Hàm số nào sau đây đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \dfrac{3}{4}$?
Hàm số $y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$ & a> 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = {x_0}$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ - \dfrac{b}{{2a}} = {x_0} \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A sai vì: Ta có $\left\{ \begin{array}{l} a = 4 > 0\\ - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{{ - 3}}{{2.4}} = \dfrac{3}{8} \ne \dfrac{3}{4} \end{array} \right.$
Đáp án B sai vì: Ta có $\left\{ \begin{array}{l} a = -1 < 0\\ - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{3}{{2.( - 1).2}} = \dfrac{3}{4} \end{array} \right.$
Đáp án C sai vì: Ta có $\left\{ \begin{array}{l} a = - 2 < 0\\ - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{3}{{2.( - 2)}} = \dfrac{3}{4} \end{array} \right.$
Đáp án D đúng vì: Ta có $\left\{ \begin{array}{l} a = 1 > 0\\ - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{{ - 3}}{{2.2}} = \dfrac{3}{4} \end{array} \right.$
Đáp án đúng là D.
Parabol $y = a{x^2} + bx + 2(a \ne 0)$ đi qua 2 điểm $M(1;5),N(-2;8)$ có phương trình là:
Thay tọa độ 2 điểm vào phương trình hàm số sau đó giả hệ tìm $a,b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Parabol $y = a{x^2} + bx + 2(a \ne 0)$ đi qua 2 điểm $M(1;5),N(-2;8)$ nên tọa độ 2 điểm phải thỏa mãn phương trình.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\na + b + 2 = 5\\\n4a - 2b + 2 = 8\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na + b = 3\\\n4a - 2b = 6\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = 2\\\nb = 1\n\end{array} \right. \Rightarrow (P):y = 2{x^2} + x + 2$
Đáp án đúng là C.
Parabol $y = a{x^2} + bx + c$ đi qua $A(8;0)$ và có đỉnh $I(6;-12)$ có phương trình là:
Parabol đi qua $A({x_0};{y_0})$ và có đỉnh $I({x_I};{y_I})$ nên
$\left\{ \begin{array}{l}\n\dfrac{{ - b}}{{2a}} = {x_I}\\\nax_0^2 + b{x_0} + c = 0\\\nax_I^2 + b{x_I} + c = {y_I}\n\end{array} \right.$
Giải hệ 3 phương trình ta tìm được $a,b,c$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Parabol $y = a{x^2} + bx + c$ đi qua $A(8;0)$ và có đỉnh $I(6;-12)$ nên
$\left\{ \begin{array}{l}\n\dfrac{{ - b}}{{2a}} = 6\\\na{8^2} + b8 + c = 0\\\na{6^2} + b6 + c = - 12\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n12a + b = 0\\\n64a + 8b + c = 0\\\n36a + 6b + c = - 12\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = 3\\\nb = - 36\\\nc = 96\n\end{array} \right.$
Vậy $y = 3{x^2} - 36x + 96$
Đáp án đúng là D.
Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị hàm số $y = {x^2} + 3x + m$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt?
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình hoành độ có 2 nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đồ thị hàm số $y = {x^2} + 3x + m$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi
${x^2} + 3x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 9 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{9}{4}$
Đáp án đúng là D.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$
Nếu $a>0$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}})$ và đồng biến trên khoảng $( - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty )$
Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}})$ và nghịch biến trên khoảng $( - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty )$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A sai vì: $y = 3{x^2} - 3x + 1$$ \Rightarrow I(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4})$, $a=3>0$ nên hàm số đồng biến trong khoảng $(\dfrac{1}{2}; + \infty )$.
Đáp án B đúng vì: $y = 3{x^2} - 6x + 2$$ \Rightarrow I(1; - 1),a = 3 > 0 $ nên hàm số đồng biến trong khoảng $(1; + \infty )$
Đáp án C đúng vì: $y=5-2x$$ \Rightarrow a = - 2 < 0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến trên $( - \infty ;1)$
Đáp án D đúng vì: $y = - 1 - 3{x^2}$$\Rightarrow I(0; - 1),a = - 3 < 0$ nên hàm số đồng biến trong khoảng $( - \infty ;0)$
Đáp án là A.
Parabol $y = a{x^2} + bx + c$ đi qua $A(0;-1),B(1;-1),C(-1;1)$ có phương trình là:
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình giải hệ 3 phương trình tìm được $a,b,c$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: vì $A,B,C \in (P)$ nên
$\left\{ \begin{array}{l} - 1 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - 1 = a{(1)^2} + b.(1) + c\\\n1 = a.{( - 1)^2} + b( - 1) + c\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = 1\\\nb = - 1\\\nc = - 1\n\end{array} \right.$
suy ra $(P):y = {x^2} - x - 1$
Đáp án đúng là A.
