Tính $S = {\sin ^2}5^\circ + {\sin ^2}10^\circ + {\sin ^2}15^\circ + ... + {\sin ^2}80^\circ + {\sin ^2}85^\circ$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn C.
Ta có ${\sin ^2}5^\circ + {\sin ^2}85^\circ = c{\text{o}}{{\text{s}}^2}85^\circ + {\sin ^2}85^\circ = 1$.
${\sin ^2}10^\circ + {\sin ^2}80^\circ = c{\text{o}}{{\text{s}}^2}80^\circ + {\sin ^2}80^\circ = 1$.
………………………………………….
${\sin ^2}40^\circ + {\sin ^2}45^\circ = c{\text{o}}{{\text{s}}^2}45^\circ + {\sin ^2}45^\circ = 1$.
Tổng số có $8$ cặp dư ra ${\sin ^2}45^\circ $ nên $S = 8 + \frac{1}{2} = \frac{{17}}{2}$.
Nếu \[\alpha \] là góc nhọn và \[\sin 2\alpha = a\] thì $\sin \alpha + \cos \alpha $ bằng
Tính ${\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn C.
Ta có ${(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} = 1 + \sin 2\alpha = 1 + a \Rightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt {1 + a} $.
Giá trị của biểu thức \[\frac{{\cos \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}} - \sin \frac{\pi }{{15}}\sin \frac{\pi }{{10}}}}{{\cos \frac{\pi }{5}\cos \frac{{2\pi }}{{15}} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}}\] bằng
Chú ý: $\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn B.
\[\frac{{\cos \frac{\pi }{{10}}\cos \frac{\pi }{{15}} - \sin \frac{\pi }{{15}}\sin \frac{\pi }{{10}}}}{{\cos \frac{\pi }{5}\cos \frac{{2\pi }}{{15}} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}\sin \frac{\pi }{5}}} = \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{{10}} + \frac{\pi }{{15}}} \right)}}{{\cos \left( {\frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{\pi }{5}} \right)}} = \frac{{\cos \frac{\pi }{6}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{3}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}} = \tan \frac{\pi }{3} = \sqrt 3 \].
Giá trị biểu thức \[\frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}.\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}.\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}.\cos \frac{\pi }{5} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}.\sin \frac{\pi }{5}}}\] là
$\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.$
$\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A.
$\frac{{\sin \frac{\pi }{{15}}.\cos \frac{\pi }{{10}} + \sin \frac{\pi }{{10}}.\cos \frac{\pi }{{15}}}}{{\cos \frac{{2\pi }}{{15}}.\cos \frac{\pi }{5} - \sin \frac{{2\pi }}{{15}}.\sin \frac{\pi }{5}}} = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{{15}} + \frac{\pi }{{10}}} \right)}}{{\cos \left( {\frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{\pi }{5}} \right)}} = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right)}} = 1$.
Có bao nhiêu đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau đây (giả sử rằng tất cả các biểu thức lượng giác đều có nghĩa)?
i) ${\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}$.
ii) $\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \alpha$.
iii) $\sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \alpha + \sin \alpha$.
iv) $\cot 2\alpha = 2{\cot ^2}\alpha - 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn B.
Và: $\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) = - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \cos \alpha $. Vậy ii) đúng.
Và: $\sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos \alpha \cos \frac{\pi }{4} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \alpha - \sin \alpha $. Vậy iii)
Với $\cos \alpha = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 \Rightarrow 2{\cot ^2}\alpha - 1 = \frac{{2{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} - 1 = - 1$.
Mà: $\cot 2\alpha = \frac{{\cos 2\alpha }}{{\sin 2\alpha }} = \frac{{\cos 2\alpha }}{{2\sin \alpha \cos \alpha }}$ không xác định khi $\cos \alpha = 0$.
Suy ra iv) không đúng với mọi $\alpha $. Vậy iv)
Vậy có 2 đẳng thức đúng.
