Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{{x + 5m -3}}{{x - 2m}}$ xác định trên $(-2;3)$?
ĐKXĐ: $x \ne 2m$
Hàm số xác định trên $(-2;3)$$ \Leftrightarrow 2m \notin ( - 2;3)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $x \ne 2m$
Hàm số xác định trên $(-2;3)$$ \Leftrightarrow2 m \notin ( - 2;3)$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2m \ge 3\\ 2m \le - 2 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm \ge \dfrac{3}{2}\\\nm \le - 1\n\end{array} \right.$
Vậy với $m \in ( - \infty ; - 1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}\dfrac{3}{2}; + \infty )$ thì hàm số xác định trên $(-2;3)$
Đáp án đúng là A.
Xét tính chẵn lẻ của hàm số $f(x) = \sqrt {1+x} + \dfrac{x^2+x-5}{{\sqrt {2-2x} }}$?
B1: Tìm TXĐ
B2: $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D?$
B3: + $f(-x)=f(x)$ hàm chẵn
+ $f(-x)=-f(x)$ hàm lẻ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} 1+x \ge 0\\ 2 - 2x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge -1\\ x < 1 \end{array} \right.$
Suy ra TXĐ $D=[-1;1)$
Ta có ${x_0} = - 1 \in D$ nhưng $ - {x_0} = 1 \notin D$
Vậy hàm số đã cho không chẵn cũng không lẻ.
Đáp án đúng là C.
Cho hàm số $y = \dfrac{{mx-5}}{{\sqrt {2x - 4m + 1} - 2}}$. Tập xác định của hàm số theo tham số $m$ là:
Tập tất cả các giá trị sao cho $\dfrac{{mx-5}}{{\sqrt {2x - 4m + 1} - 2}}$ có nghĩa hay $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {2x - 4m + 1} - 2 \ne 0\\ 2x - 4m + 1 \ge 0 \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {2x - 4m + 1} - 2 \ne 0\\2 x - 4m + 1 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x - 4m + 1 \ne 4\\ x \ge \dfrac{4m - 1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \ 2m+\dfrac{3}{2}\\ x \ge 2m - \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D = {\rm{[}}2m - \dfrac{1}{2}; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}2m + \dfrac{3}{2}\} $
Đáp án đúng là C.
Phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng $y=x-2,y=5x+1$ và song song với đường thẳng $y = \sqrt 3 x - 2$.
Hai đường thẳng song song nếu hệ số góc của chúng bằng nhau và b khác nhau.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng song song với đường thẳng $y = \sqrt 3 x - 2$ nên phương trình đường thẳng có dạng $y = \sqrt 3 x + b(b \ne -2)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng $y=x-2,y=5x+1$ là $x -2 = 5x +1 \Leftrightarrow x = \dfrac{-3}{4}$$\Rightarrow y = \dfrac{-11}{4}$. Giao điểm của hai đường thẳng là $A(\dfrac{-3}{4};\dfrac{-11}{4})$
Đường thẳng đi qua $A(\dfrac{-3}{4};\dfrac{-11}{4})$ nên ta có: $\dfrac{-11}{4} = \sqrt 3 .\dfrac{-3}{4} + b $$ \Leftrightarrow b = \dfrac{{ - 11 + 3\sqrt 3 }}{4}$
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $y = \sqrt 3 x + \dfrac{{ (- 11) + 3\sqrt 3 }}{4}$
Đáp án đúng là A.
Giá trị của $m$ để hai đường thẳng $({d_1}): (m - 1)x + my - 5 = 0,({d_2}): mx + (2m - 1)y + 7 = 0$ cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Giả sử $M(0;y) \in Oy$ là giao điểm của $({d_1}),({d_2})$
Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình 2 đường thẳng, tìm $y$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $M(0;y) \in Oy$ là giao điểm của $({d_1}),({d_2})$
ta có: $\left\{ \begin{array}{l} M \in ({d_1})\\ M \in ({d_2}) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} my - 5 = 0\\ (2m-1)y + 7 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{5}{{m}}\\ x = \dfrac{{ - 7}}{2m-1} \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{5}{{m}} = - \dfrac{7}{{2m-1}} \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{{17}}$
Đáp án đúng là A.
