Cho tam giác $ABC$, gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, AC$. Hỏi cặp vectơ nào sau đây ngược hướng?
Hai vectơ được gọi là ngược hướng nếu chúng có cùng phương và ngược chiều.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nhìn vào hình vẽ ta dễ dàng thấy $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {CB} $ cùng phương do giá của chúng song song với nhau, và ngược chiều nên $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {CB} $ ngược hướng.
Đáp án đúng là B.
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật $ABCD$ mệnh đề nào sau đây sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án C sai vì: $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} $ cùng phương nhưng lại ngược hướng.
Cho hình bình hành $ABCD$ số vectơ khác vectơ-không, cùng phương với vectơ $\overrightarrow {CB} $ có điểm đầu điểm cuối là các đỉnh của hình bình hành $ABCD$ là:
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Các vectơ cùng phương với $\overrightarrow {CB} $ thỏa mãn điều kiện đề bài là: $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DA} $
Vậy có 3 vectơ thỏa mãn
Đáp án đúng là D.
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3cm, BC=4cm$. Độ dài của vectơ $AC$ là?
$\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC$
Áp dụng định lý pytago vào tam giác vuông $ABC$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {9 + 16} = 5$
Vậy $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 5cm$
Đáp án đúng là C.
Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$, có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không cùng hướng với $\overrightarrow {AO} $?
Hai vectơ được gọi là cùng hướng nếu chúng cùng phương và cùng chiều.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Các vectơ cùng hướng với $\overrightarrow {AO} $ là: $\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {OD} ,\overrightarrow {FE} ,\overrightarrow {BC} $
Vậy có 4 vectơ thỏa mãn.
Đáp án đúng là C.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB=5, BC=13$. Tính $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right|$?
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{13^2} - {5^2}} = 12\n$
Đáp án đúng là D.
Cho hình chữ nhật $ABCD$ biết $AB=4a$, $AD=3a$ thì độ dài vectơ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} $ bằng?
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{(4a)}^2} + {{(3a)}^2}} = 5a$
Đáp án đúng là C.
Cho tam giác vuông cân $ABC$ tại $A$ có $AB=a$. Tính $\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} $?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cho $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CA$ của tam giác $ABC$. Hỏi vectơ $\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {MB} $ bằng vectơ nào?
$\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {PN} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {PN} $ (vì $PN$ song song và bằng $\dfrac{1}{2}$ $MB$)
$\Rightarrow \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {PB} $
Đáp án đúng là D.
Cho lục giác đều $ABCDEF$ và $O$ là tâm của nó. Đẳng thức nào dưới đây là đẳng thức đúng?
Dựa vào các cặp vectơ bằng nhau trong một lục giác đều.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A sai vì: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OE} = (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} ) + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF}$$ \ne \overrightarrow 0 $
Đáp án B sai vì: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} ) + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {EB} $$ \ne \overrightarrow {AB} $
Đáp án C đúng vì: $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AD} $
Đáp án D sai vì: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {AO} = 2\overrightarrow {AO} \ne \overrightarrow 0 $
Đáp án là C.
Cho vectơ $\overrightarrow a $ có $\left| {\overrightarrow a } \right| = 2$. Tìm số thực $x$ sao cho $x\overrightarrow a $ có độ dài bằng 1 và cùng hướng với $\overrightarrow a $?
$1 = \left| {x\overrightarrow a } \right| = \left| x \right|\left| {\overrightarrow a } \right|$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $1 = \left| {x\overrightarrow a } \right| = \left| x \right|\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\left| x \right| \Rightarrow \left| x \right| = \dfrac{1}{2}$
Đáp án đúng là C.
Cho 3 điểm $A,B,C$ phân biệt sao cho $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} $. Biết rằng $B$ nằm giữa $A,C$. Giá trị $k$ thỏa mãn điều kiện sau?
Nếu $A$ nằm giữa $B,C$ thì $k<0$, đặc biệt $k=-1$ khi và chỉ khi $A\n$ là trung điểm của $BC$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ cùng hướng và $AB < AC$ nên $0< k<1$
Cho điểm $B$ nằm giữa 2 điểm $A,C$, $AB=2a,AC=6a$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A sai vì: $AC=6a,BC=4a$$\Rightarrow \overrightarrow {BC} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} $
Đáp án B sai vì:$AC=6a,BC=4a$ $\Rightarrow \overrightarrow {BC} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} $
Đáp án C sai vì: $BC=4a,AB=2a$ mà $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AB} $ cùng phương $ \Rightarrow \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {AB} $
Đáp án D đúng vì: $BC=4a,AB=2a$ mà $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} $ ngược hướng nên $\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {BA} $
Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB,AC$ tạo thành hình bình hành $MEAF$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB,AC$ tạo thành hình bình hành $MEAF$.
