Tam giác ABC có $BC = 12,CA = 13$trung tuyến $AM = 8$. Diện tích tam giác ABC bằng?
${S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo công thức hê-rông, ta có :
$\begin{array}{l}\n{S_{AMC}} = \sqrt {\dfrac{{27}}{2}\left( {\dfrac{{27}}{2} - 13} \right)\left( {\dfrac{{27}}{2} - 6} \right)\left( {\dfrac{{27}}{2} - 8} \right)} = \dfrac{{9\sqrt {55} }}{4}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = 2{S_{AMC}} = \dfrac{{9\sqrt {55} }}{2}\n\end{array}$
Cho tam giác ABC có $BC = 12,CA = 13$, trung tuyến $AM = 8$. Tính góc B?
$\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\begin{array}{l}\n{b^2} + {c^2} = 2A{M^2} - {b^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {c^2} = 2A{M^2} - {b^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} = 2.64 + 72 - 169 = 31\\ \Rightarrow c = \sqrt {31} \n\end{array}$
Từ đó $\begin{array}{l}\n\cos B = \dfrac{{31 + 144 - 169}}{{24\sqrt {31} }} = \dfrac{1}{{4\sqrt {31} }}\\ \Rightarrow \widehat B \approx 87^\circ 25\'\n\end{array}$
Cho tam giác ABC có độ dài ba đường trung tuyến bằng 15; 18; 27. Tính độ dài các cạnh của tam giác?
Đặt ${m_a} = 15,{m_b} = 18,{m_c} = 27$
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {b^2} + {c^2} = 2m_a^2 + \dfrac{{{a^2}}}{2}\\ {c^2} + {a^2} = 2m_b^2 + \dfrac{{{b^2}}}{2}\\ {a^2} + {b^2} = 2m_c^2 + \dfrac{{{c^2}}}{2} \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử ${m_a} = 15,{m_b} = 18,{m_c} = 27$
$\left\{ \begin{array}{l} {b^2} + {c^2} = 2m_a^2 + \dfrac{{{a^2}}}{2}\\ {c^2} + {a^2} = 2m_b^2 + \dfrac{{{b^2}}}{2}\\ {a^2} + {b^2} = 2m_c^2 + \dfrac{{{c^2}}}{2} \end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{4}{3}\left( {m_a^2 + m_b^2 + m_c^2} \right) = 1704$
Ta lại có: $\begin{array}{l} {b^2} - {a^2} = \dfrac{4}{3}\left( {m_a^2 - m_b^2} \right) = - 132\\ {b^2} - {c^2} = \dfrac{4}{3}\left( {m_c^2 - m_b^2} \right) = 540 \end{array}$
Từ đó ta tính được: $a = 2\sqrt {209} ,b = 8\sqrt {11} ,c = 2\sqrt {41} $
Gọi $S = m_a^2 + m_b^2 + m_c^2$là tổng bình phương độ dài ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
$\begin{array}{l} m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\\ m_b^2 = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}\\ m_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4} \end{array}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$$$\begin{array}{l}\nS = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}\\ = \dfrac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2} + 2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4}\\ = \dfrac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\n\end{array}$
Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn hệ thức $\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right) = 3ab$Khi đó số đo góc C là?
Áp dụng: $\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}\n\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right) = 3ab\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} - {c^2} = 3ab\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} - {c^2} - 3ab = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} - ab = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} = ab\n\end{array}$mà ${a^2} + {b^2} - {c^2} = 2ab\cos C$
Hay $\begin{array}{l}\n{a^2} + {b^2} - {c^2} = 2ab\cos C = ab\\ \Leftrightarrow {\mathop{\rm cosC}\nolimits} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \widehat C = 60^\circ \n\end{array}$
Tính góc C của tam giác ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn $b\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = c\left( {{a^2} - {c^2}} \right)$
Áp dụng: $\cos C = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2ab}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}\nb\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = c\left( {{a^2} - {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {b^3} - {a^2}b = {a^2}c - {c^3}\\ \Leftrightarrow {b^3} + {c^3} = {a^2}c + {a^2}b\\ \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} - ab + {c^2}} \right) = {a^2}\left( {c + b} \right)\\ \Leftrightarrow {b^2} - ab + {c^2} = {a^2}\\\n\end{array}$
mà $\begin{array}{l}\n\cos C = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2ab}}\\ \Leftrightarrow \cos C = \dfrac{{ab}}{{2ab}} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \widehat C = 60^\circ \n\end{array}$
Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB = c,AC = b$, AD phân giác trong của góc A. Độ dài của AD là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét tam giác ABD có: $\dfrac{{AD}}{{{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = \dfrac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} = \dfrac{{BD}}{{\sin 45^\circ }} = \sqrt 2 BD \Rightarrow AD = \sqrt 2 BD\sin B$
Mà $\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{b}{{BC}} \Rightarrow AD = \dfrac{{\sqrt 2 .b.BD}}{{BC}} = \dfrac{{\sqrt 2 bc}}{{b + c}}$
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỉ số $\dfrac{R}{r}$
tam giác ABC vuông cân tại A nên BC=2R
Áp dụng: $r = \dfrac{S}{p}$ (p là nửa chu vi tam giác)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $AB = AC = x \Rightarrow BC = x\sqrt 2 $. Bán kính $R = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{2}$
Diện tích tam giác ABC là $\begin{array}{l}\n{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{{{x^2}}}{2}\\\np = \dfrac{{AB + BC + AC}}{2} = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}x\\ \Rightarrow r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{x}{{2 + \sqrt 2 }}\n\end{array}$
Vậy $\dfrac{R}{r} = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{2}:\dfrac{x}{{2 + \sqrt 2 }} = 1 + \sqrt 2 $
Cho tam giác ABC có $bc = {a^2}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Biến đổi lần lượt từng đáp án
Áp dụng: $\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\sin A = \dfrac{a}{{2R}}$, $\sin B = \dfrac{b}{{2R}}$, $\sin C = \dfrac{c}{{2R}}$
${\sin ^2}A = \sin B.\sin C \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{4{R^2}}} = \dfrac{b}{{2R}}.\dfrac{c}{{2R}} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{4{R^2}}} = \dfrac{{bc}}{{4{R^2}}} \Leftrightarrow {a^2} = bc$
Cho tam giác ABC biết $BC = a = 5,AC = b = 6,AB = c = 7$. Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( Với độ chính xác 0,001)
Áp dụng: $\dfrac{a}{{\sin A}} = 2R$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Áp dụng hệ quả của định lý cosin trong tam giác
Ta có: $\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \dfrac{{{6^2} + {7^2} - {5^2}}}{{2.6.7}} = \dfrac{5}{7}$
Mà ${\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1$
$\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{5}{7}} \right)}^2}} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{7}$
Vậy $2R = \dfrac{a}{{\sin A}} = 5.\dfrac{7}{{2\sqrt 6 }} = \dfrac{{35\sqrt 6 }}{{12}} \Leftrightarrow R = \dfrac{{35\sqrt 6 }}{{24}} \approx 3,57$