Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng 2, trọng tâm $G$. Độ dài vectơ $\overrightarrow {AG} $ bằng?
$AG = \dfrac{2}{3}AM$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
G là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $AG = \dfrac{2}{3}AM$
$\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{2\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$
Đáp án đúng là A.
Cho hình thang $ABCD$ ($AB//CD$). Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD, BC$. Các cặp vectơ nào sau đây không cùng hướng?
$M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD, BC$ nên $AB//CD//MN$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD, BC$ nên $AB//CD//MN$
Suy ra $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {MN} $ cùng hướng, $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AD} $ cùng hướng
Suy ra đáp án A, C, D đúng
Đáp án là B.
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Vectơ nào trong các vectơ sau đây bằng $\overrightarrow {CB} $?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A sai: $\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} $
Đáp án B sai: $ - \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {CA} $
Đáp án C đúng: $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} = - (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB}) = - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CA} $
Đáp án D sai: $\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} = - (\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} )= - \overrightarrow {CA} $
Đáp án đúng là A.
Cho ba lực $\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} $ cùng tác động vào một vật tại điểm $M$ và vật đứng yên.
Cho biết cường độ của $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} $ đều bằng $100N$ và góc $\widehat {AMB} = {60^0}$. Khi đó cường độ lực của $\overrightarrow {{F_3}} $ là?
$\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - (\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} ) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right|$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có tam giác $MAB$ đều, do vật đứng yên nên ta có:
$\begin{array}{l} \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - (\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} ) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right|\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} } \right| = 2MH = 2.100\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 100\sqrt 3 \end{array}$
(Với $MAEB$ là hình bình hành tâm $H$)
Đáp án đúng là B.
Cho tứ giác $ABCD$, gọi $P, Q$ là trung điểm của $AB, CD$. Khi đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} $ bằng?
$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ} \\ \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ} \end{array} \right.$
Cộng 2 vế của hệ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ} \\ \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ} \end{array} \right.\\ \Rightarrow 2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \end{array}$
Đáp án đúng là B.
Cho hình bình hành $ABCD$ có $A(2;3),B(0;-6),C(-1;5)$. Tọa độ đỉnh $D$ là?
Để $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $D(x;y)$ là điểm cần tìm
Ta có: $\overrightarrow {AB} = (-2; - 9),\overrightarrow {DC} (-1 - x;5 - y)$
Để $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -1 - x = -2\\ 5 - y = - 9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 14 \end{array} \right. \Rightarrow D(1;14)$
Đáp án đúng là D.
Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có $M(-4,3),N(0;4),P(-2;5)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Tìm tọa độ đỉnh $A$?
Gọi $A(x;y)$, ta có: $\overrightarrow {PA} = \overrightarrow {MN} \Leftrightarrow (x + 2;y - 5) = ( 4; 1)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $A(x;y)$, ta có: $\overrightarrow {PA} = \overrightarrow {MN} \Leftrightarrow (x + 2;y - 5) = ( 4; 1)$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 2 = 4\\ y - 5 = 1 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 2\\\ny = 6\n\end{array} \right.$
Vậy $A(2;6)$
Đáp án đúng là D.
Cho $A(0;4),B(-2;3)$ tìm tọa độ giao điểm $M$ của $AB$ với trục $xOx$?
$M(x;0) \in xOx \Rightarrow \overrightarrow {AM} = (x;-4);\overrightarrow {AB} = ( - 2;7)$
$A,B,M$ thẳng hàng $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} $ cùng phương
Hướng dẫn giải (chi tiết)
B1: tọa độ véc tơ AB ( 2; 1)
B2: tọa độ pháp tuyến n ( -1; 2)
B3: AB đi qua A ( 0;4) và có vecto n ( -1; 2)
AB có phương trình: -1 ( x-0) + 2.( y – 4) = 0
AB có phương trình: x – 2y + 8 = 0
Giao điểm của AB với trục Ox cho y = 0
suy ra x = -8
Vậy M ( - 8; 0)
Đáp án D
Trong hệ tọa độ $Oxy$ cho $A(1;-2),B(-2;3)$. Tìm tọa độ điểm $I$ sao cho $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 $?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $I(x;y)$ ta có:
Vecto IA ( 1- x; - 2- y) ; IB ( - 2 – x; 3 – y);
$\begin{array}{l} \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow (1 - x;-2 - y) + 2( - 2 - x;3 - y) = (0;0)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - x - 4 - 2x = 0\\ -2 - y + 6 - 2y = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = \dfrac{4}{3} \Rightarrow I( - 1;\dfrac{4}{3}) \end{array} \right. \end{array}$
Vậy đáp án đúng là A.
Trong hệ tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(-1;3),B(2;-4)$. Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên trục hoành sao cho $A,B,M$ thẳng hàng?
$M \in Ox \Rightarrow M(m;0)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điểm $M \in Ox \Rightarrow M(m;0)$
Ta có: $\overrightarrow {AB} = (3;-7),\overrightarrow {AM} (m +1;-3)$
Để $A,B,M$ thẳng hàng thì vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AM}$ cùng phương $ \Leftrightarrow \dfrac{{m +1}}{3} = \dfrac{-3}{-7} \Leftrightarrow m = \dfrac{{2}}{7}$
Vậy $M(\dfrac{{2}}{7};0)$
Đáp án đúng là A.