Tìm m để phương trình (1)
${(x-1)^2} + 2\left( {1 - m} \right)(x-1) + {m^2} - 3m + 2 = 0\;\left( 1 \right)$
có nghiệm $x \geqslant 1$.
Đặt $t = x - 1\; \Rightarrow \;x = t + 1$, thay vào pt (1) ta được phương trình: ${t^2} + 2\left( {1 - m} \right)t + {m^2} - 3m + 2 = 0\;\left( 2 \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn D.
Đặt $t = x - 1\; \Rightarrow \;x = t + 1$, thay vào pt (1) ta được phương trình: ${t^2} + 2\left( {1 - m} \right)t + {m^2} - 3m + 2 = 0\;\left( 2 \right)$
Để phương trình (1) có nghiệm $x \geqslant 1$ $ \Leftrightarrow $ phương trình (2) có nghiệm $t \geqslant 0$
TH1: Phương trình (2) có nghiệm ${t_1} \leqslant 0 \leqslant {t_2} \Leftrightarrow P \leqslant 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \leqslant 0 \Leftrightarrow 1 \leqslant m \leqslant 2$.
TH2: Phương trình (2) có nghiệm :
$0 \le {t_1} \le {t_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ’ \ge 0\\ P \ge 0\\ S \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m - 1 \ge 0\\ {m^2} - 3m + 2 \ge 0\\ m - 1 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ge 1\\ \left[ \begin{array}{l} m \ge 2\\ m \le 1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m \ge 2 \end{array} \right.$
Kết luận: với $m \in \left[ {1; + \infty } \right)$ thì phương trình (1) có nghiệm $x \geqslant 1$.
Tùy theo giá trị của tham số m $g(x) = (m - 1){x^2} + 2(m - 1) + m - 3$, Khẳng định nào sau đây đúng là sai?
Xét $m = 1,m \ne 1.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nếu $m = 1 \Rightarrow g(x) = - 2 < 0{\text{ }}\forall x \in R$
Nếu $m \ne 1$, khi đó g(x) là tam thức bậc hai có a = m - 1 và $\Delta ’ = 2(m - 1)$, do đó ta có các trường hợp sau:
$T = \left[ {0;\frac{3}{2}} \right]$ có hai nghiệm phân biệt
${x_1} = \frac{{m - 1 - \sqrt {2(m - 1)} }}{{m - 1}}$ và ${x_2} = \frac{{m - 1 + \sqrt {2(m - 1)} }}{{m - 1}}$.
$\Rightarrow g(x) > 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty ;{x_1}) \cup ({x_2}; + \infty ); g(x) < 0 \Leftrightarrow x \in ({x_1};{x_2})$.
$m < 1 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}a < 0 \hfill \\ \Delta ’ < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow g(x) < 0{\text{ }}\forall x \in R$
Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức $h\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 1 - 4{m^2}}}{{ - 4{x^2} + 5x - 2}}$ luôn dương
Tam thức $ - 4{x^2} + 5x - 2$ có $a = - 4 < 0,\,\,\Delta = - 7 < 0$ suy ra $ - 4{x^2} + 5x - 2 < 0\,\,\forall x$
Do đó $h\left( x \right)$ luôn dương khi và chỉ khi $h'\left( x \right) = - {x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 1 - 4{m^2}$ luôn âm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tam thức $ - 4{x^2} + 5x - 2$ có $a = - 4 < 0,\,\,\Delta = - 7 < 0$ suy ra $ - 4{x^2} + 5x - 2 < 0\,\,\forall x$
Do đó $h\left( x \right)$ luôn dương khi và chỉ khi $h'\left( x \right) = - {x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 1 - 4{m^2}$ luôn âm
$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = - 1 < 0} \\ {\Delta \' = 4{{\left( {m + 1} \right)}^2} + \left( {1 - 4{m^2}} \right) < 0} \n\end{array}} \right. \Leftrightarrow 8m + 5 < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{5}{8}$
Vậy với $m < - \frac{5}{8}$ thì biểu thức $h\left( x \right)$ luôn dương.
Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức $k\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - x + m} - 1$ luôn dương
Biểu thức $k\left( x \right)$ luôn dương $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{a = 1 > 0}\\\n{\Delta = 1 - 4m < 0}\n\end{array}} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Biểu thức $k\left( x \right)$ luôn dương $ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - x + m} - 1 > 0,\,\,\forall x$
$\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - x + m} > 1,\,\,\forall x \Leftrightarrow {x^2} - x + m > 0,\,\,\forall x$
$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n {a = 1 > 0} \\ \n {\Delta = 1 - 4m < 0} \n\end{array}} \right. \Leftrightarrow m > \frac{1}{4}$
Vậy với $m > \frac{1}{4}$ thì biểu thức $k\left( x \right)$ luôn dương.
Tìm $m$ để $3{{\text{x}}^{\text{2}}} - 2(m + 1)x - 2{m^2} + 3m - 2 \geqslant 0{\text{ }}\forall x \in R$
$f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na > 0\\\n\Delta \le 0\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$3{{\text{x}}^{\text{2}}} - 2(m + 1)x - 2{m^2} + 3m - 2 \geqslant 0{\text{ }}\forall x \in R$
$ \Leftrightarrow \Delta ' = {(m + 1)^2} + 3(2{m^2} - 3m + 2) \leqslant 0$ $7{m^2} - 7m + 7 \leqslant 0$ bpt vô nghiệm
Vậy không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Tìm $m$ để hàm số $y = \sqrt {(m + 1){x^2} - 2(m - 1)x + 3m - 3} $ có nghĩa với mọi x.
