Trong hệ tọa độ $Oxy$ cho 4 điểm $A(-5;-2), B(-5;3),C(3;3),D(3;-2)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Kiểm tra lần lượt từng đáp án
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A sai vì: $\overrightarrow {CD} (0;-5)$
Đáp án B đúng vì: $\overrightarrow {DC} = (0;5),\overrightarrow {AD} = (8;0)$
+ $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0 \Leftrightarrow AB \bot AD$(1)
+ $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow $$ABCD$ là hình bình hành(2)
Từ (1)(2) suy ra $ABCD$ là hình chữ nhật
Đáp án C sai vì: Tọa độ trung điểm $I$ của $AC$ là $I(\dfrac{{ - 5 + 3}}{2};\dfrac{{ - 2 + 3}}{2}) \Leftrightarrow I( - 1;\dfrac{1}{2})$
Đáp án D sai vì: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = (( - 5) + ( - 5);( - 2) + 3) = ( - 10;1) \ne (3;3) = \overrightarrow {OC} $
Đáp án đúng là B.
Cho hai vecto $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ khác $\overrightarrow 0 $. Khẳng định nào sau đây đúng?
Định nghĩa tích vô hướng của hai vecto
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto ta có:
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$
Cho các vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ khác $\overrightarrow 0 $ và số thực k. Khẳng định nào sau đây sai?
Các tính chất của tích vô hướng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án sai là: $\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right).\overrightarrow c = \overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b .\overrightarrow c } \right)$
Trên mặt phẳng $Oxy$ hãy tính góc giữa $\overrightarrow a = \left( {2; - 3} \right);\overrightarrow b = \left( {6;4} \right)$
Góc giữa hai vecto $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right)$và $\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$đều khác $\overrightarrow 0 $
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{{a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2} }}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{2.6 - 3.4}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {4^2}} }} = 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ $
Tính góc giữa hai vecto $\overrightarrow a = \left( {3;2} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {5; - 1} \right)$
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{{a_1}.{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2} }}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{3.5 - 2.1}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} .\sqrt {{5^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ $
Tính góc giữa hai vecto $\overrightarrow a = \left( { - 2; - 2\sqrt 3 } \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {3;\sqrt 3 } \right)$
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{{a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2} }}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\left( { - 2} \right).3 + \left( { - 2\sqrt 3 } \right).\sqrt 3 }}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \dfrac{{ - \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 150^\circ $
Cho hai điểm $A\left( {7; - 3} \right)$ và $B\left( {8;4} \right)$. Tính khoảng cách giữa hai điểm đó.
Khoảng cách giữa hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$
$AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$AB = \sqrt {{{\left( {8 - 7} \right)}^2} + {{\left( {4 + 3} \right)}^2}} = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 $
Tính độ dài DC biết $D\left( {0; - 2} \right)$ và $C\left( {1;1} \right)$
Cho $D\left( {{x_D};{y_D}} \right);C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$
$DC = \sqrt {{{\left( {{x_c} - {x_D}} \right)}^2} + {{\left( {{y_C} - {y_D}} \right)}^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$DC = \sqrt {{{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2}} = \sqrt {10} $
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A\left( {2;1} \right),B\left( {2;2} \right),\left( {3; - 1} \right)$. Giá trị $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} $
Cho $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : $\overrightarrow {AB} = (0;1)$; $\overrightarrow {AC} = (1; - 2)$
Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0.1 + 1.\left( { - 2} \right) = - 2$
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho $\overrightarrow a = \left( {2;3} \right),\overrightarrow b = \left( {3; - 2} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Kiểm tra lần lượt từng đáp án
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Kiểm tra ý A.$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} = \left| {\overrightarrow b } \right| \ne 13$suy ra sai.
Kiểm tra ý B. $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\left( {5;1} \right)} \right| = \sqrt {{5^2} + {1^2}} = \sqrt {26} \ne 26$suy ra sai
Kiểm tra ý C. $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.3 + 3.\left( { - 2} \right) = 0$. Vậy $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $
Đáp án đúng là C
Cho hai vecto $\overrightarrow a = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)$, $\overrightarrow b = \left( {2\sqrt 3 ;6} \right)$. Số đo góc giữa hai vecto $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $bằng
Cho hai vecto $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right)$và $\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$
$\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2} }}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{1.2\sqrt 3 - 6.\sqrt 3 }}{{\sqrt {1 + 3} .\sqrt {12 + 36} }} = \dfrac{{ - 4\sqrt 3 }}{{8\sqrt 3 }} = \dfrac{{ - 1}}{2}$
Vậy $\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = 120^\circ $
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai vecto $\overrightarrow a = \left( {3;2m + 1} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {2m - 2;2} \right)$. Tìm m để $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $
Cho $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$
$\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow 3.\left( {2m - 2} \right) + \left( {2m + 1} \right).2 = 0 \Leftrightarrow 10m = 4 \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{5}$
Cho các vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 $. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hai vecto được gọi là vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng giữa chúng bằng 0
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $\overrightarrow a = \left( {3;4} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {4; - 3} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?
Kiểm tra lần lượt từng đáp án
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Kiểm tra đáp án A. $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5 = \left| {\overrightarrow b } \right|$Đúng
Kiểm tra đáp án B. $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\left( {7;1} \right)} \right| = \sqrt {{7^2} + {1^2}} = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 $Đúng
Kiểm tra đáp án C. $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.4 - 4.3 = 0$Đúng
Kiểm tra đáp án D. $\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \left( {3;4} \right).\left( {7;1} \right) = 25 \ne 5$Sai
Vậy đáp án sai là đáp án D
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $M\left( { - 5;1} \right)$, $N\left( {2; - 3} \right)$. Độ dài đoạn thẳng MN bằng?
Cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$, $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$
$AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$MN = \sqrt {{{\left( {2 + 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {65} $
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\overrightarrow a = \left( { - 3; - 1} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {2; - 1} \right)$. Góc giữa hai vecto $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $là?
Áp dụng công thức $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{ - 3.2 + 1.1}}{{\sqrt {{{( - 3)}^2} + {{( - 1)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \dfrac{{ - 5}}{{5\sqrt 2 }} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}$
$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = 135^\circ $
Cho các vecto $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow a } \right| = 2$, $\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2 $, $\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = 135^\circ $. Giá trị $\overrightarrow a .\overrightarrow b $ bằng?
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.\sqrt 2 .\cos 135^\circ = - 2$
Cho hai vecto $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ khác $\overrightarrow 0 $ và biết $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$Khi đó góc tạo bởi hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $là?
Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{ - \sqrt 3 }}{2}$
$\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = 150^\circ $
Cho hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $có $\left| {\overrightarrow a } \right| = 2;\left| {\overrightarrow b } \right| = 3;\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{3}$. Giá trị $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)$bằng?
Khai triển $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)$
Tính $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:$\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right) = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - \overrightarrow a .\overrightarrow b - 2{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}$ (*)
Lại có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = 2.3.\frac{1}{3} = 2$thay vào (*) ta được
$\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right) = 4 - 2 - 2.9 = - 16$
Cho ba vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \ne \overrightarrow 0 $. Khẳng định nào sau đây đúng?
Định nghĩa bình phương vô hướng của vecto
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo định nghĩa bình phương vô hướng của vecto ta có ${\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$
Vậy chọn C