Tập xác định của hàm số $y = 2{x^2} + x - 1$ là:
Tập xác định của hàm số $y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$ là $D=\mathbb{R}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tập xác định của hàm số $y = 2{x^2} + x - 1$ là $D=\mathbb{R}$
Đáp án đúng là A.
Cho hàm số $y = 2{x^2} + x + 3$, điểm nào thuộc đồ thị hàm số?
Thay trực tiếp tọa độ điểm vào hàm số, điểm nào thỏa mãn thì thuộc đồ thị hàm số.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A sai vì: thay $x=2;y=0$ vào hàm số ta được $0=2.{2^2}+2+3$$ \Leftrightarrow 0 = 13$(vô lý)
Đáp án B sai vì: thay $x=-2;y=1$ vào hàm số ta được $1 = 2{( - 2)^2} + ( - 2) + 3 \Leftrightarrow 1 = 9$(vô lý)
Đáp án C sai vì: thay $x=1;y=2$ vào hàm số ta được $2 = {2.1^2} + 1 + 3 \Leftrightarrow 2 = 6$(vô lý)
Đáp án D đúng vì: thay $x=0;y=3$ vào hàm số ta được $3 = {2.0^2} + 0 + 3 \Leftrightarrow 3 = 3$(luôn đúng)
Vậy đáp án đúng là D.
Parabol $y = {x^2} - 4x + 4$ có đỉnh là:
Tạo độ đỉnh của parabol là $I( - \dfrac{b}{{2a}};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hoành độ đỉnh ${x_I} = - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{4}{2} = 2$
Suy ra tung độ đỉnh ${y_I} = {2^2} - 4.2 + 4 = 0$
Vậy tọa độ đỉnh của parabol là $I(2;0)$
Đáp án đúng là A.
Tọa độ giao điểm của $(P):y = {x^2} - 4x$ và đường thẳng $d:y = - x - 2$ là:
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương tình hoành độ, từ đó thay vào 1 phương trình tìm ra tung độ giao điểm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P),d$ là:
${x^2} - 4x = - x - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1 \Rightarrow y = - 3\\\nx = 2 \Rightarrow y = - 4\n\end{array} \right.$
Vậy tọa độ giao điểm là: $M(1;-3);N(2;-4)$
Đáp án đúng là A.
Parabol $(P):y = {x^2} + 4x + 4$ có số giao điểm với trục hoành là:
Phương trình của trục hoành là: $y=0$
Số giao điểm của $(P)$ với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ với trục hoành là:
${x^2} + 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 2$
Vậy $(P)$ có 1 giao điểm với trục hoành.
Đáp án đúng là B.
Cho hàm số $y = 2{x^2} + 6x + 3$ có đồ thị là $(P)$. Trục đối xứng của $(P)$ là?
Trục đối xứng của parabol là $x = - \dfrac{b}{{2a}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trực đối xứng của đồ thị hàm số $y = 2{x^2} + 6x + 3$ là: $x = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{6}{{2.2}} = - \dfrac{3}{2}$
Đáp án đúng là C.
Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c(a > 0)$. Khẳng định nào sau đây sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án D sai vì đồ thị hàm số có thể cắt trục hoành tại 2 điểm, tại 1 điểm hoặc không cắt trục hoành.
Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào nhận $x=1$ làm trục đối xứng?
Đồ thị hàm bậc hai $y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$ luôn nhận đường thẳng $x = - \dfrac{b}{{2a}}$ làm trục đối xứng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A: Trục đối xứng của đồ thị hàm số là $x = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{4}{{2.( - 2)}} = 1$
Đáp án B: Trục đối xứng của đồ thị hàm số là $x = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{4}{{2. 2}} = -1$
Đáp án C: Trục đối xứng của đồ thị hàm số là $x = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{-2}{{2.2}} = \dfrac{1}{2}$
Đáp án D: Trục đối xứng của đồ thị hàm số là $x = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{-1}{{2.1}} = \dfrac{1}{2}$
Vậy đáp án đúng là A.
Hàm số nào sau đây có đồ thị là parabol có đỉnh là $I(-1;3)$?
Parabol $(P):$$y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$ có đỉnh là $I( - \dfrac{b}{{2a}};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}})$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A: Đỉnh của parabol là $I( - \dfrac{b}{{2a}};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}}) = ( - \dfrac{{ - 4}}{{2.2}}; - \dfrac{{40}}{{4.2}}) = (1; - 5)$
Đáp án B: Đỉnh của parabol là $I( - \dfrac{b}{{2a}};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}}) = ( - \dfrac{{ - 2}}{{2.2}}; - \dfrac{{4}}{{4.2}}) = (\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2})$
Đáp án C: Đỉnh của parabol là $I( - \dfrac{b}{{2a}};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}}) = ( - \dfrac{{ -4}}{{2.2}}; - \dfrac{{-24}}{{4.2}}) = (-1; 3)$
Đáp án D: Đỉnh của parabol là $I( - \dfrac{b}{{2a}};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}})$$ = ( - \dfrac{1}{{2.2}}; - \dfrac{{ - 15}}{{4.2}}) = ( - \dfrac{1}{4};\dfrac{{15}}{8})$
Đáp án đúng là C.
Hàm số $y = {x^2} - 4x + 4$ đồng biến trong các khoảng sau đây?
Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$
Nếu $a>0$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}})$ và đồng biến trên khoảng $( - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty )$
Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}})$ và nghịch biến trên khoảng $( - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty )$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có hoành độ đỉnh của paarabol là: $x = - \dfrac{b}{{2a}} = 2$
mà hệ số $a=1>0$ nên hàm số sẽ nghịch biến trong khoảng $( - \infty ;2)$ và đồng biến trong khoảng $(2; + \infty )$
Đáp án đúng là D.
Cho hàm số $y = - {x^2} + 4x + 2$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$
Nếu $a>0$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}})$ và đồng biến trên khoảng $( - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty )$
Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}})$ và nghịch biến trên khoảng $( - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty )$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $a=-1<0$, $ - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{4}{{2( - 1)}} = 2$
Suy ra hàm số đồng biến (tăng) trong khoảng $( - \infty ;2)$ và nghịch biến (giảm) trong khoảng $(2; + \infty )$
Đáp án đúng là A.
Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
Dựa vào hình dạng đồ thị, bề lõm, đỉnh để tìm hàm số thỏa mãn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ hình vẽ ta thấy đây là đồ thị của hàm số bậc hai nên loại B.
Parabol có bề lõm quay lên phía trên suy ra $a>0$ nên loại A.
Đỉnh $I(-1;0)$$ \Rightarrow - \dfrac{b}{{2a}} = - 1 \Rightarrow b = 2a$ nên loại D.
Vậy đáp án đúng là C.
Giao điểm của parabol $y = {x^2} - 3x + 2$ với đường thẳng $y=x-1$ là:
Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm được hoành độ giảo điểm, từ đó thay vào 1 phương trình tìm tung độ giao điểm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hoành độ giao điểm của parabol $y = {x^2} - 3x + 2$ với đường thẳng $y=x-1$ là nghiệm của phương trình
${x^2} - 3x + 2 = x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1 \Rightarrow y = 0\\\nx = 3 \Rightarrow y = 2\n\end{array} \right.$
Vậy tọa độ giao điểm là $(1;0),(3;2)$
Đáp án đúng là B.
Cho hàm số $y = {x^2} - 2x - 1$. Khẳng định nào sau đây sai?
Bước 1: Tìm trục đối xứng; tọa độ đỉnh;
Bước 2: Tìm khoảng đồng biến; nghịch biến
Lưu ý:
Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$
Nếu $a>0$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}})$ và đồng biến trên khoảng $( - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty )$
Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}})$ và nghịch biến trên khoảng $( - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty )$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $a=1>0;b=-2$$ \Rightarrow \dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{2}{{2.1}} = 1$$ \Rightarrow I(1; - 2)$, trục đối xứng $x=1$
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ;1)$
hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty )$
Đáp án là A.
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $y=-4x+3$ với parabol $(P):y = - {x^2} + 2x + 3$
Xét phương trình hoành độ giao điểm, giải phương trình tìm được hoành độ giao điểm, từ đó thay vào 1 phương trình tìm tung độ giao điểm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm
$ - {x^2} + 2x + 3 = - 4x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0 \Rightarrow y = 3\\\nx = 6 \Rightarrow y = - 21\n\end{array} \right.$
Vậy tọa độ giao điểm là $(0;3);(6;-21)$
Đáp án đúng là B.
Bảng biến thiên của hàm số $y = - 2{x^2} + 4x + 1$ là bảng nào sau đây?
Bước 1: Tìm trục đối xứng; tọa độ đỉnh;
Bước 2: Tìm khoảng đồng biến; nghịch biến.
Lưu ý:
Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$
Nếu $a>0$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}})$ và đồng biến trên khoảng $( - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty )$
Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}})$ và nghịch biến trên khoảng $( - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty )$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $a=-2<0$ và đỉnh $I(1;3)$
Nên hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ;3)$
hàm số nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty )$
Suy ra bảng biến thiên của hàm số là
Đáp án đúng là B.
Hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào?
Dựa vào bề lõm suy ra dấu của $a$
Dựa vào đồ thị suy ra tọa độ đỉnh.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta thấy bề lõm quay lên phía dưới suy ra $a<0$ nên loại C,D
Tọa độ đỉnh $I(1;0)$ nên loại A
Đáp án là B.
Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y = 2{x^2} - 4x + m$ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất?
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm duy nhất khi và chỉ khi phương trình hoành độ có 1 nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình của trục hoành là: $y=0$
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $2{x^2} -4 x + m=0(*)$
Để đồ thị hàm số $y = 2{x^2} - 4x + m$ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất $\Leftrightarrow $(*) có một nghiệm.
$ \Leftrightarrow \Delta \'= 0 \Leftrightarrow 4-2m = 0 \Leftrightarrow m = 2$
Đáp án đúng là C.
Nếu hàm số $y = a{x^2} + bx + x$ có $a<0,b<0,c>0$ thì đồ thị hàm số có dạng sau:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $a<0$ nên bề lõm của parabol quay xuống phía dưới nên loại A,B
Mặt khác $c>0$ nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm nên loại C
Đáp án đúng là D.
Cho hàm số $y = - {x^2} + 5x + 1$. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$
Nếu $a>0$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}})$ và đồng biến trên khoảng $( - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty )$
Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}})$ và nghịch biến trên khoảng $( - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty )$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $a=-1<0$ và $x = - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{5}{2}$
Suy ra hàm số tăng trên khoảng $( - \infty ;\dfrac{5}{2})$ và giảm trên khoảng $(\dfrac{5}{2}; + \infty )$
Đáp án là C.