Cho tam giác ABC có $AB = 3,AC = 4,\widehat A = 60^\circ $. Cạnh BC bằng?
$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos \widehat A$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có: $\begin{array}{l}\nB{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos \widehat A = {3^2} + {4^2} - 2.3.4.\cos 60^\circ = 13\\ \Rightarrow BC = \sqrt {13} \n\end{array}$
Cho tam giác ABC có $a = 12,b = 15,c = 13$. Tính số đo góc A của tam giác ABC
${\mathop{\rm cosA}\nolimits} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l} {\mathop{\rm cosA}\nolimits} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \dfrac{{{{15}^2} + {{13}^2} - {{12}^2}}}{{2.15.13}} = \dfrac{{25}}{{39}}\\ \Rightarrow \widehat A \approx 50^\circ \end{array}$
Cho tam giác ABC có $AB = 6,AC = 8,\widehat A = 120^\circ $. Tính diện tích tam giác ABC
${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}.6.8.sin120^\circ = 12\sqrt 3 $
Cho tam giác ABC có $a = 12,b = 15,c = 13$. Tính độ dài đường trung tuyến ${m_b}$ của tam giác ABC
$m_b^2 = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l} m_b^2 = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} = \dfrac{{{{12}^2} + {{13}^2}}}{2} - \dfrac{{{{15}^2}}}{4} = \dfrac{{401}}{4}\\ \Rightarrow {m_b} = \sqrt {\dfrac{{401}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {401} }}{2} \end{array}$
Cho tam giác ABC có $BC = 6,AC = 8,\widehat A = 120^\circ $. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
$\dfrac{a}{{{\mathop{\rm sinA}\nolimits} }} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\dfrac{a}{{{\mathop{\rm sinA}\nolimits} }} = 2R \Leftrightarrow \dfrac{6}{{\sin 120^\circ }} = 2R \Leftrightarrow 4\sqrt 3 = 2R \Leftrightarrow R = 2\sqrt 3 $
Cho tam giác ABC có $a = 8,b = 10,c = 13$. Tính diện tích tam giác ABC ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 )
$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} $
trong đó $p = \dfrac{{a + b + c}}{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}\np = \dfrac{{8 + 10 + 13}}{2} = \dfrac{{31}}{2}\\\nS = \sqrt {\dfrac{{31}}{2}.\left( {\dfrac{{31}}{2} - 8} \right).\left( {\dfrac{{31}}{2} - 10} \right).\left( {\dfrac{{31}}{2} - 13} \right)} \approx 39,98\n\end{array}$
Cho tam giác ABC có $\widehat A = 60^\circ ,\widehat B = 45^\circ ,b = 2$. Tính độ dài cạnh a?
$\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} \Rightarrow a = \dfrac{{b.\sin A}}{{\sin B}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} \Rightarrow a = \dfrac{{b.\sin A}}{{\sin B}} = \dfrac{{2.\sin 60^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = \sqrt 6 $
Cho tam giác ABC có $AB = 4,AC = 5,\sin A = \dfrac{4}{5}$, $BC = \sqrt {29} $. Tính độ dài đường cao kẻ từ A.
$S = \dfrac{1}{2}{h_a}.a \Rightarrow {h_a} = \dfrac{{2S}}{a}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$S = \dfrac{1}{2}.4.5.\dfrac{4}{5} = 8 = \dfrac{1}{2}{h_a}.\sqrt {29} \Rightarrow {h_a} = \dfrac{{2S}}{{\sqrt {29} }} = \dfrac{{2.8}}{{\sqrt {29} }} = \dfrac{{16\sqrt {29} }}{{29}}$
Vậy ${h_a} = \dfrac{{16\sqrt {29} }}{{29}}$
Cho tam giác ABC biết $a = 2\sqrt 3 ,b = 2\sqrt 2 ,c = \sqrt 6 - \sqrt 2 $. Tính góc lớn nhất của tam giác
Ta có $c < b < a \Rightarrow \widehat C < \widehat B < \widehat A$Vậy $\widehat A$ là góc lớn nhất.
$\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $c < b < a \Rightarrow \widehat C < \widehat B < \widehat A$nên $\widehat A$ là góc lớn nhất
$\begin{array}{l} {\mathop{\rm cosA}\nolimits} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \dfrac{{8 + {{\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}^2} - 12}}{{2.2\sqrt 2 .\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}} = - \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \widehat A = 120^\circ \end{array}$
Cho tam giác ABC có $\widehat A = 41^\circ ,\widehat B = 72^\circ ,BC = 15$. Tính cạnh AB ( lấy gần đúng đến một chữ số thập phân)
$\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\begin{array}{l}\n\widehat C = 180^\circ - \left( {41^\circ + 72^\circ } \right) = 67^\circ \\\n\dfrac{{BC}}{{\sin A}} = \dfrac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow AB = \dfrac{{BC.\sin C}}{{\sin A}} = \dfrac{{15.\sin 67^\circ }}{{\sin 41^\circ }} \approx 21\n\end{array}$
Cho tam giác ABC có $AB = 3,AC = 4,BC = 6$. Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh nhỏ nhất của tam giác bằng?
