Mệnh đề: “$\sqrt{10}$ là số vô tỉ” đúng hay sai?
Chứng minh bằng phản chứng dựa vào định nghĩa số vô tỉ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử $\sqrt{10}$ là số hữu tỉ.
Khi đó $\sqrt {10} = \dfrac{a}{b}\,\,$ ( $a, b$ là số nguyên dương, $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản).
Từ đó ta có $10 = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\,\, \Rightarrow {a^2} = 10{b^2} \Rightarrow {a^2} \vdots {b^2} \Rightarrow a \vdots b$ (vô lý vì $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản).
Do đó điều giả sử là sai.
Vậy đáp án là A.
Cho $A$ là mệnh đề đúng, $B$ là mệnh đề sai và $C$ là mệnh đề đúng. Mệnh đề nào sau đây sai?
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ $A$ đúng, $C$ đúng nên $A \Rightarrow C$ đúng.
+ $A$ đúng, $B$ sai nên $A$ đúng, $\overline B$ đúng, do đó ${A \Rightarrow \overline B}$ đúng. Vậy $C \Rightarrow \left( {A \Rightarrow \overline B} \right)$ đúng.
+ $A$ đúng, $B$ sai nên $ {A \Rightarrow B} $ sai. Vậy $C \Rightarrow \left( {A \Rightarrow B} \right)$ sai.
+ $B$ sai, $C$ đúng nên $\overline B$ đúng, $C$ đúng, do đó $ {\overline B \Rightarrow C}$ đúng. Vậy $\left( {\overline B \Rightarrow C} \right) \Rightarrow A$ đúng.
Vậy đáp án là C.
Cho $A$ là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0$ có nghiệm. Khẳng định nào sau đây đúng?
Để phương trình có nghiệm thì $\Delta$ > = 0. Giải tìm m
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phương trình $4{x^2} - 2mx + m - 1 = 0$ có $\Delta ’ = {m^2} - 4m + 4$. Để phương trình có nghiệm thì $\Delta ’ = {m^2} - 4m + 4 \ge 0 \Leftrightarrow {(m - 2)^2} \ge 0,\,\forall m \in \mathbb{Z}$.
Do đó $A=\mathbb{Z}$.
Vậy đáp án là D.
Cho tập $A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\,\,|x|\, \le 3} \right\}$, $B$ là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $3{x^2} - 2mx + 3 = 0$ vô nghiệm. Khẳng định nào sau đây đúng?
Liệt kê các phần tử của các tập hợp $A, B$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Do $A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\,\,|x|\, \le 3} \right\}$ nên các phần tử của tập $A$ là $A = \left\{ { -3,- 2, - 1,0,1,2,3} \right\}$.
+ Xét phương trình $3{x^2} - 2mx + 3 = 0$ có $\Delta \' = {m^2} - 9$.
Để phương trình vô nghiệm thì
$\Delta \' = {m^2} - 9 < 0 \Leftrightarrow (m - 3)(m + 3) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m - 3 > 0\\ m + 3 < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 3 < 0\\ m + 3 > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m > 3\\ m < - 3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m > - 3 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow - 3< m < 3$.
Do $m$ nhận giá trị nguyên nên $B = {\rm{\{ }}-2, - 1,0,1,2\} $.
Do đó $B \subset A$.
Vậy đáp án là B.
Cho $A = \left\{ {5,6} \right\},B = \left\{ {3,4,5,6,7} \right\}$. Tập $X$ nào sau đây thỏa mãn $A \cup X=B$.
Thử từng đáp án.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Với $X = \left\{ {5,6,7} \right\}$ thì $A \cup X=\left\{5,6,7\right\} \neq B$.
+ Với $X = \left\{ {3} \right\}$ thì $A \cup X=\left\{3,5,6\right\} \neq B$.
+ Với $X = \left\{ {3,4,5,7} \right\}$ thì $A \cup X=\left\{3,4,5,6,7\right\} = B$.
+ Với $X = \emptyset$ thì $A \cup X=\left\{5,6\right\} \neq B$.
Vậy đáp án là C.
Cho $A = \left\{ {0,1,2} \right\},B = \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}$. Số tập hợp $X$ thỏa mãn $X \subset {C_B}A$ là?
Tìm $ {C_B}A$ và tìm các tập con của $ {C_B}A$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $x \in {C_B}A \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in B\\ x \notin A \end{array} \right.$ nên ${C_B}A = \left\{ {3,4} \right\}$.
Do đó tập hợp $X$ thỏa mãn $X \subset {C_B}A$ là $\left\{ {3,4} \right\},\left\{ 3 \right\},\left\{ 4 \right\},\emptyset $.
Vậy đáp án là D.
Cho $A=[m,m+4], B=(-3,5]$. Tìm $m$ để $A \cap B =\emptyset$.
Để A giao B bằng rỗng thì m + 4 < = -3 hoặc m > 5
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $A \cap B =\emptyset$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m + 4 \le -3\\ m >5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \le - 7\\ m >5 \end{array} \right.$
Vậy đáp án là C.
Cho $A=[-1,6], B=(m,m+3)$. Tìm $m$ để $A \backslash B \neq \emptyset$.
$x \in A\backslash B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \in A\\\nx \notin B\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $A \backslash B \neq \emptyset$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm + 3 < 6\\\nm > - 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm < 3\\\nm > - 1\n\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow m \in ( - \infty , + \infty )$.
Vậy đáp án là D.
Đo chiều dài của một con dốc người ta đo được $a=320,34m$, với sai số tương đối không quá $0,1\%$. Hãy tìm các chữ số chắc của $a$ và nếu cách viết chuẩn giá trị gần đúng của $a$.
Trong cách ghi thập phân của $a$, ta nói chữ số $k$ là chữ số đáng tin của $a$ (hay chữ số chắc) nếu sai số tuyệt đối $\Delta_a$ không vượt quá một đơn vị của hàng có chữ số $k$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${\delta _a} = \dfrac{{{\Delta _a}}}{{|a|}} \Rightarrow \Delta _a=\delta _a.|a|=0,1\%.320,34=0,32034$.
Do $0,32034 < 0,5 =\dfrac{1}{2}$ nên 0 là chữ số chắc. Do đó cách viết chuẩn của $a$ là $320m$.
Vậy đáp án là B.
Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh được đo như sau $a=10cm \pm 0,2cm, b=5,2cm \pm 0,2cm,$ $ c=8cm \pm 0,1cm$. Sai số tương đối của chu vi của tam giác là:
Sai số tương đối là $\delta_a=\dfrac{\Delta_a}{|a|}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $a=10cm \pm 0,2cm \Rightarrow 9,8cm \le a \le 10,2cm, b=5,2cm \pm 0,2cm \Rightarrow 5cm \le b \le 5,4cm,$ $ c=8cm \pm 0,1cm \Rightarrow 7,9cm \le c \le 8,1cm$.
Chu vi của tam giác $ABC$ là $P=a+b+c \Rightarrow 22,7cm \le P \le 23,7cm$.
Do đó $P=23,2cm \pm 0,5cm$.
Từ đó suy ra sai số tương đối của chu vi là $\delta=\dfrac{\Delta}{|P|}=\dfrac{0,5}{|23,2|}=2,155\%$.
Vậy đáp án là C.