Đường Elip $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{7} = 1$ có tiêu cự bằng:
${c^2} = {a^2} - {b^2} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 9 \Rightarrow c = 3$. Do đó tiêu cự là $2c = 6$.
Vậy đáp án là B.
Elip $\dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{\rm{9}}}{\rm{ + }}\dfrac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{6}}} = 1$ có một tiêu điểm là:
Tiêu điểm có tọa độ $F_1(-c;0), F_2(c;0)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{\rm{9}}}{\rm{ + }}\dfrac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{6}}} = 1$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array} ( a = 3\\ b = \sqrt 6 \end{array} \right.$.
Từ công thức ${b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow c = \sqrt 3 \Rightarrow {F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 3;0 } \right)$.
Vậy đáp án là C.
Elip $\dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{16}}}}{\rm{ + }}\dfrac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{7}}} = 1$ có tâm sai bằng:
Tâm sai của elip là $e = \dfrac{c}{a} $.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{16}}}}{\rm{ + }}\dfrac{{{y^{\rm{2}}}}}{{\rm{7}}} = 1$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array} ( a = 4\\ b = \sqrt 7 \end{array} \right.$
Từ công thức ${b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow c = 3$.
Tâm sai của elip là $e = \dfrac{c}{a} \Rightarrow e = \dfrac{3}{4}$.
Vậy đáp án là C.
Cho elip $\left( E \right):\,\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{{p^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{q^2}}} = 1$ với $p > q > 0$, khi đó tiêu cự của elip bằng :
Tiêu cự của elip là $2c$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left( E \right):\,\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{{p^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{q^2}}} = 1$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}( {a^2} = p^2\\ {b^2} = q^2 \end{array} \right.$$\Rightarrow c^2=a^2-b^2=p^2-q^2$.
Tiêu cự của elip được tính bởi $2c = 2\sqrt {{p^2} - {q^2}} $.
Vậy đáp án là D.
Cho elip $(E)$ có hai tiêu điểm $F_1,\,F_2$ và có độ dài trục lớn bằng $2a$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Viết phương trình chính tắc của elip $(E)$ biết trục lớn $2a=8$, trục bé $2b=6$.
Phương trình chính tắc $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 $.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ đề bài, ta có: $\left\{ \begin{array}( 2a = 8\\ 2b = 6 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}( a = 4\\ b = 3 \end{array} \right.$.
Phương trình chính tắc $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.$
Vậy đáp án là A.
Viết phương trình chính tắc của elip $(E)$ có độ dài trục lớn $2a=8$ và tiêu cự $2c=6$.
Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ đề bài, ta có: $\left\{ \begin{array}( 2a = 8\\ 2c = 6 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}( a = 4\\ c = 3 \end{array} \right.$ mà ${b^2} = {a^2} - {c^2} = {4^2} - {3^2} = 7 $
Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{7} = 1.$
Vậy đáp án là B.
Lập phương trình chính tắc của elip biết elip qua hai điểm $M\left( { - 2\sqrt 3 ;\dfrac{3}{2}} \right)$, $N\left( {2;\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)$.
Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi phương trình chính tắc elip cần tìm là $(E):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)$ .
Do elip đi qua $M\left( { - 2\sqrt 3 ;\dfrac{3}{2}} \right)$, $N\left( {2;\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)$ nên ta có hệ $\left\{ \begin{array}( \dfrac{{12}}{{{a^2}}} + \dfrac{9}{{4{b^2}}} = 1\\ \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{{27}}{{4{b^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( {a^2} = 16\\ {b^2} = 9 \end{array} \right.$
Vậy elip cần tìm là $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.$
Vậy đáp án là C.
Phương trình chính tắc của Elip có một tiêu điểm ${F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)$ và đi qua $M\left( {1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ là:
Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình chính tắc của elip có dạng:$\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,a > b > 0 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 3 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 3\,\,\, (1)$
Ta có $M\left( {1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{3}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}\,\,\, (2)$
Giải hệ (1) và (2) $\left\{ \begin{array}( {a^2} - {b^2} = 3\\ 4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( {a^2} = 3 + {b^2}\\ 4{b^2} + 3\left( {3 + {b^2}} \right) = 4\left( {3 + {b^2}} \right){b^2} \end{array} \right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( {a^2} = 3 + {b^2}\\ 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( {a^2} = 4\\ {b^2} = 1 \end{array} \right.$
Vậy phương trình elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1.$
Vậy đáp án là C.
Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tiêu cự bằng $6$ và đi qua $A(5;0)$?
Phương trình chính tắc của elip $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi phương trình chính tắc của elip $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Từ đề bài ta có: ${F_1}{F_2} = 2c = 6 \Rightarrow c = 3$.
Mà $A\left( {5;0} \right) \in \left( E \right)$ nên ta có: $a=5$ .
Từ công thức ${b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow b = 4$.
Phương trình chính tắc của elip: $\dfrac{{{x^{\rm{2}}}}}{{{\rm{25}}}}{\rm{ + }}\dfrac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{\rm{16}}}} = 1$.
Vậy đáp án là B.
Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm $A(2;1)$ và có tiêu cự bằng $2\sqrt3$?
Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử elip có phương trình chính tắc là $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ .
Do elip đi qua điểm $A(2;1)$ và có tiêu cự bằng $2\sqrt3$ nên ta có hệ sau $\left\{ \begin{array}( \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} = 1\\ {a^2} - {b^2} = {c^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} = 1\\ {a^2} = {b^2} + 3 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} = 1\\ {b^4} - 2{b^2} - 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( {a^2} = 6\\ {b^2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{6} + \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1$.