Tìm điều kiện để $a{x^2} + bx + c \ge 0,\forall x .$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số có nghĩa với mọi x
$\Leftrightarrow (m + 1){x^2} - 2(m - 1)x + 3m - 3 \geqslant 0{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}$ (1)
* $m = - 1$ không thỏa mãn
* $m \ne - 1 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n m + 1 > 0 \hfill \\\n \Delta \' = (m - 1)( - 2m - 4) \leqslant 0 \hfill \\ \n\end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow m \geqslant 1$
Tìm $m$ để $\left| {\frac{{x + m}}{{{x^2} + x + 1}}} \right| \leqslant 1{\text{ }}\forall x \in R$
$\left| {\frac{{x + m}}{{{x^2} + x + 1}}} \right| \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le \frac{{x + m}}{{{x^2} + x + 1}} \le 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\Rightarrow \left| {\frac{{x + m}}{{{x^2} + x + 1}}} \right| \leqslant 1 \Leftrightarrow - 1 \leqslant \frac{{x + m}}{{{x^2} + x + 1}} \leqslant 1 $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n {x^2} + 1 - m \geqslant 0{\text{ (1)}} \hfill \\\n {x^2} + 2x + m + 1 \geqslant 0{\text{ (2)}} \hfill \\ \n\end{gathered} \right.$
(1) đúng $\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow 1 - m \geqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant 1$
(2) đúng $\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta \' = - m \leqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant 0$
Vậy $0 \leqslant m \leqslant 1$ là những giá trị cần tìm.
Tìm $m$ để mọi \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\] đều là nghiệm của bất phương trình $3{x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x - {m^2} + 2m + 8 \leqslant 0$ (1)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $3{x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x - {m^2} + 2m + 8 = 0 \Leftrightarrow x = m + 2$ hoặc $x = \frac{{4 - m}}{3}$
* Với $m + 2 > \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow 3m + 6 > 4 - m \Leftrightarrow m > - \frac{1}{2}$ ta có
Bất phương trình (1)$ \Leftrightarrow \frac{{4 - m}}{3} \leqslant x \leqslant m + 2$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là $\left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right]$
Suy ra mọi \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\] đều là nghiệm của bất phương trình (1)
khi và chỉ khi $\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {- 1 \geqslant \frac{{4 - m}}{3}} \\ {1 \leqslant m + 2} \end{array}} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \geqslant 7} \\ {m \geqslant - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m \geqslant 7$
Kết hợp với điều kiện $m > - \frac{1}{2}$ ta có $m \geqslant 7$ thỏa mãn yêu cầu bài toán
* Với $m + 2 < \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}$ ta có
Bất phương trình (1)$ \Leftrightarrow m + 2 \leqslant x \leqslant \frac{{4 - m}}{3}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là $\left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right]$
Suy ra mọi $x \in \left[ { - 1;1} \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình (1)
khi và chỉ khi $\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \geqslant m + 2} \\ {1 \leqslant \frac{{4 - m}}{3}} \end{array}} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant - 3} \\ {m \leqslant 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m \leqslant - 3$
Kết hợp với điều kiện $m < - \frac{1}{2}$ ta có $m \leqslant - 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán
* Với $m = - \frac{1}{2}$ ta có bất phương trình (1)$ \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$ nên $m = - \frac{1}{2}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $m \in ( - \infty ; - 3] \cup {\text{[}}7; + \infty )$ là giá trị cần tìm.
Tìm $m$ để mọi \[x \in \left[ {0; + \infty } \right)\] đều là nghiệm của bất phương trình $\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} - 8mx + 9 - {m^2} \geqslant 0$
Phân tích thành nhân tử rồi xét dấu.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$m = 1$ không thỏa mãn ycbt; $m = - 1$ thỏa mãn ycbt
Với $m \ne \pm 1$ ta có $bpt \Leftrightarrow \left[ {\left( {m + 1} \right)x + m - 3} \right]\left[ {\left( {m - 1} \right)x - m - 3} \right] \geqslant 0$
Đáp số $m \in \left[ { - 3; - 1} \right]$
Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + bx + 1$ với $b \in \left( {3,\frac{7}{2}} \right)$. Giải bất phương trình $f\left( {f\left( x \right)} \right) > x$ .
Phân tích thành nhân tử rồi xét dấu.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $g\left( x \right) = {\text{ }}{x^2} + \left( {b--1} \right)x + 1,{\text{ }}h\left( x \right) = {x^2} + \left( {b + 1} \right)x + b + 2$
Vì $b \in \left( {3,\frac{7}{2}} \right)$ nên ${\Delta _{g(x)}} > 0$ và ${\Delta _{h(x)}} < 0$. Phương trình $g\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{1 - b - \sqrt {{b^2} - 2b - 3} }}{2},{\text{ }}{x_2} = \frac{{1 - b + \sqrt {{b^2} - 2b - 3} }}{2}$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S = \left( { - \infty ;\frac{{1 - b - \sqrt {{b^2} - 2b - 3} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{1 - b + \sqrt {{b^2} - 2b - 3} }}{2}; + \infty } \right)$