Cho hàm số $y=\dfrac{2}{5}x+3$ có đồ thị là đường thẳng $\Delta $ tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng?
${S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}.\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = \dfrac{1}{2}$
Tìm tọa độ 2 giao điểm của đường thẳng với trục tung và trục hoành
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $\Delta $: $y=\dfrac{2}{5}x+3$ cắt trục $Ox$ tại điểm $A(-\dfrac{15}{2};0)$. cắt trục $Oy$ tại $B(0;3)$
Tam giác $OAB$ vuông tại $O$
${S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}.\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = \dfrac{1}{2}.\dfrac{15}{2}.3=\dfrac{45}{4}$
Đáp án đúng là A.
Biết đường thẳng $d$ tiếp xúc với $(P):y = 4{x^2} - 2x + 1$. Phương trình của $d$ là?
Xét phương trình hoành độ giao điểm nếu có một nghiệm duy nhất thì $d$ tiếp xúc với $(P)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta xét các phương trình hoành độ giao điểm:
Đáp án A: $4{x^2} - 2x + 1 = x + 2 \Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0 $$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = - \dfrac{1}{4}\n\end{array} \right.$$ \Rightarrow $loại
Đáp án B: $4{x^2} - 2x + 1 = - x - 1 \Leftrightarrow 4{x^2} - x + 2 = 0$ (vô nghiệm) $ \Rightarrow $loại
Đáp án C: $4{x^2} - 2x + 1 = x + 3 \Leftrightarrow 4{x^2} - 3x-2 = 0 $ $ \Leftrightarrow x = \dfrac{{3 \pm \sqrt {41} }}{8}$$ \Rightarrow $loại
Đáp án D: $4{x^2} - 2x + 1 = 2x \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$$ \Rightarrow $nhận
Đáp án là D.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = -2{x^2} +4x -3$?
Hệ số $a>0$ thì hàm số có GTNN là tung độ đỉnh $I$
Hệ số $a<0$ thì hàm số có GTLN là tung độ đỉnh $I$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $a=-2<0$ và đồ thị hàm số có đỉnh $I(\dfrac{{ - b}}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}) = (1;-1)$
Nên hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ;1)$, nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty )$
Suy ra hàm số đại giá trị lớn nhất $y=-1$ tại $x=1$
Đáp án đúng là B.
Tìm parabol $(P):y = a{x^2} + bx-1$, biết rằng parabol có đỉnh $I( -1; -4)$.
Dựa vào tọa độ đỉnh ta có $\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = -1\\ - \dfrac{\Delta }{{4a}} = -4 \end{array} \right.$, giải phương trình suy ra $a,b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $(P)$ có đỉnh $I( -1; -4)$ nên ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = - 1\\ - \dfrac{\Delta }{{4a}} = - 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 2a\\ \Delta = 16a \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{b}{2}\\ b^2 + 4a = 16a \end{array} \right. \Leftrightarrow a =3,b=6$
Vậy $(P):y = 3{x^2} + 6x -1$
Đáp án đúng là D.
Tìm giá trị thực của tham số $m$ để parabol $(P):y = 2m{x^2} - mx + 5m - 1(m \ne 0)$ có đỉnh thuộc đường thẳng $y=x-2$.
Từ phương trình của $(P)$ suy ra tọa độ đỉnh $I$ theo $m$. Thay tạo độ $I$ vào đường thẳng $y=x-2$ để tìm $m$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hoành độ đỉnh của $(P)$ là $x = - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{{m}}{{4m}} = \dfrac{1}{4}$
Suy ra tung độ đỉnh $y=\dfrac{39m}{8}-1$. Do đó tọa độ đỉnh của $(P)$ là $I(\dfrac{1}{4};\dfrac{39m}{8}-1)$
Theo giả thiết đỉnh $I$ thuộc đường thẳng $y=x-2$ nên $\dfrac{39m}{8}-1 = \dfrac{1}{4} - 2 \Leftrightarrow m = -\dfrac{2}{13}$
Đáp án đúng là D.