Tam giác ABC vuông tại C có $AC = 9,CB = 5$. Tính $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} $
$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$
trong đó $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{{AC}}{{AB}}$
Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\frac{{AC}}{{AB}} = A{C^2} = {9^2} = 81$
Tam giác ABC có $\widehat A = 90^\circ ,\widehat B = 60^\circ $và $AB = a$. Tính $\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} $
$\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)$
$\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = \tan 60^\circ .AB$
$\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ACB}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \widehat {ACB}$
$CA = \tan 60^\circ .a = a\sqrt 3 $. Theo pytago ta có: $CB = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2a$
Lại có: $\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {90^\circ + 60^\circ } \right) = 30^\circ $
Vậy $\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos 30^\circ = CA.CB.\cos 30^\circ = a\sqrt 3 .2a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 3{a^2}$
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm $A\left( {2;4} \right)$và $B\left( {1;1} \right)$. Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương sao cho tam giác ABC vuông cân tại B
Để tam giác ABC vuông cân tại B ta phải có: $\left\{ \begin{array}{l}\n\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0\\\n\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử điểm C cần tìm có tọa độ $\left( {x;y} \right)$. Để tam giác ABC vuông cân tại B ta phải có $\left\{ \begin{array}{l}\n\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0\\\n\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\n\end{array} \right.$
với $\overrightarrow {BA} = \left( {1;3} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {x - 1;y - 1} \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\n1.\left( {x - 1} \right) + 3.\left( {y - 1} \right) = 0\\\n{1^2} + {3^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 4 - 3y\\\n{\left( {3 - 3y} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 4 - 3y\\\n10{y^2} - 20y = 0\n\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{\left\{ \begin{array}{l}\nx = 4\\\ny = 0\n\end{array} \right.}\\\n{\left\{ \begin{array}{l}\nx = - 2\\\ny = 2\n\end{array} \right.}\n\end{array}} \right.$Vì $x > 0$ nên $C\left( {4;0} \right)$
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với $A\left( {2;4} \right),B\left( { - 3;1} \right),C\left( {3; - 1} \right)$. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành?
Áp dụng quy tắc hình bình hành
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} $(*)
Giả sử $D\left( {x;y} \right)$khi đó (*)$ \Leftrightarrow \overrightarrow {BD} = \left( {5;3} \right) + \left( {6;-2} \right) \Leftrightarrow \left( {x + 3;y - 1} \right) = \left( {11;1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x + 3 = 11}\\\n{y - 1 = 1}\n\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = 8}\\\n{y = 2}\n\end{array}} \right.} \right.$
Cho tam giác ABC có $AB = 5$cm, $BC = 7$cm, $CA = 8$cm. Tính $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} $
Ta có: $\overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \Rightarrow B{C^2} = {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)^2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \Rightarrow B{C^2} = {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)^2}$
$\begin{array}{l} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} - 2.\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = \dfrac{{{{\overrightarrow {AC} }^2} + {{\overrightarrow {AB} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}}}{2} = \dfrac{{{8^2} + {5^2} - {7^2}}}{2} = 20 \end{array}$
Cho các vecto $\overrightarrow a = \left( { - 2;3} \right),\overrightarrow b = \left( {4;1} \right)$. Tìm các số k và l sao cho $\overrightarrow c = k\overrightarrow a + l\overrightarrow b $vuông góc với vecto $\overrightarrow a + \overrightarrow b $
Cho $\overrightarrow x \left( {{a_1};{a_2}} \right);\overrightarrow y \left( {{b_1};{b_2}} \right)$
$\overrightarrow x \bot \overrightarrow y \Leftrightarrow \overrightarrow x .\overrightarrow y = 0 \Leftrightarrow {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}\n\overrightarrow c = k\overrightarrow a + l\overrightarrow b = \left( { - 2k + 4l;3k + l} \right)\\\n\overrightarrow c \bot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow c .\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = 0 \Leftrightarrow 2\left( { - 2k + 4l} \right) + 4\left( {3k + l} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2k + 3l = 0\n\end{array}$
Vậy với $2k + 3l = 0$ thì $\overrightarrow c \bot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)$
Cho $\overrightarrow a \left( { - 2;3} \right),\overrightarrow b \left( {4;1} \right)$. Tìm $\overrightarrow d $biết $\overrightarrow a .\overrightarrow d = 4$ và $\overrightarrow b .\overrightarrow d = - 2$
Gọi $\overrightarrow d \left( {x;y} \right)$giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n\overrightarrow a .\overrightarrow d = 4\\\n\overrightarrow b .\overrightarrow d = - 2\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử $\overrightarrow d \left( {x;y} \right)$ ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\n\overrightarrow a .\overrightarrow d = 4\\\n\overrightarrow b .\overrightarrow d = - 2\n\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 3y = 4\\\n4x + y = - 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = - \dfrac{5}{7}\\\ny = \dfrac{6}{7}\n\end{array} \right.$
Cho ba điểm $A\left( { - 1;1} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {2;4} \right)$. Tính diện tích tam giác ABC?
Áp dụng ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}\nAB = \sqrt {{{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}} = 4\\\nAC = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 1} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 \n\end{array}$
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {4;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3;3} \right) \Rightarrow \cos \widehat {BAC} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {BAC} = 45^\circ $
Vậy ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}.4.3\sqrt 2 .\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = 6$
Cho hai điểm $A\left( { - 3;2} \right),B\left( {4;3} \right)$. Tìm điểm M trên trục Ox sao cho tam giác MAB vuông tại M
Gọi $M\left( {x;0} \right)$. Tam giác MAB vuông tại M khi $\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {BM} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử $M\left( {x;0} \right)$. Ta có $\overrightarrow {AM} \left( {x + 3; - 2} \right),\overrightarrow {BM} \left( {x - 4; - 3} \right)$
Tam giác MAB vuông tại M $\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right).\left( {x - 4} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 3\\\nx = - 2\n\end{array} \right.$Vậy có 2 điểm M cần tìm là ${M_1}\left( {3;0} \right),{M_2}\left( { - 2;0} \right)$
Cho điểm $A\left( { - 3;2} \right),B\left( {4;3} \right)$. Tìm tọa độ điểm N trên trục Oy sao cho $NA = NB$
$N \in Oy \Rightarrow N\left( {0;y} \right)$sau đó giải phương trình $N{A^2} = N{B^2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử $N\left( {0;y} \right) \in Oy$. Khi đó: $\begin{array}{l} N{A^2} = N{B^2} \Leftrightarrow {\left( {0 + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {0 - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 9 + {y^2} - 4y + 4 = 16 + {y^2} - 6y + 9\\ \Leftrightarrow y = 6 \end{array}$
Vậy $N\left( {0;6} \right)$