Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 3x + y \ge 9\\ x \ge y - 3\\ 2y \ge 8 - x\\ y \le 6 \end{array} \right.$ là phần mặt phẳng chứa điểm
Thử từng đáp án.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thay tọa độ điểm $\left( {1;\,2} \right)$, $\left( {0;\,0} \right)$, $\left( {2;1} \right)$vào bất phương trình thứ nhất của hệ không thỏa mãn
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = y - x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y - 2x \le 2}\\ {2y - x \ge 4}\\ {x + y \le 5} \end{array}} \right.$ là
Xác định miền nghiệm của hệ. Nhận thấy F(x) nhận giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của đa giác.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A.
Miền nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y - 2x \le 2}\\ {2y - x \ge 4}\\ {x + y \le 5} \end{array}} \right.$ là miền trong của tam giác \[ABC\] kể cả biên (như hình)
Ta thấy $F = y - x$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm $A$, $B$, $C$.
Tại $A\left( {0; 2} \right)$ thì $F = 2$.
Tại $B\left( {1; 4} \right)$ thì $F = 3$
Tại $A\left( {2; 3} \right)$ thì $F = 1$.
Vậy $\min F = 1$ khi $x = 2$, $y = 3$.
Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm $I$ và $II$. Mỗi sản phẩm $I$ bán lãi $500$ nghìn đồng, mỗi sản phẩm $II$ bán lãi $400$ nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm $I$ thì Chiến phải làm việc trong $3$ giờ, Bình phải làm việc trong $1$ giờ. Để sản xuất được một sản phẩm $II$ thì Chiến phải làm việc trong $2$ giờ, Bình phải làm việc trong $6$ giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá $180$ giờ và Bình không thể làm việc quá $220$ giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là.
Gọi $x$, $y$ lần lượt là số sản phẩm loại $I$ và loại $II$ được sản xuất ra. Từ giả thiết xác định được hệ bất phương trình và tìm miền nghiệm của hệ.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A.
Gọi $x$, $y$ lần lượt là số sản phẩm loại $I$ và loại $II$ được sản xuất ra. Điều kiện $x$, $y$ nguyên dương.
Ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l} 3x + 2y \le 180\\ x + 6y \le 220\\ x > 0\\ y > 0 \end{array} \right.$
Miền nghiệm của hệ trên là
Tiền lãi trong một tháng của xưởng là $T = 0,5x + 0,4y$ (triệu đồng).
Ta thấy $T$ đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm $A$, $B$, $C$. Vì $C$ có tọa độ không nguyên nên loại.
Tại $A\left( {60; 0} \right)$ thì $T = 30$ triệu đồng.
Tại $B\left( {40; 30} \right)$ thì $T = 32$ triệu đồng.
Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là $32$ triệu đồng.
Một gia đình cần ít nhất $900$ đơn vị protein và $400$ đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kiogam thịt bò chứa $800$ đơn vị protein và $200$đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa $600$đơn vị protein và $400$ đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất $1,6$ kg thịt bò và $1,1$ kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là $160$ nghìn đồng, một kg thịt lợn là $110$ nghìn đồng. Gọi $\,x$,$y$ lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm $\,x$,$y$ để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?
Từ giả thiết xác định được hệ bất phương trình. Sau đó
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A.
Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là $160.x + 110.y$ với $\,x$,$y$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant x \leqslant 1,6 \hfill \\ 0 \leqslant y \leqslant 1,1 \hfill \\ \n\end{gathered} \right.$
Số đơn vị protein gia đình có là $0,8.x + 0,6.y \geqslant 0,9$$ \Leftrightarrow 8x + 6y \geqslant 9$$\left( {{d_1}} \right)$.
Số đơn vị lipit gia đình có là$0,2.x + 0,4.y \geqslant 0,4 \Leftrightarrow \,x + 2y \geqslant 2$ $\left( {{d_2}} \right)$.
Bài toán trở thành: Tìm $x,y$ thỏa mãn hệ bất phương trình $\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant x \leqslant 1,6 \hfill \\ 0 \leqslant y \leqslant 1,1 \hfill \\ 8x + 6y \geqslant 9 \hfill \\ x + 2y \geqslant 2 \hfill \\ \n\end{gathered} \right.$
sao cho $T = 160.x + 110.y$ nhỏ nhất.
Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm $A\left( {1,6;\,1,1} \right)$; $B\left( {1,6;\,0,2} \right)$; $C\left( {0,6;\,0,7} \right)$; $D\left( {0,3;\,1,1} \right)$.
Nhận xét: $T\left( A \right) = 377$ nghìn, $T\left( B \right) = 278$ nghìn, $T\left( C \right) = 173$ nghìn, $T\left( D \right) = 169$ nghìn.
Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì $x = 0,6$ và $y = 0,7$.
Giá trị nhỏ nhất của biết thức \[F = y - x\] trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y - 2x \leqslant 2} \\ {2y - x \geqslant 4} \\ {x + y \leqslant 5} \end{array}} \right.$ là
Xác định miền nghiệm và hệ bất phương trình và nhận xét F đạt giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y - 2x \leqslant 2} \\ {2y - x \geqslant 4} \\ {x + y \leqslant 5} \end{array}} \right.$ trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
Giá trị nhỏ nhất của biết thức \[F = y - x\] trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + y \leqslant 2} \\ {x - y \leqslant 2} \\ {5x + y \geqslant - 4} \n\end{array}} \right.$ là
Xác đị
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn C.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + y \leqslant 2} \\ {x - y \leqslant 2} \\ {5x + y \geqslant - 4} \n\end{array}} \right.$ trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
Giá trị nhỏ nhất của biết thức \[F = y - x\] chỉ đạt được tại các điểm
\[A\left( { - 2;6} \right),C\left( {\frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right),\,B\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{{ - 7}}{3}} \right)\].
Ta có: $F\left( A \right) = 8;\,F\left( B \right) = - 2;\,F\left( C \right) = - 2$.
Vậy \[{\text{min }}F = - 2\] khi \[x = \frac{4}{3},y = - \frac{2}{3}\].
Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{gathered} x - y \leqslant 2 \hfill \\ 3x + 5y \leqslant 15 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ y \geqslant 0 \hfill \\ \n\end{gathered} \right.$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn B.
Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:
$\left( {{d_1}} \right):x - y = 2$
$\left( {{d_2}} \right):3x + 5y = 15$
$\left( {{d_3}} \right):x = 0$
$\left( {{d_4}} \right):y = 0$
Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên.
Giá trị lớn nhất của biết thức \[F\left( {x;y} \right) = x + 2y\] với điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant y \leqslant 4} \\ {x \geqslant 0} \\ {x - y - 1 \leqslant 0} \\ {x + 2y - 10 \leqslant 0} \n\end{array}} \right.$ là
Xác định miền nghiệm của hệ bát phương trình và nhận thấy F đạt giá trị lớn nhất tại các đỉnh.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn C.
Vẽ đường thẳng ${d_1}:x - y - 1 = 0$, đường thẳng ${d_1}$ qua hai điểm $\left( {0;\, - 1} \right)$ và $\left( {1;\,0} \right)$.
Vẽ đường thẳng ${d_2}:x + 2y - 10 = 0$, đường thẳng ${d_2}$ qua hai điểm $\left( {0;\,5} \right)$ và $\left( {2;\,4} \right)$.
Vẽ đường thẳng ${d_3}:y = 4$.
Giá trị nhỏ nhất của biết thức \[F\left( {x;y} \right) = x - 2y\] với điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant y \leqslant 5} \\ {x \geqslant 0} \\ {x + y - 2 \geqslant 0} \\ {x - y - 2 \leqslant 0} \n\end{array}} \right.$ là
Xác định miền nghiệm và nhận thấy F đạt giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của đa giác.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant y \leqslant 5} \\ {x \geqslant 0} \\ {x + y - 2 \geqslant 0} \\ {x - y - 2 \leqslant 0} \n\end{array}} \right.$ trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
Nhận thấy biết thức \[F = y - x\] chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm $A,B,C$ hoặc $D$.
Ta có: $F\left( A \right) = 7 - 2 \times 5 = - 3;\,F\left( B \right) = - 2 \times 5 = - 10$.
$F\left( C \right) = - 2 \times 2 = - 4,F\left( D \right) = 2 - 2 \times 0 = 2$.
Vậy \[{\text{min }}F = - 10\] khi \[x = 0,y = 5\].
Biểu thức \[F = y--x\] đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2x + y \leqslant - 2} \\ {x - 2y \leqslant 2} \\ {x + y \leqslant 5} \\ {x \geqslant 0} \n\end{array}} \right.$ tại điểm \[S\left( {x;y} \right)\] có toạ độ là
Xác định miền nghiệm và nhận thấy F đạt giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của đa giác.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A.
Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2x + y \leqslant - 2} \\ {x - 2y \leqslant 2} \\ {x + y \leqslant 5} \\ {x \geqslant 0} \n\end{array}} \right.$ trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
Nhận thấy biết thức \[F = y - x\] chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm $A,B$ hoặc $C$.
Chỉ \[C\left( {4;1} \right)\] có tọa độ nguyên nên thỏa mãn.
Vậy \[{\text{min }}F = - 3\] khi \[x = 4,y = 1\].