Với $x$ thuộc tập hợp nào dưới đây thì biểu thức $f\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}$ không âm?
Áp dụng định lý xét dấu nhị thức bậc nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $x \ne - 2;\,x \ne 1$.
Ta có: $ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 6x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \ge 0$.
Ta có bảng xét dấu:
Vậy $x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left[ { - \dfrac{1}{2};1} \right)$.
Chọn D.
Với $x$ thuộc tập hợp nào dưới đây thì biểu thức $f\left( x \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x + 5}}{{x + 1}}$ không âm?
Áp dụng định lý xét dấu nhị thức bậc nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x + 5}}{{x + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 6}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \le 0$. Ta có bảng xét dấu
Vậy $x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {1,3} \right]$.
Chọn B.
Với $x$ thuộc tập hợp nào dưới đây thì $f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right| - \left| {x + 4} \right|$ không dương?
$|A| \le |B| \Leftrightarrow |A|^2 \le |B|^2 \Leftrightarrow A^2 \le B^2.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left| {x - 2} \right| - \left| {x + 4} \right| \le 0$ $ \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| \le \left| {x + 4} \right| \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} \le {\left( {x + 4} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 \le {x^2} + 8x + 16$
$ \Leftrightarrow x \ge - 1$.
Chọn D.
Giải bất phương trình $|2-x| >5$.
Áp dụng định lý xét dấu nhị thức bậc nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $|2-x|>5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2-x > 5\\ 2-x < - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x< -3 \\ x>7 \end{array} \right. $
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=(-\infty; -3) \cup (7; +\infty).$
Chọn C.
Tìm $x$ để biểu thức sau $f\left( x \right) = (x + 2)({x^2} + 5x + 6)<0$?
Áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = (x + 2)({x^2} + 5x + 6) = {(x + 2)^2}(x + 3)$.
Bảng xét dấu
Vậy $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty ; - 3)$.
Chọn đáp án A.
Với $x $ thuộc tập nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất $f(x) = \dfrac{3x+5}{2}-1-\Big(\dfrac{x+2}{3}+x \Big)$ luôn âm?
Để $f(x)$ luôn âm thì $f(x) <0.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\dfrac{3x+5}{2}-1 - \Big(\dfrac{x+2}{3} +x\Big)<0 \Leftrightarrow 9x+15 -6 <2x+4+6x \Leftrightarrow x < -5.$
Chọn D.
Với $x$ thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức $f(x)=2x+\dfrac{3}{2x-4}-\Big(3+ \dfrac{3}{2x-4}\Big)$ âm?
Để $f(x)$ âm thì $f(x) <0.$ (Chú ý điều kiện ở mẫu)
Áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f(x)=2x+\dfrac{3}{2x-4}-\Big(3+ \dfrac{3}{2x-4}\Big) <0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 2\\ 2x - 3 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 2\\ x < \dfrac{3}{2} \end{array} \right.$
Vậy chọn B.
Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}} $ là :
Điều kiện xác định của hàm số là mẫu khác 0 và hàm dưới dấu căn không âm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1$ (do $x^2+1 >0$ với mọi $x$)
Chọn D.
Bất phương trình $|1-3x| >2 $ có nghiệm là:
Áp dụng định lý xét dấu nhị thức bậc nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $|1-3x|>2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 - 3x > 2\\ 1- 3x < - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} -1 > 3x \\ 3x >3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x< -\dfrac{1}{3} \\ x>1 \end{array} \right. $
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=(-\infty; -\dfrac{1}{3}) \cup (1; +\infty).$
Chọn C.
Tập nghiệm của bất phương trình $|x-3|>-1$ là:
Áp dụng $|x|\ge 0.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $|x-3| \ge 0, \forall x \in \mathbb R$ nên suy ra $|x-3| >-1, \forall x\in \mathbb R.$
Chọn D.
Với $x $ thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất $f(x) = |2x-3| -1$ không dương?
Để $f(x)$ không dương thì $f(x) \le 0.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $|2x-3|-1 \le 0 \Leftrightarrow |2x-3|\le 1 \Leftrightarrow -1 \le 2x-3 \le 1 \Leftrightarrow 1\le x \le 2.$
Chọn C.
Giải bất phương trình $\dfrac{{x + 2}}{{3x - 1}} \ge - 2$.
Áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{{x + 2}}{{3x - 1}} \ge - 2 \Leftrightarrow \dfrac{x}{{3x - 1}} \ge 0$.
Bảng xét dấu
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\infty;0] \cup \left(\dfrac{1}{3};+\infty\right) $.
Chọn D.
Giải bất phương trình $\dfrac{{1}}{{x}} >1$.
Áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{1}{x} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{{1 - x}}{x} > 0$.
Bảng xét dấu
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(0;1)$.
Chọn A.
Giải bất phương trình $x^3-4x<0$.
Áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${x^3} - 4x < 0 \Leftrightarrow x({x^2} - 4) < 0 \Leftrightarrow x(x + 2)(x - 2) < 0$.
Bảng xét dấu
Vậy tập nghiệp của bất phương trình là $S=(-\infty;-2) \cup (0;2)$.
Chọn C.
Giải bất phương trình $(-2x+3)(x-2)(x+4) \le 0$.
Áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có bảng xét dấu
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ { - 4;\dfrac{3}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$
Chọn C.
Giải bất phương trình $\dfrac{{2x + 1}}{{(x - 1)(x + 2)}} \le 0$.
Áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có bảng xét dấu
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left[ {\dfrac{{ - 1}}{2};1} \right)$.
Chọn D.
Giải bất phương trình $\dfrac{3}{{2x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 2}} > 0$.
Áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{3}{{2x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 2}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{3(x + 2) - (2x - 1)}}{{(2x - 1)(x + 2)}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 7}}{{(2x - 1)(x + 2)}}>0$.
Bảng xét dấu
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-7;-2) \cup \left(\dfrac{1}{2};+\infty\right)$.
Chọn B.
Giải bất phương trình $\left( {4x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {3x - 5} \right)\left( { - 2x + 7} \right) \ge 0$.
Áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có bảng xét dấu
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ { - 2;\dfrac{1}{4}} \right] \cup \left[ {\dfrac{5}{3};\dfrac{7}{2}} \right]$.
Chọn B.
Giải bất phương trình $\dfrac{4}{{x - 1}} > \dfrac{7}{{2x + 1}}$.
Áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{4}{{x - 1}} > \dfrac{7}{{2x + 1}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{4}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{2x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 11}}{{(x - 1)(2x + 1)}} > 0$.
Bảng xét dấu
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S= \left(-11;-\dfrac{1}{2}\right) \cup (1;+\infty)$.
Chọn C.
Giải bất phương trình $\left| {3x + 2} \right| \le x + 1$.
$|f(x)| < g(x) \Leftrightarrow -g(x) < f(x) < g(x)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left| {3x + 2} \right| \le x + 1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \left( {x + 1} \right) \le 3x + 2\\\nx + 1 \ge 3x + 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n4x \ge - 3\\\n2x \le - 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{4} \le x \le \dfrac{{ - 1}}{2}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[-\dfrac{3}{4};-\dfrac{1}{2}\right]$.
Chọn B.