Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D. 
Ta có $\left( {1 + \tan x + \frac{1}{{\cos x}}} \right)\left( {1 + \tan x - \frac{1}{{\cos x}}} \right) = {\left( {1 + \tan x} \right)^2} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$
$= 1 + {\tan ^2}x + 2\tan x - \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 2\tan x\ \Rightarrow n = 1$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. 
Ta có

​​​​​ $\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow {\sin ^2}\frac{\pi }{4} = \frac{1}{2}$,
$\sin \frac{{9\pi }}{4} = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 2\pi } \right) = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ 

$\Rightarrow {\sin ^2}\frac{{9\pi }}{4} = \frac{1}{2}, \tan \frac{\pi }{6}\cot \frac{\pi }{6} = 1$.
Suy ra $P = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 3$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D. 
Ta có $\sin \left( {90^\circ  + \alpha } \right) = \cos \alpha$.
Suy ra $\sin 100^\circ  = \cos 10^\circ  \Rightarrow {\sin ^2}100^\circ  = {\cos ^2}10^\circ$,
tương tự ta có ${\sin ^2}110^\circ  = c{\text{o}}{{\text{s}}^2}20^\circ , {\sin ^2}120^\circ  = c{\text{o}}{{\text{s}}^2}30^\circ , {\sin ^2}130^\circ  = c{\text{o}}{{\text{s}}^2}40^\circ$, 
${\sin ^2}150^\circ  = c{\text{o}}{{\text{s}}^2}40^\circ , {\sin ^2}160^\circ  = c{\text{o}}{{\text{s}}^2}70^\circ , {\sin ^2}170^\circ  = c{\text{o}}{{\text{s}}^2}80^\circ , {\sin ^2}180^\circ  = c{\text{o}}{{\text{s}}^2}90^\circ $.
Vậy ta có \[A = \left( {{{\sin }^2}10^\circ  + {{\cos }^2}10^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}20^\circ  + {{\cos }^2}20^\circ } \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}90^\circ  + {{\cos }^2}90^\circ } \right)\]
\[ \Rightarrow A = 1 + 1 + ... + 1 = 9\].

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. 
Do $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  \sin \alpha  < 0 \hfill \\\n  \cos \alpha  < 0 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right.$. Ta có $\cot \alpha  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\cos \alpha  = \sin \alpha$.
Mà \[{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\]. Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered}\n  2\cos \alpha  = \sin \alpha  \hfill \\\n  {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \hfill \\ \n\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  2\cos \alpha  = \sin \alpha  \hfill \\\n  {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{5} \hfill \\ \n\end{gathered}  \right.$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}\n  \cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{5} \hfill \\\n  \sin \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \hfill \\ \n\end{gathered}  \right.\left( {do{\text{ }}\cos \alpha  < 0} \right)$.
Vậy ${\sin ^2}\alpha .\cos \alpha  = {\left( { - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right)^2}.\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right) =  - \frac{{4\sqrt 5 }}{{25}} =  - \frac{4}{{5\sqrt 5 }}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. 
${\sin ^2}x.{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + 3{\cos ^2}x = \left( {{{\sin }^2}x - 1} \right){\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x$.
$ =  - {\cos ^2}x.{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x =  - {\sin ^2}x + 4{\sin ^2}x + 3\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = 3$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. 
$\sin \alpha .\cos \alpha  = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)}^2} - \left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)} \right] = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^2} - 1} \right] = \frac{9}{{32}}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. 
$C = \left( {1 + \tan a} \right)\left( {1 + \tan b} \right) = \frac{{\left( {\cos a + \sin a} \right)}}{{\cos a}}.\frac{{\left( {\cos b + \sin b} \right)}}{{\cos b}} = \frac{{2\sin \left( {a + 45^\circ } \right)\sin \left( {b + 45^\circ } \right)}}{{\cos a\cos b}}$
$C = \frac{{\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b + 90^\circ } \right)}}{{\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]}} = \frac{{\cos 5^\circ  - \cos \left( {45^\circ  + 90^\circ } \right)}}{{\frac{1}{2}\left( {\cos 45^\circ  + \cos 5^\circ } \right)}} = \frac{{\cos 5^\circ  + \sin 45^\circ }}{{\frac{1}{2}\left( {\cos 45^\circ  + \cos 5^\circ } \right)}} = 2$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D. 
Đặt $\tan \frac{\alpha }{2} = t \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$. Với $t = 2 \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{1 - 4}}{{1 + 4}} = \frac{{ - 3}}{5}$ 
Suy ra $B = \frac{{1 + 5\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)}}{{3 - 2\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)}} = \frac{{ - 2}}{{\frac{{21}}{5}}} = \frac{{ - 10}}{{21}}$.    

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. 
Ta có: \[0 < \alpha  < {90^0}\]\[ \Leftrightarrow 0 < \frac{\alpha }{2} < {45^0}\]\[ \Rightarrow 0 < \sin \frac{\alpha }{2} < \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]\[ \Leftrightarrow 0 < \sqrt {\frac{{x - 1}}{{2x}}}  < \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]\[ \Leftrightarrow x > 0\]
\[{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1 \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} \], vì \[0 < \frac{\alpha }{2} < {45^0}\]
\[ \Leftrightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{2x}}} \]\[ \Rightarrow \tan \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \]
\[tan\alpha  = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}} = \frac{{2\sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} }}{{1 - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \].