Cho $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Với điểm $M$ bất kì ta luôn có:
Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng , Với điểm $M$ bất kì ta luôn có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} $
Đáp án đúng là B.
Cho $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Với mọi điểm $M\n$ ta luôn có:
Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác, với mọi điểm $M$ ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} $
Đáp án đúng là B.
Cho 3 điểm $A, B, C$, điều kiện cần và đủ để 3 điểm thẳng hàng là:
Để $A,B,C$ thẳng hàng thì $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ phải cùng phương $ \Leftrightarrow $ $\exists k \ne 0:\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi có số $k$ khác 0 để $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} $
Cho tam giác $ABC$, $\overrightarrow a = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {AC} $. Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
Điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 $ cùng phương là có một số $k$ để $\overrightarrow a = k\overrightarrow b $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $ - 10\overrightarrow a - 2\overrightarrow b = - 2(5\overrightarrow a + \overrightarrow b )$
Suy ra $5\overrightarrow a + \overrightarrow b , - 10\overrightarrow a - 2\overrightarrow b $ cùng phương
Đáp án đúng là C.
Biết rằng hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ không cùng phương nhưng hai vectơ $3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b ,(x + 1)\overrightarrow a + 4\overrightarrow b $ cùng phương.
Khi đó giá trị của $x$ là?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện để hai vectơ $3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b ,(x + 1)\overrightarrow a + 4\overrightarrow b $ cùng phương là:
$\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{4}{{ - 2}} \Leftrightarrow x = - 7$
Đáp án đúng là B.
Cho $\Delta ABC$ có $G$ là trọng tâm, $I$ là trung điểm của $BC$. Đẳng thức nào đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A sai vì: $\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GI} $
Đáp án B đúng vì: Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng ta có $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} $
Đáp án C sai vì: $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} $
Đáp án D sai vì: $\overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {IA} $
Đáp án là B.
Cho đoạn thẳng $AB$ và $M$ là một điểm nằm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $AM = \dfrac{1}{5}AB$. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta thấy $\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {AB} $ cùng hướng lên $\overrightarrow {MB} = \dfrac{4}{5}\overrightarrow {AB} $.
Đáp án là D.
Cho hình bình hành $ABCD$ đẳng thức nào sau đây là đúng?
Áp dụng quy tắc 3 điểm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {BC} + (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} ) = 2\overrightarrow {BC} $
Đáp án đúng là A.
Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $O$. Trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề sai?
áp dụng quy tắc 3 điểm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A đúng vì: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO} $
Đáp án B sai vì: $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} $
Đáp án C đúng vì: $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {AO} = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CA} $
Đáp án D đúng vì: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + (\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {CB} ) = (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} ) + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CB} $
Đáp án là C.
Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi các điểm $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
$\overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) = \dfrac{1}{3}(2\overrightarrow {AF} + 2\overrightarrow {AE} ) = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AE} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AF} $
Đáp án đúng là C.
Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ và điểm $M$ bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?
$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} ) + (\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} )$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} ) + (\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} ) = 2\overrightarrow {MO} + 2\overrightarrow {MO} = 4\overrightarrow {MO} $
Đáp án đúng là D.
Trên đường thẳng $MN$ lấy điểm $P$ sao cho $\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {MP} $. Hình vẽ nào sau đây xác định đúng vị trí điểm $P$?
$\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {MP} \Leftrightarrow MN = 3MP$
Mặt khác $\overrightarrow {MN} $ và $\overrightarrow {MP} $ ngược hướng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {MP} \Leftrightarrow MN = 3MP$
Mặt khác $\overrightarrow {MN} $ và $\overrightarrow {MP} $ ngược hướng
Suy ra hình thỏa mãn đề bài là hình C.
Cho hình bình hành $ABCD$ có $O$ là giao điểm của $AC, BD$. Tìm câu sai?
Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$. Ta có: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} $ và $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OJ} $
$\overrightarrow {OI} \ne \overrightarrow {OJ} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$. Ta có: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} $ và $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OJ} $
Mà $\overrightarrow {OI} \ne \overrightarrow {OJ} $ nên $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \ne \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} $
Đáp án là C.
Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G $. Biểu diễn vectơ $\overrightarrow {AG} $ qua 2 vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ là:
$I$ là trung điểm của $BC$
$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AI} \\ \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AI} \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$
Ta có: $\overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AI} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )$
Đáp án đúng là A.
Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm, $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$. Đẳng thức nào sau đây sai?
Áp dụng quy tắc trung điểm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $H$là trung điểm của $AC$ nên ta có $\overrightarrow {GB} = -2\overrightarrow {GH} $ suy ra $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GH} = -2 \overrightarrow {GH}+ \overrightarrow {GH}=-\overrightarrow {GH} $
Đáp án sai là D.
Cho tam giác $ABC$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, tìm điểm $M$ thỏa mãn hệ thức
$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $?
$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $
Suy ra $M$ là trung điểm của $IC$
Đáp án đúng là B.
Cho hình bình hành $ABCD$, điểm $M\n$ thỏa mãn $4\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} $. Khi đó điểm $M\n$ là?
$4\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:
$4\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} $
Suy ra $M$ là trung điểm của $AC$
Đáp án đúng là A.
Cho tam giác $ABC$ và điểm $I$ thỏa mãn $\overrightarrow {IA} = 3\overrightarrow {IB} $. Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}\n\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AC} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \dfrac{3}{2}(\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} ) + \overrightarrow {CA} \\ = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {CB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CA} \n\end{array}$
Đáp án đúng là B.
Cho tam giác $ABC$ có bao nhiêu điểm $M$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 5$?
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, ta có:
$\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 5$$ \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 5 \Leftrightarrow MG = \dfrac{5}{3}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, ta có:
$\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 5$$ \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 5 \Leftrightarrow MG = \dfrac{5}{3}$
Vậy quỹ tích điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $\dfrac{5}{3}$
Vậy có vô số điểm $M$ thỏa mãn
Đáp án đúng là C.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, CD$ của tứ giác $ABCD$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
áp dụng quy tắc chèn điểm, cộng các vectơ đối để rút gọn hệ thức
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ = (\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} ) + (\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} ) + (\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} ) + (\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} )\\ = 2(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} ) + 2(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} ) + 4\overrightarrow {MN} = 4\overrightarrow {MN} \end{array}$
Vậy đáp án đúng là C.