Đỉnh của parabol $y = {x^2} + x + m$ nằm trên đường thẳng $(d):y=\dfrac{3}{4}$ nếu $m$ bằng?
Tìm tọa độ đỉnh $I$. Để $I \in (d)$ thì tọa độ của $I$ phải thỏa mãn phương trình
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $x = - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{{ - 1}}{2} \Rightarrow y = {(\dfrac{{ - 1}}{2})^2} + (\dfrac{{ - 1}}{2}) + m = m - \dfrac{1}{4} \Rightarrow I(\dfrac{{ - 1}}{2};m - \dfrac{1}{4})$
Để $I \in (d);y = \dfrac{3}{4}$ thì $m - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow m = 1$
Vậy đáp án đúng là A.
Bảng biến thiên nào dưới đây là của hàm số $y = - {x^2} + 2x + 1$?
Dựa vào chiều biến thiên của hàm số chọn bảng biến thiên chính xác.
Chú ý:
Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$
Nếu $a>0$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}})$ và đồng biến trên khoảng $( - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty )$
Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}})$ và nghịch biến trên khoảng $( - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty )$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $a=-1<0$ và $I(1;2)$
nên hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ;1)$ và nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty )$.
BBT:
Đáp án đúng là C.
Đồ thị hàm số $y = 4{x^2} - 3x - 1$ có dạng nào trong các dạng sau đây?
Dựa vào dấu của hệ số $a$, tọa độ đỉnh, và giao của đồ thị hàm số với trục tung.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $a=4>0$ lên bề lõm của parabol hướng lên trên
Parabol có đỉnh $I(\dfrac{3}{8}; - \dfrac{{25}}{{16}})$ (hoành độ đỉnh nằm bên phải trục tung) loại A,C
Parabol cắt $Oy$ tại điểm có tung độ bằng $-1$ (giao điểm của dồ thị và $Oy$ nằm bên dưới trục hoành) loại B
Đáp án đúng là D.
Hai parabol $(P):y = \dfrac{1}{2}{x^2} - x,(P\'):y = - 2{x^2} + x + \dfrac{1}{2}$ cắt nhau tại mấy điểm?
Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm bằng số giao điểm của hai parabol.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\begin{array}{l}\n\dfrac{1}{2}{x^2} - x = - 2{x^2} + x + \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - \dfrac{1}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = - \dfrac{1}{5}\n\end{array} \right.\n\end{array}$
Suy ra 2 parabol cắt nhau tại 2 điểm.
Đáp án đúng là B.
Parabol $y = {m^2}{x^2}$ và đường thẳng $y=-4x-1$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt ứng với $m$ bằng:
parabol cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol $y = {m^2}{x^2}$ và đường thẳng $y=-4x-1$ là:
${m^2}{x^2} = - 4x - 1 \Leftrightarrow {m^2}{x^2} + 4x + 1 = 0(1)$
Parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\Delta \' > 0\\\na \ne 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n4 - {m^2} > 0\\\nm \ne 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\\nm \ne 0\n\end{array} \right.$
Đáp án đúng là C.
Cho parabol $y = {x^2} - 2x - 3$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
Từ hàm số suy ra đỉnh, chiều biến thiên, trục đối xứng, giao của đồ thị với trục hoành.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Parabol có đỉnh $I( - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}) = (1; - 4)$, trục đối xứng $x=1$ nên A sai, D đúng
Hàm số có $a=1>0$ nên giảm trên khoảng $( - \infty ;1)$, tăng trên khoảng $( 1 ; + \infty )$ nên B đúng
$(P)$ cắt $Ox$ : $y = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.$
suy ra $(P)$ cắt $Ox$ tại hai điểm $A( - 1;0),B(3;0)$ nên C đúng
Đáp án là A.
Đường thẳng nào sau đây tiếp xúc với $(P):y = 2{x^2} - 5x + 3$?
Hai đồ thị tiếp xúc với nhau $ \Leftrightarrow $ phương trình hoành độ có 1 nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng tiếp xúc với đồ thị nếu phương trình hoành độ giao điểm có một nghiệm duy nhất.
