Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có ${x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x =  - 1} \\    {x = 2}  \end{array}} \right.,\,\, - {x^2} + 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}   {x =  - 1} \\    {x = 4}  \end{array}} \right.$

Bảng xét dấu: 

Suy ra $\frac{{{x^2} - x - 2}}{{ - {x^2} + 3x + 4}}$ dương khi và chỉ khi $x \in \left( {2;4} \right)$, $\frac{{{x^2} - x - 2}}{{ - {x^2} + 3x + 4}}$ âm khi và chỉ khi  $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có ${x^3} - 5x + 2 = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)$
Ta có ${x^2} + 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt 2 $

Bảng xét dấu:

Suy ra ${x^3} - 5x + 2$ dương khi và chỉ khi $x \in \left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 + \sqrt 2 } \right) \cup \left( {2; + \infty } \right),{x^3} - 5x + 2$ khi và chỉ khi $x \in \left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 2 } \right) \cup \left( { - 1 + \sqrt 2 ;2} \right)$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $x - \frac{{{x^2} - x + 6}}{{ - {x^2} + 3x + 4}} = \frac{{ - {x^3} + 2{x^2} + 5x - 6}}{{ - {x^2} + 3x + 4}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( { - {x^2} + x + 6} \right)}}{{ - {x^2} + 3x + 4}}$
Ta có $- {x^2} + x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n  {x =  - 2} \\ \n  {x = 3} \n\end{array}} \right.,\,\, - {x^2} + 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n  {x =  - 1} \\ \n  {x = 4} \n\end{array}} \right.$

Bảng xét dấu:

Suy ra $x - \frac{{{x^2} - x + 6}}{{ - {x^2} + 3x + 4}} > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 2; - 1} \right) \cup \left( {1;3} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$

$x - \frac{{{x^2} - x + 6}}{{ - {x^2} + 3x + 4}} < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {3;4} \right)$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D.
Ta có: ${x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1;x = 4$
          $2 - 5x + 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2;x = \frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D.
Ta có: $f(x) = \frac{{{{({x^2} - 3x)}^2} - 2({x^2} - 3x) - 8}}{{{x^2} - 3x}} = \frac{{({x^2} - 3x + 2)({x^2} - 3x - 4)}}{{{x^2} - 3x}}$
Bảng xét dấu

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $f(x) = \frac{{2x - 2(x + 9) - x(x + 9)}}{{2x(x + 9)}} = \frac{{ - {x^2} - 9x - 18}}{{2x(x + 2)}}$

$\begin{gathered} \Rightarrow f(x) > 0 \Leftrightarrow x \in ( - 6; - 3) \cup (2;0) \hfill \\ f(x) < 0 \Leftrightarrow ( - \infty ; - 6) \cup ( - 3;2) \cup (0; + \infty ) \hfill \\ \n\end{gathered}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\frac{{5{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - x - 2}} > 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty ; - 1) \cup \left( { - \frac{3}{5};1} \right) \cup (2; + \infty )$

và $\frac{{5{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - x - 2}} < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1; - \frac{3}{5}} \right) \cup \left( {1;2} \right)$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\begin{gathered} f\left( x \right) = {(x - 1)^2}(x + 2) \Rightarrow f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\} \hfill \\ f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \hfill \\ \n\end{gathered}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $f(x) = {x^4} + 2{x^2} + 1 - 2({x^2} + 2x + 1) = {({x^2} + 1)^2} - {\left[ {\sqrt 2 (x + 1)} \right]^2}$

$\begin{gathered} \Rightarrow f(x) = \left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 1 - \sqrt 2 } \right)\left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1 + \sqrt 2 } \right) \hfill \\ \Rightarrow f(x) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\frac{{\sqrt 2 - \sqrt {4\sqrt 2 - 2} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt {4\sqrt 2 - 2} }}{2}; + \infty } \right) \hfill \\ f(x) < 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{{\sqrt 2 - \sqrt {4\sqrt 2 - 2} }}{2};\frac{{\sqrt 2 + \sqrt {4\sqrt 2 - 2} }}{2}} \right) \hfill \\ \n\end{gathered}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với m = 0 thì $f\left( x \right) =  - x - 1$ lấy cả giá trị dương(chẳng hạn $f\left( { - 2} \right) = 1$) nên m = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán
Với $m \ne 0$ thì $f\left( x \right) = m{x^2} - x - 1$ là tam thức bậc hai do đó

$f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n  {a = m < 0} \\ \n  {\Delta  = 1 + 4m < 0} \n\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n  {m < 0} \\ \n  {m >  - \frac{1}{4}} \n\end{array} \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} < m < 0} \right.$
Vậy với $- \frac{1}{4} < m < 0$ thì biểu thức $f\left( x \right)$ luôn âm.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với $m = 4$ thì $g\left( x \right) =  - 1 < 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán
Với $m \ne 4$ thì $g\left( x \right) = \left( {m - 4} \right){x^2} + \left( {2m - 8} \right)x + m - 5$ là tam thức bậc hai dó đó

$\begin{gathered}\n  g\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n  {a = m - 4 < 0} \\ \n  {\Delta \' = {{\left( {m - 4} \right)}^2} - \left( {m - 4} \right)\left( {m - 5} \right) < 0} \n\end{array}} \right. \hfill \\\n   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n  {m < 4} \\ \n  {m - 4 < 0} \n\end{array} \Leftrightarrow m < 4} \right. \hfill \\ \n\end{gathered}$

Vậy với $m \leqslant 4$ thì biểu thức g(x) luôn âm.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1 < 0} \\ {\Delta ’ = 1 - 4m < 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m > \frac{1}{4}$

Vậy với $- \frac{1}{4} < m < 0$ thì biểu thức f(x) luôn âm.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với $m = 0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán
Với $m \ne 0$ thì $g\left( x \right) = 4m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x + m - 3$ là tam thức bậc hai dó đó