$m_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}\nm_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4} = \dfrac{{{6^2} + {4^2}}}{2} - \dfrac{{{3^2}}}{4} = \dfrac{{95}}{4}\\ \Rightarrow {m_c} = \sqrt {\dfrac{{95}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {95} }}{2}\n\end{array}$
Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 5; 6; 7. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng?
$S = pr$
trong đó: $p = \dfrac{{a + b + c}}{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $p = \dfrac{{5 + 6 + 7}}{2} = 9$
$S = \sqrt {9\left( {9 - 5} \right)\left( {9 - 6} \right)\left( {9 - 7} \right)} = 6\sqrt 6 $
Lại có: $S = p.r \Rightarrow r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{{6\sqrt 6 }}{9} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}$
Tam giác ABC có $AB = 3,AC = 4,S = 3\sqrt 2 $. Giá trị sinA bằng?
$S = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A \Rightarrow sinA = \dfrac{{2S}}{{AB.AC}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$S = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A \Rightarrow sinA = \dfrac{{2S}}{{AB.AC}} = \dfrac{{2.3\sqrt 2 }}{{3.4}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$
Cho tam giác ABC có $\widehat B = 70^\circ ,\widehat C = 65^\circ ,BC = a$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng?
$\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\begin{array}{l}\n\widehat A = 180^\circ - \left( {70^\circ + 65^\circ } \right) = 45^\circ \\\n\dfrac{{BC}}{{SinA}} = 2R \Leftrightarrow \dfrac{a}{{\sin 45^\circ }} = 2R \Leftrightarrow \frac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = 2R \Leftrightarrow R = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\n\end{array}$
Tam giác ABC có các cạnh $a = 4,b = 5,\widehat C = 120^\circ $. Độ dài đường cao ứng với cạnh lớn nhất của tam giác ABC bằng?
Tính độ dài cạnh c để xác định được đường cao cần tìm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\begin{array}{l}\n{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C = {4^2} + {5^2} - 2.4.5.\cos 120^\circ = 61\\ \Rightarrow c = \sqrt {61} \n\end{array}$
Vậy cạnh lớn nhất là cạnh c đường cao cần tính là ${h_c}$
$\begin{array}{l}\nS = \dfrac{1}{2}.4.5.sin120^\circ = 5\sqrt 3 = \dfrac{1}{2}c.{h_c}\\ \Rightarrow {h_c} = \dfrac{{2.5\sqrt 3 }}{c} = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{{\sqrt {61} }} = \dfrac{{10\sqrt {183} }}{{61}}\n\end{array}$
Cho tam giác ABC có các cạnh $AC = 6,AB = 7,\widehat A = 60^\circ $. Diện tích tam giác ABC bằng?
$S = \dfrac{1}{2}b.c.\sin A$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$S = \dfrac{1}{2}b.c.\sin A = \dfrac{1}{2}.6.7.sin60^\circ = \dfrac{{21\sqrt 3 }}{2}$
Cho tam giác ABC có $BC = 5,AB = 7,AC = 8$. Độ dài đường cao ứng với cạnh nhỏ nhất của tam giác ABC bằng?
Cạnh lớn nhất là BC vậy đường cao cần tính là ${h_a}$
Áp dụng: $S = \dfrac{1}{2}a.{h_a} \Rightarrow {h_a} = \dfrac{{2S}}{a}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l} p = \dfrac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10\\ S = \sqrt {10\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)\left( {10 - 8} \right)} = 10\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.BC.{h_a} = 10\sqrt 3 \Leftrightarrow {h_a} = \dfrac{{2.10\sqrt 3 }}{5} = 4\sqrt 3 \end{array}$
Cho tam giác ABC có các cạnh $BC = 3,AB = 4,AC = 6$. Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh lớn nhất của tam giác ABC bằng?
Cạnh AC lớn nhất nên đường trung tuyến cần tìm đó là ${m_b}$
Áp dụng: $m_b^2 = \dfrac{{A{B^2} + B{C^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l} m_b^2 = \dfrac{{A{B^2} + B{C^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4} = \dfrac{{{4^2} + {3^2}}}{2} - \dfrac{{{6^2}}}{4} = \dfrac{7}{2}\\ \Rightarrow {m_b} = \sqrt {\dfrac{7}{2}} = \dfrac{{\sqrt {14} }}{2} \end{array}$
Cho tam giác ABC có diện tích bằng 10, bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Chu vi tam giác ABC bằng?
$S = pr \Rightarrow p = \dfrac{S}{r}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$S = pr \Rightarrow p = \dfrac{S}{r} = \dfrac{{10}}{2} = 5 \Rightarrow 2p = 10$
Tam giác ABC có $\widehat B = 45^\circ ,\widehat C = 75^\circ $và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = a$. Độ dài cạnh BC của tam giác ABC bằng?
Áp dụng: $\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 60^\circ $
Ta có: $\dfrac{a}{{\sin A}} = 2R \Leftrightarrow \dfrac{{BC}}{{\sin 60^\circ }} = 2a \Leftrightarrow BC = 2a.\sin 60^\circ = a\sqrt 3 $