Cho tứ giác $ABCD$, gọi $M, N$ là trung điểm của $AB, CD$. Khi đó $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} $ bằng?
$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} \end{array} \right.$
Cộng 2 vế của hệ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} \end{array} \right.\\ \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \end{array}$
Đáp án đúng là B.
Phát biểu nào là sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A đúng vì: 2 vectơ bằng nhau thì có độ dài bằng nhau
Đáp án B sai vì: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} $ có thể lập thành hình bình hành $ABDC$
Đáp án C đúng vì: $3\overrightarrow {AB} + 7\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = - \dfrac{7}{3}\overrightarrow {AC} $ nên $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ cùng phương
Đáp án D đúng vì: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 $
Cho tứ giác $ABCD$, gọi $G, G’$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC, BCD$. Khẳng định nào sau đây đúng?
$\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 3\overrightarrow {GG’} $
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 $$\Rightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $G’$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên ta có:
$\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 3\overrightarrow {GG’} $(1)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên ta có:
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 $$\Rightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} $(2)
Từ (1)(2) ta có: $3\overrightarrow {GG’} = \overrightarrow {GD} - \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \overrightarrow {GG’} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AD} $
Đáp án đúng là A.
Cho tam giác $ABC$ có điểm $O$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right|$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
$\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OC }} \right| = \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB}} \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \\\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $I$ là trung điểm của AB ta có:
$\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {O C} } \right| = \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB}} \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {CI} } \right| = AB \Leftrightarrow 2CI = AB \Leftrightarrow CI = \dfrac{1}{2}AB \end{array}$
Suy ra tam giác $ABC$ cân tại C
Đáp án đúng là B.
Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý, đặt $\overrightarrow v = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} $. Hãy xác định vị trí của điểm $D$ sao cho $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow v $?
$I$ là trung điểm của $AB$
$\overrightarrow v = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {CI} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\overrightarrow v = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {CI} $
(với $I $ là trung điểm của $AB$)
Vậy $\overrightarrow v $ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M $.
Khi đó $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow v = 2\overrightarrow {CI} $. Suy ra $I$ là trung điểm của $CD$
Vậy $D$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ACBD$.
Đáp án đúng là B
Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi ${A_1},{B_1},{C_1}$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Chọn khẳng định sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A đúng vì: $\overrightarrow {G{A_1}} + \overrightarrow {G{B_1}} + \overrightarrow {G{C_1}} = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {GA} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {GB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {GC} = - \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) = \overrightarrow 0 $
Đáp án B đúng vì: $\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = - (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) = - \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 $
Đáp án C đúng vì: $\overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {C{C_1}} = - \dfrac{3}{2}(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) = - \dfrac{3}{2}\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 $
Đáp án D sai vì: $\overrightarrow {GC} ,\overrightarrow {G{C_1}} $ là hai vectơ ngược hướng nên $\overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {G{C_1}} $ là sai
Đáp án là D.
Cho tam giác $ABC$, gọi $M$ lần là trung điểm của $BC\n$, $N$ là trung điểm của $AM$. Đường thẳng $BN$ cắt $AC$ tại $P$.Khi đó $\overrightarrow {AC} = x\overrightarrow {CP} $ thì giá trị của $x$ là gì?
Kẻ $MK//BP$($K \in AC$)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Kẻ $MK//BP$($K \in AC$)
Do $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $K$ là trung điểm của $CP$
Vì $MK//BP$ suy ra $MK//NP$. Mà $N$ là trung điểm của $AM$ nên suy ra $P$ là trung điểm của $AK$
Do đó $AP=PK=AC$.
Vậy $\overrightarrow {AC} = - \dfrac{3}{2}\overrightarrow {CP} \Rightarrow x = - \dfrac{3}{2}$
Đáp án đúng là B.
Cho tam giác $ABC$, hai điểm $M,N$ được xác định bởi hệ thức $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {NA} - 3\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 $.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
+$\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BC} $ suy ra $M \in AC(1)$
+Cộng vế với vế của 2 đẳng thức $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {NA} - 3\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 $ suy ra $\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {AC} $, nên
$\overrightarrow {MN} $ cùng phương với $\overrightarrow {AC} $(2)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BC} $. Suy ra $M$ là điểm thứ tư của hình bình hành $AMCB$
nên $M \in AC$(1)
Cộng vế với vế của 2 đẳng thức $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {NA} - 3\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 $ ta được:
$\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {NA} - 3\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 $
$\Leftrightarrow (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN} ) + (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) - 3\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {AC} $.
Suy ra $\overrightarrow {MN} $ cùng phương với $\overrightarrow {AC} $(2)
Từ (1)(2) suy ra $MN//AC$
Đáp án đúng là B.
Cho ngũ giác $ABCDE$, gọi $M,N, P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC,CD,DE$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $MP,NQ$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l} 2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {IP} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {PN} \\ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EQ} \\ \overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ} \end{array} \right. \Rightarrow 2\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {MQ} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} ),\overrightarrow {PN} = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BD} \end{array}$
Suy ra $2\overrightarrow {IJ} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BD} ) - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BD} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AE} \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AE} $
Đáp án đúng là C.
Cho $G, G\'$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC, A\'B\'C\'$. Khi đó $\overrightarrow {AA\'} + \overrightarrow {BB\'} + \overrightarrow {CC\'} $ bằng?
Áp dụng quy tắc chèn điểm $G, G\'$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}\n\overrightarrow {AA\'} + \overrightarrow {BB\'} + \overrightarrow {CC\'} = (\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG\'} + \overrightarrow {G\'A\'} ) + (\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG\'} + \overrightarrow {G\'B\'} ) + (\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG\'} + \overrightarrow {G\'C\'} )\\ = 3\overrightarrow {GG\'} + (\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} ) + (\overrightarrow {G\'A\'} + \overrightarrow {G\'B\'} + \overrightarrow {G\'C\'} ) = 3\overrightarrow {GG\'} + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {GG\'} \n\end{array}$
Đáp án đúng là C.