Các cặp nghiệm $(x;y)$ của hệ phương trình$\left\{ \begin{array}{l}\n\left| x \right| + 2\left| y \right| = 3\\\n7x + 5y = 2\n\end{array} \right.$là :
Cách 1:
TH1: $x,y \ge 0$
TH2: $x,y < 0$
TH3: $x \ge 0;y < 0$
TH4: $x < 0;y \ge 0$
Cách 2: Thử nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Khi $x;y \ge 0$ thì hệ trở thành$\left\{ \begin{array}{l}\nx + 2y = 3\\\n7x + 5y = 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = \dfrac{{ - 11}}{9}(l)\\\ny = \dfrac{{19}}{9}(l)\n\end{array} \right.$
Khi $x;y<0$ thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} - x - 2y = 3\\\n7x + 5y = 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = \dfrac{{19}}{9}(l)\$\ny = \dfrac{{ - 23}}{9}(l)\n\end{array} \right.$
Khi $x \ge 0;y < 0$ thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l}\nx - 2y = 3\\\n7x + 5y = 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 1\\\ny = - 1\n\end{array} \right.\left( {tm} \right)$
Khi $x < 0,y \ge 0$ thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} - x + 2y = 3\\\n7x + 5y = 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = - \dfrac{{11}}{9}(tm)\\\ny = \dfrac{{23}}{{19}}(tm)\n\end{array} \right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(1; - 1),(\dfrac{{ - 11}}{9};\dfrac{{23}}{{19}})$
Đáp án đúng là C.
Đặt $S = x + y,P = xy({S^2} - 4P \ge 0)$
Khi đó phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l} P + S = 5\\ PS = 6 \end{array} \right.$
Tìm $S,P$ suy ra $x,y$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $S = x + y,P = xy({S^2} - 4P \ge 0)$
Khi đó phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l} P + S = 5\\ PS = 6 \end{array} \right.$
Suy ra $S,P$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - 5X + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} X = 2\\ X = 3 \end{array} \right.$
Khi $S=2;P=3$(loại)
Khi $S=3;P=2$(nhận) thì $x;y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} X = 1\\ X = 2 \end{array} \right.$
Vậy nghiệm của hệ là $(1;2); (2;1)$
Đáp án đúng là B.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\nx + y + xy = \dfrac{7}{2}\\\n{x^2}y + x{y^2} = \dfrac{5}{2}\n\end{array} \right.$ có nghiệm là:
C1: Đặt $S = x + y,P = xy({S^2} - 4P \ge 0)$
Phương trình đã cho trở thành $\left\{ \begin{array}{l}\nS + P = \dfrac{7}{2}\\\nSP = \dfrac{5}{2}\n\end{array} \right.$ tìm được $S,P$ từ đó tìm $x,y$
C2: Thử nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1: Đặt $S = x + y,P = xy({S^2} - 4P \ge 0)$
Phương trình đã cho trở thành $\left\{ \begin{array}{l}\nS + P = \dfrac{7}{2}\\\nSP = \dfrac{5}{2}\n\end{array} \right.$
Suy ra $S,P$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - \dfrac{7}{2}X + \dfrac{5}{2} = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nX = 1\\\nX = \dfrac{5}{2}\n\end{array} \right.$
Khi $S = 1;P = \dfrac{5}{2}$(loại)
Khi $P = 1;S = \dfrac{5}{2}$(nhận) thì $x;y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - \frac{5}{2}X + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nX = 2\\\nX = \dfrac{1}{2}\n\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(2;\dfrac{1}{2});(\dfrac{1}{2};2)$
Đáp án đúng là D.
Cách 2: Thử nghiệm
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n{x^3} = 3x + 8y(1)\\\n{y^3} = 3y + 8x(2)\n\end{array} \right.$có nghiệm $(x,y)$ với $x \ne 0,y \ne 0$ là:
C1: Lấy phương trình (1) trừ (2) được phương trình tích.
