Cho hàm số $f(x) = a{x^2} + bx + c$ có bảng biến thiên như sau:
Tìm tất cả các giá trị thựccủa tham số $m$ để phương trình $f(x)-1=m$ có đúng 2 nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình $f(x) - 1 = m \Leftrightarrow f(x) = m + 1$
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=m+1$ (song song hoặc trùng với trục hoành)
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi
$m + 1 > - 1 \Leftrightarrow m > - 2$
Đáp án đúng là A.
Xác định $(P):y = - 2{x^2} + bx + c$, biết $(P)$ có hoành độ đỉnh bằng $3$ và đi qua $A(2;-3)$.
Tọa độ đỉnh bằng $3$ $ \Rightarrow - \dfrac{b}{{2a}} = 3$$ \Rightarrow $ tìm được $b$
Thay tọa độ điểm $A$ vào $(P)$ tìm được $c$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Parabol $(P):y = - 2{x^2} + bx + c$ $\Rightarrow I( - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}})$
Theo bài ra ta có hoành độ đỉnh bằng $3$ $ \Leftrightarrow - \dfrac{b}{{2a}} = 3 \Leftrightarrow - b = 6a \Leftrightarrow - b = - 12 \Leftrightarrow b = 12$
Lại có $(P)$ đi qua điểm $A(2;-3)$ suy ra $ - {2.2^2} + 12.2 + c = - 3 \Leftrightarrow c = - 19$
Vậy phương trình của $(P)$ cần tìm là: $y = - 2{x^2} +12x -19$
Đáp án đúng là B.
Biết đường thẳng $d$ tiếp xúc với $(P):y = {x^2} - 2x + 2$. Phương trình của $d$ là?
Xét phương trình hoành độ giao điểm nếu có một nghiệm duy nhất thì $d$ tiếp xúc với $(P)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta xét các phương trình hoành độ giao điểm:
Đáp án A: ${x^2} - 2x + 2 = x-2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x +4 = 0$ (vô nghiệm) $ \Rightarrow $loại
Đáp án B: ${x^2} - 2x + 2 = -4x+1 \Leftrightarrow {x^2} +2x + 1 = 0\Leftrightarrow (x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-1$ $ \Rightarrow $nhận
Đáp án C: ${x^2} - 2x + 2 = 3x +2 \Leftrightarrow {x^2} - 5x= 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x =\dfrac{5}{2} \end{array} \right.$ $ \Rightarrow $loại
Đáp án D: ${x^2} - 2x + 2 = - 2x + 6 \Leftrightarrow {x^2} -4= 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = -2 \end{array} \right.$$ \Rightarrow $loại
Đáp án là B.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {x^2} - 2x + 3$?
Hệ số $a>0$ thì hàm số có GTNN là tung độ đỉnh $I$
Hệ số $a<0$ thì hàm số có GTLN là tung độ đỉnh $I$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $a=1>0$ và đồ thị hàm số có đỉnh $I(\dfrac{{ - b}}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}) = (1;2)$
Nên hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ;1)$, đồng biến trên khoảng $(1; + \infty )$
Bảng biến thiên
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đại giá trị nhỏ nhất $y=2$ tại $x=1$
Đáp án đúng là B.
Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = f(x) = {x^2} - 4x + 3$ trên đoạn $[-2;1]\n$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số $y = f(x) = {x^2} - 4x + 3$ có hệ số $a=1>0$ lên bề lõm quay lên trên
Hoành độ đỉnh $x = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{{ - 4}}{{2.1}} = 2 \notin {\rm{[}} - 2;1]$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\nf( - 2) = 15\\\nf(1) = 0\n\end{array} \right.$$\Rightarrow $$m = \min y = f(1) = 0$, $M = \max y = f( - 2) = 15$
Đáp án đúng là B.
Tìm parabol $(P):y = a{x^2} + bx - 2$, biết rằng parabol có đỉnh $I( - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{11}}{4})$.
Dựa vào tọa độ đỉnh ta có $\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{1}{2}\\ - \dfrac{\Delta }{{4a}} = - \dfrac{{11}}{4}\n\end{array} \right.$, giải phương trình suy ra $a,b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $(P)$ có đỉnh $I( - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{11}}{4})$ nên ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{1}{2}\\ - \dfrac{\Delta }{{4a}} = - \dfrac{{11}}{4}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nb = a\\\n\Delta = 11a\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = b\\\n9 + 8a = 11a\n\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 3$
Vậy $(P):y = 3{x^2} + 3x - 2$
Đáp án đúng là D.