Áp dụng định lý Ta-let và quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {AE} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} $
Đáp án đúng là A.
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $A\'B\'C\'$ có trọng tâm lần lượt là $G,G\'$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\overrightarrow {AA\'} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG\'} + \overrightarrow {G\'A\'} $
$\overrightarrow {BB\'} = \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG\'} + \overrightarrow {G\'B\'} $
$\overrightarrow {CC\'} = \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG\'} + \overrightarrow {G\'C\'} $
Cộng từng vế với vế của 3 đẳng thức trên ta được:
$\overrightarrow {AA\'} + \overrightarrow {BB\'} + \overrightarrow {CC\'} = (\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} ) + (\overrightarrow {G\'A\'} + \overrightarrow {G\'B\'} + \overrightarrow {G\'C\'} ) = 3\overrightarrow {GG\'} $
Đáp án đúng là B.
Cho tam giác $ABC$ với $A(-1;6)$, $B(6;-2)$ và $G(\dfrac{2}{3};0)$ là trọng tâm. Tọa độ điểm $C$ là:
$\left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} + {x_C} = 3{x_G}\\ {y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_G} \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} + {x_C} = 3{x_G}\\ {y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_G} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B})\\ {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 3.\dfrac{2}{3} - ( - 1 + 6)\\ {y_C} = 3.0 - (6 - 2) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = - 3\\ {y_C} =- 4 \end{array} \right. \Rightarrow C( - 3;-4) \end{array}$
Vậy đáp án đúng là A.
Cho hai vectơ $\overrightarrow a (3;8),\overrightarrow b (6;x)$, hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ cùng phương nếu:
$\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ cùng phương khi và chỉ khi $\overrightarrow a = k\overrightarrow b $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ cùng phương thì :
$\dfrac{6}{3} = \dfrac{x}{{8}} \Leftrightarrow x = \dfrac{{6.8}}{3} = 16$
Đáp án đúng là C
Cho hai vectơ $\overrightarrow a (3; - 7),\overrightarrow b ( - 5;12)$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow u $ biết $\overrightarrow u + \overrightarrow a = \overrightarrow b $.
$\overrightarrow u + \overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow u = \overrightarrow b - \overrightarrow a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_u} = {x_b} - {x_a}\\ {y_u} = {y_b} - {y_a} \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\overrightarrow u + \overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow u = \overrightarrow b - \overrightarrow a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_u} = {x_b} - {x_a}\\ {y_u} = {y_b} - {y_a} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_u} = -5 - 3\\ {y_u} = 12 - (-7) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_u} = -8\\ {y_u} = 19 \end{array} \right.$
Suy ra $\overrightarrow u (-8; 19)$
Đáp án đúng là A.
Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(-2;3),B(9;-7), C(11;1)$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow {MN} $?
Áp dụng quy tắc trung điểm tìm tọa độ điểm $M,N$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow {MN} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $M$ là trung điểm của $AB$ nên $M = (\dfrac{{-2 + 9}}{2};\dfrac{{ 3 - 7}}{2}) = (\dfrac{{7}}{2};-2)$
$N$ là trung điểm của $AC$ nên $N = (\dfrac{{-2 + 11}}{2};\dfrac{{ 3 +1}}{2}) = (\dfrac{{9}}{2}; 2)$
Suy ra $\overrightarrow {MN} = (\dfrac{{9}}{2} - \dfrac{{7}}{2}; 2 -(- 2)) = (1; 4)$
Đáp án đúng là A.
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $A(2;4);B(6;0)$. Tìm điểm $C$ đối xứng với $A$ qua $B$?
$C$ đối xứng với $A$ qua $B$ suy ra $B$ là trung điểm của $AC$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$C$ đối xứng với $A$ qua $B$ suy ra $B$ là trung điểm của $AC$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_B} = \dfrac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\ {y_B} = \dfrac{{{y_A} + {y_C}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 2{x_B} - {x_A}\\ {y_C} = 2{y_B} - {y_A} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 10\\ {y_C} = -4 \end{array} \right.$
Vậy $C(10;-4)$
Đáp án đúng là C.