Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho tạo độ 2 điểm $A(4;5),B(-2;3)$. Tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB} $ là?
$A(a;b),B(c;d)$$ \Rightarrow \overrightarrow {AB} (c - a;d - b)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\overrightarrow {AB} (( - 2) - 4;3 - 5) \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ( - 6;2)$
Đáp án đúng là B.
Cho tam giác $ABC$ với $A(-3;6)$, $B(9;-10)$ và $G(\dfrac{1}{3};0)$ là trọng tâm. Tọa độ điểm C là:
$\left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} + {x_C} = 3{x_G}\\ {y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_G} \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x_A} + {x_B} + {x_C} = 3{x_G}\\ {y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_G} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 3{x_G} - ({x_A} + {x_B})\\ {y_C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 3.\dfrac{1}{3} - ( - 3 + 9)\\ {y_C} = 3.0 - (6 - 10) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = - 5\\ {y_C} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow C( - 5;4) \end{array}$
Vậy đáp án đúng là B.
Cho $\overrightarrow a (1;2),\overrightarrow b (3;4)$ với $\overrightarrow c = 4\overrightarrow a - 2\overrightarrow b $ thì tọa độ $\overrightarrow c $ là?
$\overrightarrow c = 4\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x_C} = 4{x_A} - 2{x_B}\\\n{y_C} = 4{y_A} - 2{y_B}\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\overrightarrow c = 4\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x_C} = 4{x_A} - 2{x_B}\\\n{y_C} = 4{y_A} - 2{y_B}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x_C} = 4.1 - 2.3\\\n{y_C} = 4.2 - 2.4\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x_C} = - 2\\\n{y_C} = 0\n\end{array} \right. \Rightarrow C( - 2;0)$
Đáp án đúng là A.
Trong măt phẳng tọa độ $(Oxy)$, cho $A(3;5),B(1;2)$. Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$?
$\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\ {y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $I$ là trung điểm của $AB$
$\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\ {y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \dfrac{{3 + 1}}{2}\\ {y_I} = \dfrac{{5 + 2}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = 2\\ {y_I} = \dfrac{7}{2} \end{array} \right.$
Suy ra $I(2;\dfrac{7}{2})$
Đáp án đúng là C.
Cho hai vectơ $\overrightarrow a (4;10),\overrightarrow b (2;x)$, hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ cùng phương nếu
$\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ cùng phương khi và chỉ khi $\overrightarrow a = k\overrightarrow b $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ cùng phương thì :
$\dfrac{2}{4} = \dfrac{x}{{10}} \Leftrightarrow x = \dfrac{{2.10}}{4} = 5$
Đáp án đúng là C
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh lần lượt là: $A(2;3), B(5;4), C(-1;-1)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là?
$\left\{ \begin{array}{l}\n{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\\n{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì:
$\left\{ \begin{array}{l}\n{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\\n{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x_G} = \dfrac{{2 + 5 - 1}}{3}\\\n{y_G} = \dfrac{{3 + 4 - 1}}{3}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x_G} = 2\\\n{y_G} = 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow G(2;2)$
Đáp án đúng là C.
Trong mặt phẳng Oxy có các điểm A ( -1; 0); B ( 2; 0); C ( 3; 0)
Tìm giá trị của $\overline {AB} + 2\overline {AC} $?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l} \overline {AB} = 2 - ( - 1) = 3\\ \overline {AC} = 3 - ( - 1) = 4\\ \Rightarrow \overline {AB} + 2\overline {AC} = 3 + 2.4 = 11 \end{array}$
Đáp án đúng là A.
Cho hai vectơ $\overrightarrow a (1; - 4),\overrightarrow b ( - 6;15)$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow u $ biết $\overrightarrow u + \overrightarrow a = \overrightarrow b $.
