Cho $\overrightarrow a = \left( {1;m} \right),\overrightarrow b = \left( {\sqrt 3 ;1} \right)$. Gọi $\alpha $ là góc giữa $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ sao cho $\alpha = 60^\circ $
Áp dụng: $\cos \alpha = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\cos \alpha = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} \Leftrightarrow \cos 60^\circ = \dfrac{{\left( {1;m} \right).\left( {\sqrt 3 ;1} \right)}}{{\sqrt {1 + {m^2}} .\sqrt {3 + 1} }} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 + m}}{{2\sqrt {{m^2} + 1} }} \Leftrightarrow m = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng $a$. Giá trị của $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} $ là?
Áp dụng: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì ABCD là hình vuông nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 45^\circ $
Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {a^2}.\cos 45^\circ = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}$
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng $a$. Giá trị $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} $ là?
Áp dụng: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì tam giác ABC đều nên $\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = 60^\circ $
$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {a^2}.\cos 60^\circ = \dfrac{{{a^2}}}{2}$
Cho điểm $A\left( {5;2} \right),M\left( {0;y} \right)$ sao cho $AM = 13$. Tìm tọa độ điểm M
Áp dụng: $AM = \sqrt {{{\left( {{x_M} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} - {y_A}} \right)}^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $AM = \sqrt {{{\left( {0 - 5} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} = \sqrt {{y^2} - 4y + 29} $
Mà $AM = 13 \Leftrightarrow \sqrt {{y^2} - 4y + 29} = 13$
Bình phương 2 vế ta được: $\begin{array}{l}\n{y^2} - 4y + 29 = 169 \Leftrightarrow {y^2} - 4y - 140 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ny = 14\\\ny = - 10\n\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;14} \right),M\left( {0; - 10} \right)\n\end{array}$
Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G. Góc giữa hai vecto $\overrightarrow {AG} $ và $\overrightarrow {GB} $ là?
Gọi AM, BK là các đường trung tuyến. AM giao BK tại G là trọng tâm của tam giác ABC
Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác đều: $AM = BK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};AG = BG = \dfrac{2}{3}AM;GM = \dfrac{1}{3}AM$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} = AG.GB.cos\left( {\overrightarrow {AG} ;\overrightarrow {GB} } \right)$
Gọi AM và BK là 2 đường trung tuyến của tam giác đều ABC: $AM \cap BK = G$
Vì ABC là tam giác đều nên $AM = BK = \dfrac{{{a}\sqrt 3 }}{2}$$\Rightarrow GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{{{a}\sqrt 3 }}{6};BM = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}$
Ta có: $\left( {\overrightarrow {AG} ;\overrightarrow {GB} } \right) = \widehat {BGM}$. Xét tam giác vuông BGM: $\tan \widehat {BGM} = \dfrac{{BM}}{{GM}} = \sqrt 3 $$\Rightarrow \widehat {BGM} = 60^\circ $
Cho $\overrightarrow a = \left( {1;2m - 3} \right),\overrightarrow b = \left( {{m^2};1} \right)$. Tìm m để $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $
Cho $\overrightarrow a \left( {x;y} \right);\overrightarrow b \left( {x\';y\'} \right)$. Ta có $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow x.x\' + y.y\' = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm = 1\\\nm = - 3\n\end{array} \right.$
Gọi $A\left( {4;3} \right),B\left( {8;1} \right)$ và C là điểm trên trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C. Tọa độ các điểm C là ?
Tam giác ABC vuông tại C $ \Leftrightarrow \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để tam giác ABC vuông tại C thì $\Leftrightarrow \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 0$
Gọi điểm C cần tìm có tọa độ $C\left( {x;0} \right)$ vì $C \in Ox$
$\overrightarrow {CA} = \left( {4 - x;3} \right);\overrightarrow {CB} = \left( {8 - x;1} \right)$
$\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = \left( {4 - x} \right).\left( {8 - x} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 35 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 5\\\nx = 7\n\end{array} \right.$
Vậy $C\left( {5;0} \right),C\left( {7;0} \right)$
Cho tam giác ABC có $A\left( {1; - 2} \right),B\left( { - 3;5} \right),C\left( { - 1;4} \right)$. Gọi AH là chiều cao của tam giác ABC. Tọa độ điểm H là?
AH là chiều cao của tam giác ABC thì $\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử $H\left( {x;y} \right)$ $\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 1} \right)$, $\overrightarrow {AH} = \left( {x - 1;y + 2} \right)$
$\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 4 = 0 \Leftrightarrow y = 2x - 4$
Ta thấy $x = 3;y = 2$ thỏa mãn
Cho tam giác ABC có $A\left( { - 6; - 4} \right),B\left( {3;5} \right),C\left( {6;2} \right)$. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC
H là giao điểm của 3 đường cao trong tam giác thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}\n\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\n\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $H\left( {x;y} \right)$ khi đó ta có: $\overrightarrow {AH} = \left( {x + 6;y + 4} \right);\overrightarrow {BC} = \left( {3; - 3} \right);\overrightarrow {BH} = \left( {x - 3;y - 5} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {12;6} \right)$
Ta có hệ phương trình sau $\left\{ \begin{array}{l}\n\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\n\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\n\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n3\left( {x + 6} \right) - 3\left( {y + 4} \right) = 0\\\n12\left( {x - 3} \right) + 6\left( {y - 5} \right) = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n3x - 3y = - 6\\\n12x + 6y = 66\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 3\\\ny = 5\n\end{array} \right.$
Vậy $H\left( {3;5} \right)$
Trong mặt phẳng Oxy cho $A\left( { - 1;2} \right),B\left( {4;3} \right),C\left( {5; - 2} \right)$. Tìm tọa độ điểm để ABCD là hình vuông
ABCD là hình vuông $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0 \\ AB = AD \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để ABCD là hình vuông thì $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\\ AB = AD \end{array} \right.$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {5;1} \right).\left( {x + 1;y - 2} \right) = 0\\ \sqrt {26} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x + y - 3 = 0\\ 26 = {x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 5 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 3 - 5x\\ 26 = {x^2} + {\left( {3 - 5x} \right)^2} + 2x - 4\left( {3 - 5x} \right) + 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 3 - 5x\\ 26{x^2} - 8x - 24 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{{2 + 4\sqrt {10} }}{{13}}\\ y = \dfrac{{29 - 20\sqrt {10} }}{{13}} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{{2 - 4\sqrt {10} }}{{13}}\\ y = \dfrac{{29 + 20\sqrt {10} }}{{13}} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}$