Đáp án A sai vì: Phương trình hoành độ giao điểm:
$2{x^2} - 5x + 3 = x + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{3 \pm \sqrt 7 }}{2}$
Đáp án B sai vì: Phương trình hoành độ giao điểm:
$2{x^2} - 5x + 3 = - x - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 4 = 0$(vô nghiệm)
Đáp án C sai vì: Phương trình hoành độ giao điểm:
$2{x^2} - 5x + 3 = x + 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = 3\n\end{array} \right.$
Đáp án D đúng vì: Phương trình hoành độ giao điểm:
$2{x^2} - 5x + 3 = - x + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Đáp án là D.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $b$ để đồ thị hàm số $y = - 3{x^2} + bx - 3$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt?
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình hoành độ có hai nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $- 3{x^2} + bx - 3 = 0(1)$
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta = {b^2} - 36 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nb < - 6\\\nb > 6\n\end{array} \right.$
Đáp án đúng là D.
Cho parabol $(P):y = {x^2} + x + 2$ và đường thẳng $d:y=ax+1$. Tìm tất cả các giá trị thực của $a$ để $(P)$ tiếp xúc với $d$?
Để $(P)$ tiếp xúc với $d$ thì phương trình hoành độ giao điểm chỉ có một nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ với $d$ là:
${x^2} + x + 2 = ax + 1 \Leftrightarrow {x^2} + (1 - a)x + 1 = 0(1)$
Để $(P)$ tiếp xúc với $d$ khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép
$ \Leftrightarrow \Delta = {(1 - a)^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {a^2} - 2a - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\na = - 1\\\na = 3\n\end{array} \right.$
Đáp án đúng là A.
Parabol $(P):y = - {x^2} + 6x + 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trục đối xứng của $(P)$ là $x = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{6}{{2.( - 1)}} = 3$ loại A,B
Thay $A(2;9)$ vào phương trình ta được $9 = - {(2)^2} + 6.2 + 1 \Leftrightarrow 9 = 9$(luôn đúng) C đúng
Thay $A(3;9)$ vào phương trình ta được $9 = - {3^2} + 6.3 + 1 \Leftrightarrow 9 = 10$(vô lý)
Đáp án C
Cho hàm số $y = f(x) = a{x^2} + bx + c$. Biểu thức $f(x + 3) - 3f(x + 2) + 3f(x + 1)$ có giá trị bằng?
Thay vào $f$ và tính.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}\nf(x + 3) - 3f(x + 2) + 3f(x + 1)\\ = a{(x + 3)^3} + b(x + 3) + c - 3{\rm{[}}a{(x + 2)^2} + b(x + 2) + c{\rm{]}} + 3[a{(x + 1)^2} + b(x + 1) + c{\rm{]}}\\ = a{x^2} + bx + c\n\end{array}$
Đáp án đúng là C.
Trong các đồ thị hàm số có hình vẽ dưới đây, đồ thị nào là đồ thị hàm số $y = - {x^2} + 4x - 3$?
Dựa vào hệ số $a$ và trục đối xứng để loại.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có hệ số $a=-1<0$ nên đồ thị hàm số có bề lõm quay xuống phía dưới loại A,C
Đồ thị hàm số có trục đối xứng $x = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{4}{{2( - 1)}} = 2$ nên loại B.
Đáp án đúng là D.
Hàm số $y = - {x^2} + 2(m - 1)x + 3$ nghịch biến trên $(1; + \infty )$ khi giá trị của $m$ thỏa mãn
Từ hàm số suy ra khoảng nghịch biến theo ẩn $m$, dựa vào điều kiện đề bài suy ra $m$ cần tìm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đồ thị hàm số có trục đối xứng là $x=m-1$
Ta có hệ số $a=-1<0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ;m - 1)$,
nghịch biến trên khoảng $(m - 1; + \infty )$
Để hàm số nghịch biến trên $(1; + \infty )$ thì $m - 1 \le 1 \Leftrightarrow m \le 2$
Đáp án đúng là A.
Gọi $A(a;b),B(c;d)$ là tọa độ giao điểm của $(P):y = 2x - {x^2},\Delta :y = 3x - 6$. Giá trị của $b+d$ bằng?
Nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm là hoành độ giao điểm, từ đó suy ra tung độ giao điểm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm:
$\begin{array}{l}\n2x - {x^2} = 3x - 6 \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 2 \Rightarrow b = 0\\\nx = - 3 \Rightarrow y = - 15\n\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = 2,b = 0,c = - 3,d = - 15 \Rightarrow b + d = - 15\n\end{array}$
Đáp án đúng là C.