ nên $\Delta:{\rm{ }}1\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0$.
Vậy đáp án là C.
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $I\left( { \dfrac{1}{4};2} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình $2x - y + 4 = 0$.
Đường thẳng $d \bot d’$ nhận $\overrightarrow{n_{d’}} $ làm vectơ chỉ phương.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\overrightarrow {n_d}=(2;-1)$ nên đường thẳng $\Delta$ nhận $\overrightarrow {n_d}=(2;-1)$ là vectơ chỉ phương.
Do đó vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow {n_\Delta}=(1;2)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\left(x-\dfrac{1}{4}\right)+2(y-2)=0 \Rightarrow x + 2y - \dfrac{17}{4} = 0\Rightarrow 4x+8y-17=0$
Vậy đáp án là B.
Tìm $m$ để $\left( {{C_m}} \right):{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + 2mx - 2my +5m - 3 = 0$ là phương trình đường tròn ?
Phương trình $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $a^2+b^2-c>0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$(C_m)$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0 \Leftrightarrow {\left( { -m} \right)^2} + {m^2} - \left( {5m -3} \right) > 0$$\Leftrightarrow 2{m^2} - 5m + 3 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{3}{2} $ hoặc $m<1$.
Vậy đáp án là A.
Với những giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $\Delta :-x + 2 = 0$ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right):{(x - m)^2} + {y^2} = 9$.
Đường thẳng $d$ tiếp xúc với đường tròn $(C)$ thì khoảng cách từ tâm đường tròn đến $d$ bằng bán kính.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(C)$ có tâm $I\left( {m;0} \right)$ và bán kính $R=3$ nên theo đề bài ta được: $d\left( {I;\Delta } \right) = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {-m + 0.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{{-1}^2} + {0^2}} }} = 3\Leftrightarrow \left| {-m + 2} \right| = 3 \Leftrightarrow m = 5$ hoặc $m=-1$
Vậy đáp án là B.
Cho đường tròn $(C):\;{x^2} + {y^2} + 2x - 6y + 8 = 0$. Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $d:x + y +5 = 0$ là:
$\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi $d\left( {I,\Delta } \right) = R$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$(C)$ có tâm $I(-1;3)$ và bán kính $R = \sqrt {1 + 9 - 8} = \sqrt 2$.
Tiếp tuyến song song với $d$ nên có phương trình $\Delta :x + y + m = 0$
$\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi $d\left( {I,\;\Delta} \right) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 1 + 3 + m} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {m +2} \right| = 2$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m +2 = - 2\\ m +2 = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = -4 \Rightarrow \Delta:x + y -4= 0\\ m = 0 \Rightarrow \Delta:x + y = 0 \end{array} \right.$
Vậy đáp án là A.
.
Phương trình nào dưới đây là phương trình đường chuẩn của elip $\dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{10}}}}{\rm{ + }}\dfrac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{5}}}} = 1$?
Phương trình đường chuẩn $\Delta :x = \pm \dfrac{a}{e}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{10}}}}{\rm{ + }}\dfrac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{5}}}} = 1$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}( a = \sqrt {10} \\ b = \sqrt {5} \end{array} \right.$.
Từ công thức ${b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow c = \sqrt 5 $ .
Tâm sai của elip $e = \dfrac{c}{a} \Rightarrow e = \dfrac{1}{\sqrt2}$ .
Phương trình đường chuẩn $\Delta :x = \pm \dfrac{a}{e} \Rightarrow x = \pm 2\sqrt 5 $.
Vậy đáp án là D.
Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là $x+4=0$ và một tiêu điểm là điểm $(1;2)$.
Phương trình chính tắc của elip là $\dfrac{{{x^2}}}{a^2} + \dfrac{{{y^2}}}{b^2} = 1$
Phương trình đường chuẩn $x = \pm \dfrac{a}{e} \Rightarrow x = \pm 4\sqrt 5$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử phương trình chính tắc của elip là $\dfrac{{{x^2}}}{a^2} + \dfrac{{{y^2}}}{b^2} = 1$
Elip có một đường chuẩn là $x+4=0$ và một tiêu điểm là điểm $(2;0)$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}( c = 2\\ \dfrac{a}{e} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( c = 2\\ \dfrac{{{a^2}}}{c} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = 1\\ {a^2} = 8 \end{array} \right.$
Mặt khác ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 8 - 4 = 4$
Vậy $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.
Vậy đáp án là C.
Tìm phương trình chính tắc của elip nếu phương trình đường chuẩn của nó là $x = \pm 16$ và độ dài trục lớn là $8$?
Phương trình chính tắc của elip $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.$
Phương trình đường chuẩn $\Delta :x = \pm \dfrac{a}{e}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi phương trình chính tắc của elip $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.$
Phương trình đường chuẩn của elip là $x = \pm 16$ nên $\dfrac{a}{e} =16$ mà $e= \dfrac{{c}}{a} \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{c} =16$.
Độ dài trục lớn $ 2a = 8 \Rightarrow a = 4$
Thay vào công thức $\dfrac{{{a^2}}}{c} =16 \Rightarrow c = 1$
Từ công thức ${b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow b^2 = 15$.
Phương trình elip là $\dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{16}}}}{\rm{ + }}\dfrac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{15}}} = 1$.
Vậy đáp án là B.