$\begin{gathered}\n  g\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n  {a = 4m < 0} \\ \n  {\Delta \' = 4{{\left( {m - 1} \right)}^2} - 4m\left( {m - 3} \right) < 0} \n\end{array}} \right. \hfill \\\n   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n  {m < 0} \\ \n  {4m + 4 < 0} \n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n  {m < 0} \\ \n  {m <  - 1} \n\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow m <  - 1 \hfill \\ \n\end{gathered}$

Vậy với $m <  - 1$ thì biểu thức g(x) luôn âm.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với m =  - 1: bất phương trình trở thành $6x + 6 < 0 \Leftrightarrow x <  - 1$
Với $m \ne  - 1$  ta có $g(x) =x^2 - 2(2m - 1)x - 4m + 2$ là tam thức bậc hai có : $a = m + 1;{\text{ }}\Delta \' = 8{m^2} - 2m - 1$.
Bảng xét dấu:

$- \frac{1}{4} \leqslant m \leqslant \frac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a > 0 \hfill \\ \Delta \' \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow g(x) \geqslant 0{\text{ }}\forall x \in R \Rightarrow$bất phương trình vô nghiệm.

$\left[ \begin{gathered} m > \frac{1}{2} \hfill \\ - 1 < m < - \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a > 0 \hfill \\ \Delta \' > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow S = ({x_1};{x_2})$ với ${x_1} = \frac{{2m - 1 - \sqrt {(2m - 1)(m + 1)} }}{{m + 1}};{x_2} = \frac{{2m - 1 + \sqrt {(2m - 1)(m + 1)} }}{{m + 1}}$

$m < - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a < 0 \hfill \\ \Delta \' > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow S = ( - \infty ;{x_1}) \cup ({x_2}; + \infty )$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với $m = 0$, bất phương trình trở thành: $ - 1 > 0 \Rightarrow $ bất phương trình vô nghiệm
Với $m \ne 0 \Rightarrow f(x) = m{x^2} - 2mx + m - 1$ là tam thức bậc hai có $a = m,{\text{ }}\Delta ' = m$

$m > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta \' > 0 \hfill \\ a > 0 \hfill \\ \n\end{gathered} \right. \Rightarrow$ bất phương trình có tập nghiệm: $S = ( - \infty ;\frac{{m - \sqrt m }}{m}) \cup (\frac{{m + \sqrt m }}{m}; + \infty )$

$m < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a < 0 \hfill \\ \Delta \' < 0 \hfill \\ \n\end{gathered} \right. \Rightarrow$ bất phương trình vô nghiệm .

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D.
Khi $m = 0$ hệ bất phương trình trở thành $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x - 5 \leqslant 0} \\ {{x^2} + 2 \geqslant 0} \n\end{array}} \right.$ (vô nghiệm) do đó $m = 0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán
Khi $m = 1$ ta thấy cũng không thỏa mãn yêu cầu bài toán
Khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ne 0} \\ {m \ne 1} \n\end{array}} \right.$ ta có hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi các bất phương trình trong hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 0} \\ {{\Delta _1} = 1 + 20m \leqslant 0} \n\end{array}} \right.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - m > 0} \\ {\Delta {\'_2} = {m^2} - \left( {1 - m} \right)\left( {m + 2} \right) \leqslant 0} \n\end{array}} \right.} \n\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ m \leqslant - \frac{1}{{20}} \hfill \\ m < 1 \hfill \\ 2{m^2} + m - 2 \leqslant 0 \hfill \\ \n\end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ m \leqslant - \frac{1}{{20}} \hfill \\ m < 1 \hfill \\ \frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{4} \leqslant m \leqslant \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{4} \hfill \\ \n\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{4} \leqslant m \leqslant - \frac{1}{{20}}$

Vậy $\frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{4} \leqslant m \leqslant  - \frac{1}{{20}}$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. 

$- 4 \leqslant \frac{{{x^2} - 2x - 7}}{{{x^2} + 1}} \leqslant 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4\left( {{x^2} + 1} \right) \leqslant {x^2} - 2x - 7} \\ {{x^2} - 2x - 7 \leqslant {x^2} + 1} \n\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5{x^2} - 2x - 3 \geqslant 0} \\ {2x \geqslant - 8} \n\end{array}} \right.$

Suy ra $T = \left[ { - 4; - \frac{3}{5}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A.
Đặt $f\left( x \right) = \left( {{m^2} + m--2} \right)x + m + 2$ 
Bài toán thỏa mãn:  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  f( - 2) > 0 \hfill \\\n  f(1) > 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  ({m^2} + m - 2)( - 2) + m + 2 > 0 \hfill \\\n  ({m^2} + m - 2)(1) + m + 2 > 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n   - 2{m^2} - m + 6 > 0 \hfill \\\n  m{}^2 + 2m > 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n   - 2 < m < \frac{3}{2} \hfill \\\n  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n  {m <  - 2} \\ \n  {m > 0} \n\end{array}} \right. \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow 0 < m < \frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B.
Ta có $\left\{ \begin{gathered}\n  {x^2} + 4x + 3 \geqslant 0 \hfill \\\n  2{x^2} - x - 10 \leqslant 0 \hfill \\\n  2{x^2} - 5x + 3 \leqslant 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n  {x \geqslant  - 1} \\ \n  {x \leqslant  - 3} \n\end{array}} \right. \hfill \\\n   - 2 \leqslant x \leqslant \frac{5}{2} \hfill \\\n  1 \leqslant x \leqslant \frac{3}{2} \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow 1 \leqslant x \leqslant \frac{3}{2}$ 
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S = \left[ {1;\frac{3}{2}} \right]$.