Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua $A\left( { - 2;-3} \right)$ và $B\left( {1;1} \right)$ là
Đường thẳng $AB$ có VTCP là $\overrightarrow {AB} $ .
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $AB$ có VTCP là $\overrightarrow {AB} = \left( {3;4} \right) $ .
Vậy đáp án là B.
Cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - \sqrt 3 t\\ y = - 1 + t \end{array} \right.$. Điểm nào sau đây thuộc $\Delta$?
Thay tọa độ của các điểm vào phương trình đường thẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thay tọa độ của các điểm vào phương trình $\Delta$:
Xét điểm $(1 + \sqrt 3 \;;- 2 )$ ta có $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} 1+\sqrt3 =1 - \sqrt 3 t\\ -2 = - 1 + t \end{array} \right. \Rightarrow t=-1$ .
Vậy đáp án đúng là A.
Đường thẳng đi qua $A\left( { - 1;{\rm{ }}-2} \right)$, nhận $\overrightarrow n = (-1; - 4)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$ và nhận $\overrightarrow n = (a; b)$ làm VTPT là: $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng đi qua $A\left( { - 1;{\rm{ }}-2} \right)$, nhận $\overrightarrow n = (-1; - 4)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
$-1\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow -x - 4y -9 = 0$.
Vậy đáp án đúng là D.
Cho đường thẳng $d:x - 3y - 5 = 0$. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của $d$?
Đường thẳng $d$ có phương trình $ax+by+c=0$ thì VTPT của $d$ là $\overrightarrow n= (a;b)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Một vectơ pháp tuyến của $d$ là $(1;-3)$ nên vectơ $-\overrightarrow { n} = ( -1 ;{\rm{ }} 3)$ là vectơ pháp tuyến của $d$.
Vậy đáp án là B.
Cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - \dfrac{1}{3}t\\ y = - 2 + 2t \end{array} \right.$ . Một vectơ chỉ phương của $d$ có tọa độ là:
Đường thẳng có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l} x = x_0 +tu_1\\ y = y_0 + tu_2 \end{array} \right.$ thì có VTCP là $\overrightarrow u =(u_1;u_2)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ phương trình tham số, ta suy ra $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - \dfrac{1}{3};2} \right)$.
Do $\left( { - 1;6} \right) = 3.\left( {- \dfrac{1}{3};2} \right) \Rightarrow $ $\left( { - 1;6} \right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.
Vậy đáp án là C.
Cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = -2t\\ y = 5 + t \end{array} \right.$. Viết phương trình tổng quát của $\Delta$.
Tìm VTCP và một điểm mà đường thẳng đi qua dựa vào phương trình tham số của đường thẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng có VTCP $\overrightarrow u = (-2;1)$ nên có VTPT $\overrightarrow n = (1;2)$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $(0;5)$ nên có phương trình tổng quát là: $x +2(y-5) = 0 \Rightarrow x+2y-10=0$.
Vậy đáp án là C.
Đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {2;\,3} \right)$, $B\left( {2;\,-1} \right)$ có phương trình là:
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(x_A;y_A), B(x_B;y_B)$ có dạng
+, $AB: \dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}$ $(x_A \neq x_B, y_A \neq y_B)$.
+ $AB: x=x_A (x_A=x_B)$, $AB: y=y_A (y_A=y_B)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta thấy rằng $x_A=x_B=2$ nên phương trình đường thẳng $AB$ có dạng $x=2$.
Vậy đáp án là C.
Đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {0;\,1} \right)$, $B\left( {-3;\,4} \right)$ có phương trình là:
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(x_A;y_A), B(x_B;y_B)$ có dạng
+, $AB: \dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}$ $(x_A \neq x_B, y_A \neq y_B)$.
+ $AB: x=x_A (x_A=x_B)$, $AB: y=y_A (y_A=y_B)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {0;\,1} \right)$, $B\left( {-3;\,4} \right)$ là $\dfrac{{x - 0}}{{ - 3 - 0}} = \dfrac{{y - 1}}{{4 - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{x }}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 1}}{3} \Leftrightarrow x + y - 1 = 0$.
Vậy đáp án là A.
Tâm của đường tròn $(C)$ có phương trình ${\left( {x +4} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} = 12$ là:
Phương trình tổng quát của đường tròn: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ với $I(a;b)$ là tâm của đường tròn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ phương trình tổng quát của đường tròn ${\left( {x +4} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} = 12$ ta suy ra tâm của đường tròn là $I(-4,-6)$.
Vậy đáp án là C.
Bán kính của đường tròn $(C)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} + 3x - 4y + 4 = 0$ là:
Phương trình tổng quát của đường tròn: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $I(a;b)$ là tâm của đường tròn và bán kính được tính bằng công thức $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} $.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ phương trình tổng quát của đường tròn ${x^2} + {y^2} + 3x - 4y + 4 = 0$ ta suy ra bán kính của $(C)$ là $R = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{3}{2}} \right)}^2} + {2^2} - 4} = \dfrac{3}{2}$.
Vậy đáp án là D.
Phương trình nào là phương trình của đường tròn có tâm $I\left( { 1;-5} \right)$ và bán kính $R = 4$?
Phương trình tổng quát của đường tròn: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ với $I(a;b)$ là tâm của đường tròn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình của đường tròn có tâm $I\left( { 1;-5} \right)$ và bán kính $R = 4$ có dạng ${\left( {x -1} \right)^2} + {\left( {y +5} \right)^2} = 16$.
Vậy đáp án là A.
Đường tròn tâm $I(-1;2)$ và đi qua điểm $B(3;5)$ có phương trình là:
Đường tròn có tâm $I$ và đi qua điểm $A$ thì có bán kính là $IA$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn có tâm $I(-1;2)$ và đi qua điểm $B(3;5)$ thì có bán kính là
$R = IB = \sqrt {{{\left( {3+1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 2} \right)}^2}} = 5 $
Khi đó có phương trình là: ${\left( {x +1} \right)^2} + {\left( {x-2} \right)^2} = 25$.
Vậy đáp án là D.
Cho hai điểm $A(-2; - 1)$, $B( - 4;1)$. Đường tròn có đường kính $AB$ có phương trình là:
Đường tròn có đường kính $AB$ nhận trung điểm của $AB$ làm tâm và bán kính $R=\dfrac{1}{2}AB$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tâm $I$ của đường tròn là trung điểm của $AB$ nên $I(-3;0)$.
Bán kính $R = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 4 +2} \right)}^2} + {{\left( {1 + 1} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 $
Do đó phương trình đường tròn là: ${\left( {x +3} \right)^2} +y^2= 8$
Vậy đáp án là C.
Cho đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 3x - y = 0$. Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M(-3;2)$ là:
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ có tâm $I(a;b)$ tại điểm $M(x_0;y_0)$ là $(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$(C)$ có tâm $I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( { - \dfrac{9}{2}; \dfrac{3}{2}} \right) = - \dfrac{3}{2}\left( {3;-1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến.
Suy ra phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M(-3;2)$ là $3\left( {x +3} \right) -1 \left( {y -2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x -y + 11 = 0$
Vậy đáp án là D.
Viết phương trình chính tắc của elip $(E)$ biết trục lớn $2a=10$, trục bé $2b=6$.
Phương trình chính tắc $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 $.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ đề bài, ta có: $\left\{ \begin{array}( 2a = 10\\ 2b = 6 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}( a = 5\\ b = 3 \end{array} \right.$.
Phương trình chính tắc $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.$
Vậy đáp án là A.
Viết phương trình chính tắc của elip $(E)$ có độ dài trục lớn $2a=8$ và tiêu cự $2c=4$.
Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ đề bài, ta có: $\left\{ \begin{array}( 2a = 8\\ 2c = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}( a = 4\\ c = 2 \end{array} \right.$ mà ${b^2} = {a^2} - {c^2} = {4^2} - {2^2} = 12$
Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{12} = 1.$
Vậy đáp án là B.
Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tiêu cự bằng $8$ và đi qua $A(6;0)$?
Phương trình chính tắc của elip $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi phương trình chính tắc của elip $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Từ đề bài ta có: ${F_1}{F_2} = 2c = 8 \Rightarrow c = 4$.
Mà $A\left( {6;0} \right) \in \left( E \right)$ nên ta có: $a=6$ .
Từ công thức ${b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow b^2 = 20$.
Phương trình chính tắc của elip: $\dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{36}}}}{\rm{ + }}\dfrac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{20}}}} = 1$.
Vậy đáp án là B.
Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tâm sai bằng $\dfrac{1}{5}$ và độ dài trục lớn bằng $10$?
Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử elip có phương trình chính tắc là $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 .$.
Do elip có tâm sai bằng $\dfrac{1}{5}$ và độ dài trục lớn bằng $6$ nên ta có $\left\{ \begin{array}( e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{5}\\ 2a = 10 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}(a = 5\\ c = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}(a = 5\\ b = 2\sqrt 6 \end{array} \right. \Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{25} + \dfrac{{{y^2}}}{24} = 1$.
Vậy đáp án là C.
Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua $M(4;-2)$?
Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử elip có phương trình chính tắc là $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 .$
Do elip có có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua $M(4;-2)$ nên ta có $\left\{ \begin{array}( a = 2b\\ \dfrac{16}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( a = 2b\\ \dfrac{8}{{{b^2}}} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}( {b^2} = 8\\ {a^2} = 16 \end{array} \right. \Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{8} = 1$.
Vậy đáp án là D.
Một Elip có trục lớn bằng $26$ tâm sai $e = \dfrac{{12}}{{13}}$ .Trục nhỏ của elip có độ dài bằng bao nhiêu?
Độ dài trục nhỏ là $2b.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử phương trình chính tắc của elip là $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)$.
Elip có trục lớn bằng $20$ tâm sai $e = \dfrac{{8}}{{10}}$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}( 2a = 20\\ \dfrac{c}{a} = \dfrac{{8}}{{10}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}( a = 10\\ c = 8 \end{array} \right.$
Mặt khác ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 100 - 64 = 36 \Rightarrow b = 6$
Vậy độ dài trục nhỏ bằng $12$.
Vậy đáp án là A.