C2: thử nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1:
$\begin{array}{l}\n\left\{ \begin{array}{l}\n{x^3} = 3x + 8y\\\n{y^3} = 3y + 8x\n\end{array} \right. \Rightarrow {x^3} - {y^3} = - 5x + 5y \Rightarrow (x - y)({x^2} + xy + {y^2} + 5) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = y\\\n{x^2} + xy + {y^2} + 5 = 0\n\end{array} \right.\n\end{array}$
Khi $x=y$ thì ${x^3} - 11x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = \pm \sqrt {11} \n\end{array} \right.$
Khi ${x^2} + xy + {y^2} + 5 = 0 \Leftrightarrow {(x + \dfrac{1}{2}y)^2} + \dfrac{3}{4}{y^2} + 5 = 0$(phương trình vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình có nghiệm $( - \sqrt {11} ; - \sqrt {11} );(\sqrt {11} ;\sqrt {11} )$
Vậy đáp án đúng là C.
Cách 2: Thử nghiệm
Một xe hơi khởi hành từ tỉnh $X$ đến tỉnh $Y$ cách nhau 150km. Khi về xe tăng tốc hơn vận tốc lúc đi là 25 km/giờ. Biết rằng thời gian dùng để đi và về là 5 giờ, vận tốc lúc đi là :
Gọi $x,y(x>0,y>0)$lần lượt là thời gian xe đi và về.
ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} x + y = 5\\ 150(\dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x}) = 25 \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $x,y(x>0,y>0)$lần lượt là thời gian xe đi và về.
Khi đó ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 5\\ 150(\dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x}) = 25 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 5 - y\\ 6(x - y) - xy = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 5 - y\\ {y^2} - 17y + 30 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} y = 15\\ x = - 10 \end{array} \right.(L)\\ \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 2 \end{array} \right.(TM) \end{array} \right.$
Vậy vận tốc xe lúc đi là $\dfrac{{150}}{3} = 5$(km/giờ)
Đáp án đúng là A.
Cho một tam giác vuông, khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2cm thì diện tích tam giác tăng thêm 17$c{m^2}$. Nếu giảm các cạnh góc vuông đi 3cm và 1cm thì diện tích tam giác giảm đi 11$c{m^2}$. Tính diện tích của tam giác ban đầu.
Gọi hai cạnh của tam giác vuông là: $x,y$$(cm)$$(x,y>0)$
ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} (x + 2)(y + 2) = \dfrac{{xy}}{2} + 17\\ (x - 3)(y - 1) = \dfrac{{xy}}{2} - 11 \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi hai cạnh của tam giác vuông là: $x,y$$(cm)$$(x,y>0)$
Diện tích tam giác vuông là $\dfrac{{xy}}{2}c{m^2}$
Theo đề bài ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} (x + 2)(y + 2) = \dfrac{{xy}}{2} + 17\\ (x - 3)(y - 1) = \dfrac{{xy}}{2} - 11 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 15\\ x + 3y = 25 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 10\\ y = 5 \end{array} \right.$
Vậy diện tích tam giác vuông là 25$c{m^2}$
Đáp án đúng là B.
Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trinh $\left\{ \begin{array}{l}\nmx + y = 1\\\nmy + z = 1\\\nx + mz = 1\n\end{array} \right.$ vô nghiệm.
C1: Rút$z$ từ phương trình (2) thay vào (3) rồi biện luận nghiệm với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$
C2: Thử trực tiếp
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1: Từ hệ phương trình đã cho suy ra $z = 1 - my$. Thay vào 2 phương trình còn lại ta được
$\begin{array}{l}\n\left\{ \begin{array}{l}\nmx + y = 1\\\nx + m(1 - my) = 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nmx + y = 1\\\nx - {m^2}y = 1 - m\n\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\ny = 1 - mx\\\n(x - {m^2})(1 - mx) = 1 - m\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\ny = 1 - mx\\\nx(1 + {m^2}) = {m^2} - m + 1\n\end{array} \right.\n\end{array}$
Hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi
$\left\{ \begin{array}{l}\n1 + {m^2} = 0\\\n{m^2} - m + 1 \ne 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm = - 1\\\n{m^2} - m + 1 \ne 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1$
Vậy $m=-1$ là giá trị cần tìm
Đáp án đúng là C.
Cách 2: Thay $m=-1$ vào hệ phương trình ta được $\left\{ \begin{array}{l} - x - y = 1\\ - y + z = 1\\\nx - z = 1\n\end{array} \right.$
Sử dụng MTBT thấy hệ vô nghiệm.
