Cho elip có phương trình ${x^2} + 25{y^2} = 225.$ Tính tổng khoảng cách từ điểm $M$ thuộc elip có hoành độ $x=2$ đến hai tiêu điểm.
$M{F_1} + M{F_2} = 2a $.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left( E \right):9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}( {a^2} = \dfrac{{25}}{4}\\ {b^2} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}( a = \dfrac{5}{2}\\ b = 2 \end{array} \right.$.
Do đó $M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2.\dfrac{5}{2} = 5$
Vậy tổng khoảng cách từ điểm $M$ thuộc elip có hoành độ $x=2$ đến hai tiêu điểm bằng $5$.
Vậy đáp án là C.
Đường thẳng $\left( d \right):y = kx$ cắt Elip $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ tại hai điểm:
Tìm phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(E)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(E)$ là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{k^2}{x^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {x^2}\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{{{k^2}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{a.b}}{{\sqrt {{b^2} + {a^2}{k^2}} }} \Rightarrow y = \pm \dfrac{{abk}}{{\sqrt {{b^2} + {a^2}{k^2}} }}$
Vậy đường thẳng $d$ cắt $(E)$ tại hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$.
Vậy đáp án là C.
Đường thẳng qua $M(1;1)$ và cắt elip $(E): 4{x^2} + {\rm{ }}9{y^2} = {\rm{ }}36$ tại hai điểm $M_1; M_2$ sao cho $M{M_1} = M{M_2}$ có phương trình là:
Đường thẳng qua $M(1;1)$ có dạng: $y = k\left( {x - 1} \right) + 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thay tọa độ điểm $M(1;1)$ và biểu thức ta có: ${4.1^2} + {9.1^2} < 36$
$ \Rightarrow M$ nằm trong $(E)$.
Mà $M{M_1} = M{M_2} \Rightarrow M$ là trung điểm $M_1M_2$ .
Đường thẳng qua $M(1;1)$ có dạng: $y = k\left( {x - 1} \right) + 1$.
Hoành độ ${M_1},{M_2}$ thỏa mãn phương trình: $4{x^2} + {\rm{ }}9{\left[ {k\left( {x - 1} \right) + 1} \right]^2} = {\rm{ }}36$
$ \Leftrightarrow \left( {4 + 9{k^2}} \right){x^2} + 18k\left( {1 - k} \right)x + 9{\left( {1 - k} \right)^2} - 36 = 0$
Ta có ${x_1} + {x_2} = \dfrac{{18k\left( {k - 1} \right)}}{{\left( {4 + 9{k^2}} \right)}} = 2 \Leftrightarrow k = - \dfrac{4}{9}$.
Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là $y = - \dfrac{4}{9}\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow 4x + 9y - 13 = 0$ .
Vậy đáp án là B.
Phương trình nào dưới đây là phương trình đường chuẩn của elip $\dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{20}}}}{\rm{ + }}\dfrac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{15}}}} = 1$?
Phương trình đường chuẩn $\Delta :x = \pm \dfrac{a}{e}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{20}}}}{\rm{ + }}\dfrac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{15}}}} = 1$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}( a = \sqrt {20} \\ b = \sqrt {15} \end{array} \right.$.
Từ công thức ${b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow c = \sqrt 5 $ .
Tâm sai của elip $e = \dfrac{c}{a} \Rightarrow e = \dfrac{1}{2}$ .
Phương trình đường chuẩn $\Delta :x = \pm \dfrac{a}{e} \Rightarrow x = \pm 4\sqrt 5 $.
Vậy đáp án là D.
Cho elip $\left( E \right):\dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{25}}}}{\rm{ + }}\dfrac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{16}}}} = 1$ . Khoảng cách giữa hai đường chuẩn của elip là:
Phương trình đường chuẩn $\Delta :x = \pm \dfrac{a}{e} $.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left( E \right):\dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{25}}}}{\rm{ + }}\dfrac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{16}}}} = 1$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}( a = 5\\ b = 4 \end{array} \right.$
Từ công thức ${b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow c = 3$ .
Tâm sai của elip $e = \dfrac{c}{a} \Rightarrow e = \dfrac{3}{5}$.
Phương trình đường chuẩn $\Delta :x = \pm \dfrac{a}{e} \Rightarrow x = \pm \dfrac{{25}}{3}$.