Rút gọn biểu thức $A = \sin \left( {x + \frac{{85\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {2017\pi + x} \right) + {\sin ^2}\left( {33\pi + x} \right) + {\sin ^2}\left( {x - \frac{{5\pi }}{2}} \right)$ta được:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn B.
$A = \sin \left( {x + \frac{{85\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {2017\pi + x} \right) + {\sin ^2}\left( {33\pi + x} \right) + {\sin ^2}\left( {x - \frac{{5\pi }}{2}} \right)$.
${\text{ }} = \sin \left( {x + 42\pi + \frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {2016\pi + \pi + x} \right) + {\sin ^2}\left( {32\pi + \pi + x} \right) + {\sin ^2}\left( {x - 2\pi - \frac{\pi }{2}} \right)$.
\[{\text{ }} = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {\pi + x} \right) + {\sin ^2}\left( {\pi + x} \right) + {\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)\].
\[{\text{ }} = \cos x - \cos x + {\left( { - \sin x} \right)^2} + {\left( { - \cos x} \right)^2} = 1\].
Biến đổi $\sin 2\alpha$ theo $\tan \alpha .$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn D.
Tính $\sin \frac{\pi }{8}\sin \frac{{3\pi }}{8}$.
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn B.
$= \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} - 0} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.
Tính $\sin \alpha $, biết $\cos \alpha =- \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ và $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi $.
${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ và xét dấu $\sin \alpha$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn D.
Do $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi $ nên $\sin \alpha > 0$. Vậy $\sin \alpha = \frac{2}{3}$.
Nếu ${\sin ^2}\alpha = \frac{1}{3}$ thì $1 + {\tan ^2}\alpha $ bằng
Tính $\cos \alpha$ và sử dụng công thức $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn C.
Ta có: ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = \frac{2}{3}$ mà $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{3}{2}$
Giả sử $3{\sin ^4}x - {\cos ^4}x = \frac{1}{2}$ thì ${\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x$ có giá trị bằng
${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A.
Vậy $3{\sin ^4}x - {\cos ^4}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 3{\sin ^4}x - {\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)^2} = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sin x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}$
Vậy ${\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x = {\sin ^4}x + 3{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)^2}$
$= \frac{1}{4} + 3{\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$
Cho \[\alpha = 60^\circ \]. Tính \[E = \tan \alpha + \tan \frac{\alpha }{4}\].
Biến đổi $\operatorname{tana} = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn B.
\[E = \tan \alpha + \tan \frac{\alpha }{4} = \frac{{\sin \left( {\alpha + \frac{\alpha }{4}} \right)}}{{\cos \alpha \cos \frac{\alpha }{4}}} = \frac{{\sin {{75}^{\text{o}}}}}{{\cos {{60}^{\text{o}}}\cos {{15}^{\text{o}}}}} = \frac{{\sin {{75}^{\text{o}}}}}{{\cos {{60}^{\text{o}}}\sin {{75}^{\text{o}}}}} = \frac{1}{{\cos {{60}^{\text{o}}}}} = 2\].
Đơn giản biểu thức $C = \frac{1}{{\sin 10^\circ }} + \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos 10^\circ }}$.
Quy đồng và sử dụng công thức cộng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A.
$C = \frac{1}{{\sin {{10}^o}}} + \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos {{10}^o}}} = \frac{{\cos {{10}^{\text{o}}} + \sqrt 3 \sin {{10}^{\text{o}}}}}{{\sin {{10}^{\text{o}}}\cos {{10}^{\text{o}}}}} = \frac{{\frac{1}{2}\cos {{10}^{\text{o}}} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin {{10}^{\text{o}}}}}{{\frac{{2\sin {{10}^{\text{o}}}\cos {{10}^{\text{o}}}}}{4}}} = \frac{{4\sin {{40}^{\text{o}}}}}{{\sin {{20}^{\text{o}}}}} = 8\cos {20^{\text{o}}}$.
Giá trị của $\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)$ bằng bao nhiêu khi $\sin \alpha = \frac{3}{5}\,\,\,\left( {\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi } \right)$.
$\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn D.