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n2{x^2} + {y^2} + 3xy = 12(1)\\\n2{(x + y)^2} - {y^2} = 14(2)\n\end{array} \right.$ các cặp nghiệm của hệ phương trình là:
C1: Lấy phương trình (2) trừ phương trình (1) biểu diễn $x$ theo $y$. Thay vào phương trình (1) tìm được $x$
C2: Thử nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1:
$\begin{array}{l}\n\left\{ \begin{array}{l}\n2{x^2} + {y^2} + 3xy = 12\\\n2{(x + y)^2} - {y^2} = 14\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n2{x^2} + {y^2} + 3xy = 12\\\n2{x^2} + {y^2} + 4xy = 14\n\end{array} \right. \Rightarrow xy = 2 \Rightarrow y = \dfrac{2}{x}\\ \Rightarrow 2{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} + 6 = 12 \Leftrightarrow 2{x^4} - 6{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{x^2} = 1\\\n{x^2} = 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = \pm 1\\\nx = \pm \sqrt 2 \n\end{array} \right.\n\end{array}$
Vậy cặp nghiệm dương của hệ phương trình là $(1;2),(\sqrt 2 ;\sqrt 2 )$
Đáp án đúng là D.
Cách 2: Thử nghiệm
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n{x^3} - 3x = {y^3} - 3y\\\n{x^6} + {y^6} = 27\n\end{array} \right.$ có bao nhiêu nghiệm?
$\begin{array}{l}\n{x^3} - 3x = {y^3} - 3y \Leftrightarrow (x - y)({x^2} + xy + {y^2}) - 3(x - y) = 0\\ \Leftrightarrow (x - y)({x^2} + xy + {y^2} - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = y\\\n{x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0\n\end{array} \right.\n\end{array}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}\n{x^3} - 3x = {y^3} - 3y \Leftrightarrow (x - y)({x^2} + xy + {y^2}) - 3(x - y) = 0\\ \Leftrightarrow (x - y)({x^2} + xy + {y^2} - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = y\\\n{x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0\n\end{array} \right.\n\end{array}$
Khi $x = y$ thì hệ có nghiệm $( \pm \sqrt[6]{{\dfrac{{27}}{2}}}; \pm \sqrt[6]{{\dfrac{{27}}{2}}})$
Khi ${x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 3 - xy$, ta có
$\begin{array}{l}\n{x^6} + {y^6} = 27 \Leftrightarrow ({x^2} + {y^2})({x^4} - {x^2}{y^2} + {y^4}) = 27\\ \Rightarrow (3 - xy){\rm{[}}{(3 - xy)^2} - 3{x^2}y{\rm{]}} = 27 \Leftrightarrow 3{(xy)^3} + 27xy = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nxy = 0\\\n{(xy)^2} = - 9\n\end{array} \right.( > < )\n\end{array}$
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Đáp án đúng là A.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2x + \sqrt {y - 1} = 1\\ 2y + \sqrt {x - 1} = 1 \end{array} \right.$ có bao nhiêu cặp nghiệm $(x;y)$?
C1: Lấy phương trình (1) trừ (2) biến đổi đưa về phương trình tích
C2: Thử nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cách 1: Đk: $x,y \ge 1$
Ta có:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2x + \sqrt {y - 1} = 1\\ 2y + \sqrt {x - 1} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow 2x - 2y + \sqrt {y - 1} - \sqrt {x - 1} = 0\\ \Rightarrow 2(x - y) + \dfrac{{y - x}}{{\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} }} = 0\\ \Rightarrow (x - y)(2 - \dfrac{1}{{\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} }}) = 0 \end{array}$
Khi $x=y$ thì
$\begin{array}{l} 2x + \sqrt {x - 1} = 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1} = 1 - 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le \dfrac{1}{2}\\ x - 1 = {(1 - 2x)^2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le \dfrac{1}{2}\\ 4{x^2} - 5x = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0(L) \end{array}$
Khi $\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} = \dfrac{1}{2}$ thì $2x + 2y + \dfrac{1}{2} = 2 \Rightarrow x + y = \dfrac{3}{4}$(vô nghiệm vì $x,y \ge 1$)
Vậy hệ phương trình vô nghiệm
Vậy đáp án đúng là C.
cách 2: Thử nghiệm