Khoảng cách giữa hai đường chuẩn của elip là: $\left|\dfrac{25}{3}\right|+\left|-\dfrac{25}{3}\right|=\dfrac{50}{3}$.
Vậy đáp án là A.
Tìm phương trình chính tắc của elip nếu phương trình đường chuẩn của nó là $x = \pm \dfrac{25}{4}$ và độ dài trục lớn là $10$?
Phương trình chính tắc của elip $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.$
Phương trình đường chuẩn $\Delta :x = \pm \dfrac{a}{e}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi phương trình chính tắc của elip $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.$
Phương trình đường chuẩn của elip là $x = \pm \dfrac{25}{4}$ nên $\dfrac{a}{e} = \dfrac{{25}}{4} $ mà $e= \dfrac{{c}}{a} \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{c} = \dfrac{{25}}{4}$.
Độ dài trục lớn $ 2a = 10 \Rightarrow a = 5$
Thay vào công thức $\dfrac{{{a^2}}}{c} = \dfrac{{25}}{4} \Rightarrow c = 4$
Từ công thức ${b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow b = 3$.
Phương trình elip là $\dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{25}}}}{\rm{ + }}\dfrac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{9}}} = 1$.
Vậy đáp án là A.
Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là $x+4=0$ và một tiêu điểm là điểm $(1;0)$.
Phương trình chính tắc của elip là $\dfrac{{{x^2}}}{a^2} + \dfrac{{{y^2}}}{b^2} = 1$
Phương trình đường chuẩn $x = \pm \dfrac{a}{e} \Rightarrow x = \pm 4\sqrt 5$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử phương trình chính tắc của elip là $\dfrac{{{x^2}}}{a^2} + \dfrac{{{y^2}}}{b^2} = 1$
Elip có một đường chuẩn là $x+4=0$ và một tiêu điểm là điểm $(1;0)$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}( c = 1\\ \dfrac{a}{e} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( c = 1\\ \dfrac{{{a^2}}}{c} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( c = 1\\ {a^2} = 4 \end{array} \right.$
Mặt khác ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 4 - 1 = 3$
Vậy $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1$.
Vậy đáp án là D.
Cho elip $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ $\left( {0 < b < a} \right)$ . Gọi $F_1, F_2$ là hai tiêu điểm và cho điểm $M(0;-b)$. Giá trị nào sau đây bằng giá trị biểu thức $M{F_1}.M{F_2} - O{M^2}$?
Tọa độ 2 tiêu điểm là ${F_1}\left( { - c;\,0} \right)$, ${F_2}\left( { c;\,0} \right)$ .
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${F_1}\left( { - c;\,0} \right)$, ${F_2}\left( { c;\,0} \right)$ nên $M{F_1} = \sqrt {{c^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2}} = a$ ( do ${b^2} = {a^2} - {c^2}$).
Tương tự $M{F_2} = a$.
Lại có $OM = b$ nên $M{F_1}.M{F_2} - O{M^2} = a.a - {b^2} = {a^2} - {b^2}$.
Vậy đáp án là D.
Cho Elip $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$. Đường thẳng $ d: x = - 4$ cắt $(E)$ tại hai điểm $M, N.$ Khi đó:
Tìm phương trình tung độ giao điểm của $(E)$ và $d$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình tung độ giao điểm của $(E)$ và $d:\dfrac{{{{\left( { - 4} \right)}^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$ $\Leftrightarrow y = \pm \dfrac{9}{5}$.
Khi đó $M\left( {\dfrac{9}{5}; - 4} \right);N\left( { - \dfrac{9}{5}; - 4} \right)$
Vậy $MN = \dfrac{18}{{5}}$.
Vậy đáp án là D.
Khi cho $t$ thay đổi, điểm $M\left( {5\cos t;4\sin t} \right)$ đi dộng trên đường nào sau đây?
$\sin^2x+\cos^2x=1.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{{x_M^2}}{{25}} + \dfrac{{y_M^2}}{{16}} = \dfrac{{25{{\cos }^2}t}}{{25}} + \dfrac{{16{{\sin }^2}t}}{{16}} = 1$.
Nên khi cho $t$ thay đổi, điểm $M$ đi dộng trên đường Elip: $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.