Vậy đáp án là D.
Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm $A(6;0)$ và có tâm sai bằng $\dfrac{1}{2}$.
Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, tâm sai là $e=\dfrac{c}{a}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử elip có phương trình chính tắc là $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 .$
Do elip qua điểm $A(6;0)$ và có tâm sai bằng $\dfrac{1}{2}$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}( \dfrac{{36}}{{{a^2}}} = 1\\ e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( {a^2} = 36\\ c = \dfrac{1}{2}a \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( {a^2} = 36\\ {c^2} = \dfrac{1}{4}{a^2} = 9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( {a^2} = 36\\ {b^2} = 27 \end{array} \right. \Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{36}} + \dfrac{{{y^2}}}{{27}} = 1$
Vậy đáp án là B.
.
Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tâm sai bằng $\dfrac{1}{3}$ và độ dài trục lớn bằng $6$?
Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử elip có phương trình chính tắc là $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Do elip có tâm sai bằng $\dfrac{1}{3}$ và độ dài trục lớn bằng $6$ nên ta có $\left\{ \begin{array}( e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{3}\\ 2a = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( a = 3\\ c = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( a = 3\\ b = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{8} = 1$.
Vậy đáp án là C.
Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng $4\sqrt3$?
Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử elip có phương trình chính tắc là $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 .$
Do elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng $4\sqrt3$ nên ta có $\left\{ \begin{array}( a = 2b\\ c = 2\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( a = 2b\\ \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( a = 2b\\ 3{b^2} = 12 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( {a^2} = 16\\ {b^2} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.
Vậy đáp án là B.
Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua $M(2;-2)$?
Phương trình chính tắc của $(E)$ là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử elip có phương trình chính tắc là $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 .$
Do elip có có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua $M(2;-2)$ nên ta có $\left\{ \begin{array}( a = 2b\\ \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( a = 2b\\ \dfrac{5}{{{b^2}}} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}( {b^2} = 5\\ {a^2} = 20 \end{array} \right. \Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1$.
Vậy đáp án là D.
Cho elip $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{{12}} = 1$ và đường thẳng $d:x - 2y + 4 = 0.$ Giao điểm của $d$ và Elip là :
Tọa độ giao điểm của $d$ và Elip thỏa mãn hệ phương trình $d$ và Elip.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}( x - 2y + 4 = 0\\ \dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{{12}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( x - 2y + 4 = 0\\ 3{x^2} + 4{y^2} - 48 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}( x = 2y - 4\\ 16{y^2} - 48y = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}( \left\{ \begin{array}( x = - 4\\ y = 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}( x = 2\\ y = 3 \end{array} \right. \end{array} \right.$
Vậy đáp án là D.
Một Elip có trục lớn bằng $26$ tâm sai $e = \dfrac{{12}}{{13}}$ .Trục nhỏ của elip có độ dài bằng bao nhiêu?
Độ dài trục nhỏ là $2b.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử phương trình chính tắc của elip là $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)$.
Elip có trục lớn bằng $26$ tâm sai $e = \dfrac{{12}}{{13}}$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}( 2a = 26\\ \dfrac{c}{a} = \dfrac{{12}}{{13}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}( a = 13\\ c = 12 \end{array} \right.$
Mặt khác ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 169 - 144 = 25 \Rightarrow b = 5$
Vậy độ dài trục nhỏ bằng $10$.
Vậy đáp án là A.
Cho elip $(E):$ $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{{12}} = 1$ và điểm $M$ nằm trên $(E)$. Nếu điểm $M$ có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ $M$ tới 2 tiêu điểm của $(E)$ bằng?
Tìm tọa độ của $M$ và các tiêu điểm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${c^2} = a^2-b^2=16 - 12 = 4 \Rightarrow c = 2 \Rightarrow {F_1}\left( { - 2;0} \right),{F_2}\left( {2;0} \right)$ .
Điểm $M$ thuộc $(E)$ và ${x_M} = 1 \Rightarrow {y_M} = \pm \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow M\left(1;\pm \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2} \right)$.
Từ đó $M{F_1} = \dfrac{9}{2};M{F_2} = \dfrac{7}{2}$ .
Vậy đáp án là D.
Cho elip $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$và $M$ là điểm nằm trên $(E)$. Khi đó đoạn thẳng $OM$ thoả mãn:
$b \le OM \le a$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}( {a^2} = 16\\ {b^2} = 9 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}(a = 4\\ b = 3 \end{array} \right.$
Mà $b \le OM \le a \Rightarrow 3 \le OM \le 4$.
Vậy đáp án là D.
Cho elip có phương trình: $9{x^2} + 25{y^2} = 225$. Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng?
Độ dài trục lớn là chiều dài hình chữ nhật cơ sở.
Độ dài trục nhỏ là chiều rộng hình chữ nhật cơ sở.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}( {a^2} = 25\\ {b^2} = 9 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}( a = 5\\ b = 3 \end{array} \right.$
Độ dài trục lớn (chiều dài hình chữ nhật cơ sở): $2a=10$ .
Độ dài trục nhỏ (chiều rộng hình chữ nhật cơ sở): $2b=6$ .
Diện tích hình chữ nhật cơ sở là $2a.2b=10.6=60$.
Vậy đáp án là D.