$\overrightarrow u + \overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow u = \overrightarrow b - \overrightarrow a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_u} = {x_b} - {x_a}\\ {y_u} = {y_b} - {y_a} \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\overrightarrow u + \overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow u = \overrightarrow b - \overrightarrow a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_u} = {x_b} - {x_a}\\ {y_u} = {y_b} - {y_a} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_u} =( - 6)-1\\ {y_u} = 15-(- 4 ) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_u} = -7\\ {y_u} = 19 \end{array} \right.$
Suy ra $\overrightarrow u (-7; 19)$
Đáp án đúng là A.
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j ,\overrightarrow b = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j $. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow c = \overrightarrow a - \overrightarrow b $?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}\n\overrightarrow c = \overrightarrow a - \overrightarrow b = (2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j ) - ( - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j ) = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \\ \Rightarrow \overrightarrow c (3; - 5)\n\end{array}$
Đáp án đúng là B.
Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho$M(3;-4)$ ${M_1},{M_2}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ của lên $Ox, Oy$. Khẳng định nào sau đây đúng?
$\overrightarrow {O{M_1}} = {M_1} = (3;0),\overrightarrow {O{M_2}} = {M_2} = (0; - 4)$
Xét từng đáp án
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\overrightarrow {O{M_1}} = {M_1} = (3;0),\overrightarrow {O{M_2}} = {M_2} = (0; - 4)$
Đáp án A sai vì: $\overline {O{M_1}} = 3$
Đáp án B sai vì: $\overline {O{M_2}} = 4$
Đáp án C sai vì: $\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} = ( 3; 4)$
Đáp án D đúng vì: $\overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {O{M_2}} = ( 3+0; 0+(- 4))=(3;-4)$
Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(2;-3),B(9;7), C(11;-1)$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow {MN} $?
Áp dụng quy tắc trung điểm tìm tọa độ điểm $M,N$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow {MN} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $M$ là trung điểm của $AB$ nên $M = (\dfrac{{2 + 9}}{2};\dfrac{{ - 3 + 7}}{2}) = (\dfrac{{11}}{2};2)$
$N$ là trung điểm của $AC$ nên $N = (\dfrac{{2 + 11}}{2};\dfrac{{ - 3 - 1}}{2}) = (\dfrac{{13}}{2}; - 2)$
Suy ra $\overrightarrow {MN} = (\dfrac{{13}}{2} - \dfrac{{11}}{2}; - 2 - 2) = (1; - 4)$
Đáp án đúng là A.
Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(6;1),B(-3;5)$ và trọng tâm $G(-1;1)$. Tìm tọa độ điểm $C$?
$\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\ {y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $C(x;y)$
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\ {y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{6 + ( - 3) + x}}{3} = - 1\\ \dfrac{{1 + 5 + y}}{3} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 6\\ y = - 3 \end{array} \right.$
Vậy $C(-6;-3)$
Đáp án đúng là B.
Cho 3 điểm $A(-4;0),B(-5;0),C(3;0)$. Tìm điểm $M$ trên trục $Ox$ sao cho $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $?
$M \in Ox$ nên $M(x;0)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $M \in Ox$ nên $M(x;0)$
$\overrightarrow {MA} = ( - 4 - x;0),\overrightarrow {MB} ( - 5 - x;0),\overrightarrow {MC} = (3 - x;0)$
$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $$ \Leftrightarrow ( - 4 - x) + ( - 5 - x) + (3 - x) = 0 \Leftrightarrow 3x = - 6 \Leftrightarrow x = - 2$
Vậy $M(-2;0)$
Đáp án đúng là C.
Cho 3 vectơ $\overrightarrow a (5;3),\overrightarrow b (4;2),\overrightarrow c (2;0)$. Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow c $ theo 2 vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $?
$\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử: $\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b $
$\left\{ \begin{array}{l}\n5m + 4n = 2\\\n3m + 2n = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm = - 2\\\nn = 3\n\end{array} \right.$
Vậy $\overrightarrow c = -2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b $
Đáp án đúng là C.