Tìm giá trị thực của tham số $m$ để parabol $(P):y = m{x^2} - 2mx - 3m - 2(m \ne 0)$ có đỉnh thuộc đường thẳng $y=3x-1$.
Từ phương trình của $(P)$ suy ra tọa độ đỉnh $I$ theo $m$. Thay tạo độ $I$ vào đường thẳng $y=3x-1$ để tìm $m$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hoành độ đỉnh của $(P)$ là $x = - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{{2m}}{{2m}} = 1$
Suy ra tung độ đỉnh $y=-4m-2$. Do đó tọa độ đỉnh của $(P)$ là $I(1;-4-2m)$
Theo giả thiết đỉnh $I$ thuộc đường thẳng $y=3x-1$ nên $- 4 - 2m = 3 - 1 \Leftrightarrow 2m = - 2 \Leftrightarrow m = - 1$
Đáp án đúng là D.
Xác định parabol $(P):y = a{x^2} + bx + c$, biết rằng $(P)$ có đỉnh $I(2;-1)$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-3$.
Đỉnh $I \in (P)$ suy ra hệ 2 phương trình ẩn $a,b,c$
Giao điểm của $(P)$ với $Oy$ có tung độ bằng $-3$ suy ra $c$
Thay ngược lại hệ ban đầu suy ra $a,b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $(P)$ có đỉnh $I(2;-1)$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = 2\\ - \dfrac{\Delta }{{4a}} = - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = -4a\\ {b^2} - 4ac = 4a \end{array} \right.(1)$
Gọi $A$ là giao điểm của của $(P)$ với $Oy$ tại điểm có tung độ bằng $-3$. Suy ra $A(0;-3)$
Theo giả thiết $A(0;-3)$ thuộc $(P)$ nên $a.0 + b.0 + c = - 3 \Leftrightarrow c = - 3(2)$
Từ (1) và (2) ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} b = -4a\\ 16{a^2} + 8a = 0\\ c = - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0(L)\\ b = 0\\ c = - 3 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} a = - \dfrac{1}{2}\\ b = - 2\\ c = - 3 \end{array} \right.$
Vậy $(P):y = - \dfrac{1}{2}{x^2} - 2x - 3$
Đáp án đúng là B.
Parabol $y = a{x^2} + bx + c$ đạt giá trị nhỏ nhất là 4 tại $x=-2$ và đi qua $A(0;6)$ có phương trình là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Parabol $y = a{x^2} + bx + c$ đạt giá trị nhỏ nhất là 4 tại $x=-2$ và đi qua $A(0;6)$
$\left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ - \dfrac{b}{{2a}} = - 2\\ a.{( - 2)^2} - 2b + c = 4\\ c = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ 4a - b = 0\\ 4a - 2b + c = 4\\ c = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{2}\\ b = 2\\ c = 6 \end{array} \right.$
Vậy $y = \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x + 6$
Đáp án đúng là A.
Cho $M \in (P):y = {x^2}$ và $A(3;0)$. Để $AM$ ngắn nhất thì:
Đặt $M(m;{m^2})$
$AM = \sqrt {{{(m - 3)}^2} + {m^4}} $
Biến đổi và tìm GTNN của $AM$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $M \in (P):y = {x^2}$ nên ta đặt $M(m;{m^2})$
$\begin{array}{l} \Rightarrow AM = \sqrt {{{(m - 3)}^2} + {m^4}} = \sqrt {{m^4} + {m^2} - 6m + 9} \\ = \sqrt {{m^4} - 2{m^2} + 1 + 3({m^2} - 2m + 1) + 5} \\ = \sqrt {{{({m^2} - 1)}^2} + 3{{(m - 1)}^2} + 5} \ge \sqrt 5 \end{array}$
(Vì $(m^2-1)^2+3(m-1)^2\ge0$ )
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m-1=0$ $\Rightarrow $ $m=1$$ \Rightarrow M(1;1)$
Đáp án đúng là A.