Mà $\sin \alpha = \frac{3}{5}\, \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \, = \pm \sqrt {1 - \frac{9}{{25}}} = \pm \frac{4}{5}\,$
Vì $\,\,\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi nên \cos \alpha = - \frac{4}{5} \Rightarrow \tan \alpha = - \frac{3}{4}$
Giả sử \[A = \tan x\tan \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\tan \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\] được rút gọn thành \[A = \tan nx\] khi đó $n$ bằng
$\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}};\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn D.
$= \tan x.\frac{{3 - {{\tan }^2}x}}{{1 - 3{{\tan }^2}x}} = \frac{{3\tan x - {{\tan }^3}x}}{{1 - 3{{\tan }^2}x}} = \tan 3x$
Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đồng nhất thức?
1) $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ 2) $1 - \sin 2x = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2}$
3) $\sin 2x = \left( {\sin x + \cos x + 1} \right)\left( {\sin x + \cos x - 1} \right)$
4) $\sin 2x = 2\cos x\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A.
$\sin 2x = \sin \left( {x + x} \right) = \sin x\cos x + \cos x\sin x = 2\sin x\cos x$. Vậy 1) đúng.
${\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x - 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 1 - \sin 2x$. Vậy 2) đúng.
$\left( {\sin x + \cos x + 1} \right)\left( {\sin x + \cos x - 1} \right) = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - 1 = 1 + \sin 2x - 1 = \sin 2x$. Vậy 3) đúng.
$\sin 2x = \sin \left( {x + x} \right) = \sin x\cos x + \cos x\sin x = 2\sin x\cos x = 2\cos x\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$. Vậy 4) đúng.
Biết $\sin a = \frac{5}{{13}},\cos b = \frac{3}{5}\,\,\left( {\frac{\pi }{2} < a < \pi ,\,0 < b < \frac{\pi }{2}} \right)$. Hãy tính $\sin \left( {a + b} \right)$.
Tính cosa, sinb và dùng công thức $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A.
$\cos a = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{5} {{ 13}}} \right)}^2}} = - \frac{{12}}{{13}}$
$\sin b = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}} = \frac{4}{5}$
$\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b = \frac{5}{{13}}.\frac{3}{5} + \frac{{ - 12}}{{13}}.\frac{4}{5} = - \frac{{33}}{{65}}$.
Cho $a = \frac{1}{2}$ và $\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = 2$; đặt tan x = a và tan y = b với $x,y \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$, thế thì x + y bằng
$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\tan \left( {x + y} \right) = \frac{{\tan x + \tan y}}{{1 - \tan x.\tan y}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn B.
$\left\{ \begin{gathered}\n \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = 2 \hfill \\\n a = \frac{1}{2} \hfill \\ \n\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\n b = \frac{1}{3} \hfill \\\n a = \frac{1}{2} \hfill \\ \n\end{gathered} \right.$
$\tan \left( {x + y} \right) = \frac{{\tan x + \tan y}}{{1 - \tan x.\tan y}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2}.\frac{1}{3}}} = 1 \Rightarrow x + y = \frac{\pi }{4}$.
Cho
$\sin 2a = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}2a} ;\cos a = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos 2a}}{2}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn B.
• \[\sin 2a = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}2a} \]\[ = \pm \sqrt {1 - \frac{1}{{16}}} = \pm \frac{{\sqrt {15} }}{4}\]
• $\cos a = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos 2a}}{2}} = \pm \frac{{\sqrt {10} }}{4}$
\[ \Rightarrow \sin 2a\cos a = \frac{{5\sqrt 6 }}{{16}}\].
Biểu thức $\frac{{\sin 10^\circ + \sin 20^\circ }}{{\cos 10^\circ + \cos 20^\circ }}$ bằng
Dùng công thức biến đổi tổng thành tích.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn.D.
$\frac{{\sin {{10}^0} + \sin {{20}^0}}}{{\cos {{10}^0} + \cos {{20}^0}}}\ = \frac{{2\sin {{15}^0}\cos {5^0}}}{{2\cos {{15}^0}\cos {5^0}}} = \tan {15^0}$.