Cho hai điểm $M(-2;2),N(1;1)$, tìm tọa độ điểm $P$ trên $Ox$ sao cho 3 điểm $M,N,P$ thẳng hàng?
3 điểm $M,N,P$ thẳng hàng nếu $\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {MN} $ cùng phương.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $P \in Ox$ nên $P(x;0)$
Mà $\overrightarrow {MP} = (x + 2; - 2),\overrightarrow {MN} (3; - 1)$
Do $M,N,P$ thẳng hàng $\dfrac{{x + 2}}{3} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow x = 4$
Vậy $P(4;0)$
Đáp án đúng là B.
Cho $\overrightarrow u (2x - 1;3),\overrightarrow v (1;x + 2)$. Có hai giá trị ${x_1},{x_2}$ của $x$ để $\overrightarrow u $ cùng phương với $\overrightarrow v $. Tính ${x_1}{x_2}$?
$\overrightarrow u ,\overrightarrow v $cùng phương$\Leftrightarrow \dfrac{{2x - 1}}{1} = \dfrac{3}{{x + 2}}$ (với $x \ne - 2$)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\overrightarrow u ,\overrightarrow v $cùng phương$\Leftrightarrow \dfrac{{2x - 1}}{1} = \dfrac{3}{{x + 2}}$ (với $x \ne - 2$)
$ \Leftrightarrow (2x - 1)(x + 2) = 3 \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x - 5 = 0$
Vậy ${x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{ - 5}}{2}$
Đáp án đúng là A.
Cho ba điểm $A(2;-4),B(6;0),C(m;4)$. Xác định $m$ để $A,B,C$ thẳng hàng.
$A,B,C$ thẳng hàng $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ cùng phương
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\overrightarrow {AB} (4;4);\overrightarrow {AC} (m - 2;8)$
$A,B,C$ thẳng hàng $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ cùng phương $\Leftrightarrow \dfrac{{m - 2}}{4} = \dfrac{8}{4} \Leftrightarrow m = 10$
Đáp án đúng là A.
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $A(1;3);B(4;9)$. Tìm điểm $C$ đối xứng với $A$ qua $B$?
$C$ đối xứng với $A$ qua $B$ suy ra $B$ là trung điểm của $AC$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$C$ đối xứng với $A$ qua $B$ suy ra $B$ là trung điểm của $AC$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_B} = \dfrac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\ {y_B} = \dfrac{{{y_A} + {y_C}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 2{x_B} - {x_A}\\ {y_C} = 2{y_B} - {y_A} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 7\\ {y_C} = 15 \end{array} \right.$
vậy $C(7;15)$
Đáp án đúng là C.
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $A(-2m;-m),B(2m;m)$ với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $AB$ đi qua $O$?
Đường thẳng $AB$ đi qua gốc $O$ nếu $\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} $ cùng phương.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\overrightarrow {OA} = ( - 2m; - m),\overrightarrow {OB} = (2m;m)$
Đường thẳng $AB$ đi qua gốc $O$ nếu $\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} $ cùng phương.
$\overrightarrow {OA} = ( - 2m; - m) = - (2m;m) = - \overrightarrow {OB} ,\forall m \in R$ nên $AB$ đi qua $O$ với $\forall m \in R$.
Đáp án đúng là A.
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho 3 điểm $A(3;5),B(6;4),D(5;7)$. Tìm tọa độ điểm $D$ biết $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} $?
$\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_D} - {x_C} = {x_B} - {x_A}\\ {y_D} - {y_C} = {y_B} - {y_A} \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l} \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_D} - {x_C} = {x_B} - {x_A}\\ {y_D} - {y_C} = {y_B} - {y_A} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_D} = {x_B} - {x_A} + {x_C}\\ {y_D} = {y_B} - {y_A} + {y_C} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_D} = 8\\ {y_D} = 6 \end{array} \right. \Rightarrow D(8;6) \end{array}$
Đáp án đúng là C.