Gọi $A$ là tập tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số. Hỏi $A$ có bao nhiêu phần tử?
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất và lớn nhất có 3 chữ số.
Áp dụng công thức tính số số hạng cho dãy số cách đều 999 - 100 + 1 = 900
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số các số tự nhiên có 3 chữ số là $(999-100)+1=900$ (số).
Do đó $A$ có 900 phần tử.
Vậy đáp án là B.
Cho tập $A = {\rm{\{ }}1,2,3\} $, $B = {\rm{\{ }}1,2,3,4,5\} $ . Có tất cả bao nhiêu tập $X$ thỏa mãn $A \subset X \subset B$ ?
Tập hợp $X$ có ít nhất 3 phần tử là $1; 2; 3.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $A \subset X$ nên $X$ có ít nhất 3 phần tử $1; 2; 3$.
Mặt khác $X \subset B$ nên $X$ có nhiều nhất 5 phần tử ${\rm{\{ }}1,2,3,4,5\} $ và các phần tử của $X$ đều thuộc $B$ .
Do đó các tập $X$ thỏa mãn $A \subset X \subset B$ là ${\rm{\{ }}1,2,3\} $, ${\rm{\{ }}1,2,3,4\} $, ${\rm{\{ }}1,2,3,5\} $, ${\rm{\{ }}1,2,3,4,5\} $.
Vậy đáp án là C.
Cho tập $A = {\rm{\{ }}1,3,5,7,9\} $, $B = {\rm{\{ }}1,2,3,4,5,6,7\} $. Có tất cả bao nhiêu tập $X$ thỏa mãn $X \subset A$ và $X \subset B$ ?
Tìm tập hợp $Y$ gồm các phần tử thuộc cả $A$ và $B$. Khi đó $X$ là tập con của $Y$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $X \subset A$ và $X \subset B$ nên các phần tử của $X$ vừa thuộc $A$, vừa thuộc $B$. Do đó $X$ có nhiều nhất 4 phần tử ${\rm{\{ }}1,3,5,7\} $.
Các các tập $X$ thỏa mãn $X \subset A$ và $X \subset B$ là $\emptyset {\rm{,\{ }}1{\rm{\} }},{\rm{\{ }}3{\rm{\} }},{\rm{\{ }}5{\rm{\} }},{\rm{\{ }}7\} ,{\rm{\{ }}1,3\} ,{\rm{\{ }}1,5\} ,{\rm{\{ }}1,7\} ,{\rm{\{ }}3,5\} ,$${\rm{\{ }}3,7\} ,{\rm{\{ }}5,7\} ,{\rm{\{ }}1,3,5\} ,{\rm{\{ }}1,3,7\} ,{\rm{\{ }}1,5,7\} ,{\rm{\{ }}3,5,7\} ,{\rm{\{ }}1,3,5,7\} $ .
Vậy đáp án là A.
Cho ba tập hợp $A,\,B,\,C$ biết $A \subset B$, $B \subset C$ và $C \subset A$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
+ Nếu $A \subset B$ và $B \subset C$ thì $A \subset C$.
+ Nếu $A \subset B$ và $B \subset A$ thì $A=B$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $A \subset B$ và $B \subset C$ nên $A \subset C$. Mặt khác $C \subset A$ nên $A=C$.
Lại có $C \subset A$ và $A \subset B$ nên $C \subset B$. Mặt khác $B \subset C$ nên $B=C$.
Do đó $A=B=C$.
Vậy đáp án là D.
Cho $A$ là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0$ có nghiệm. Khẳng định nào sau đây đúng?
Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm là $\Delta \ge 0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phương trình ${x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0$ có $\Delta \' = {m^2} - 2m + 1$. Để phương trình có nghiệm thì $\Delta \' = {m^2} - 2m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} \ge 0,\,\forall m \in \mathbb{Z}$.
Do đó $A=\mathbb{Z}$.
Vậy đáp án là D.
Cho $A$ là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${x^2} - mx + m - \dfrac{3}{4} = 0$ có nghiệm kép. Hỏi $A$ có bao nhiêu phần tử?
Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép là $\Delta = 0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phương trình ${x^2} - mx + m - \dfrac{3}{4} = 0$ có $\Delta = {m^2} - 4\left( {m - \dfrac{3}{4}} \right) = {m^2} - 4m + 3$. Để phương trình có nghiệp kép thì $\Delta = {m^2} - 4m + 3 = 0 \Leftrightarrow (m - 1)(m - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = 3 \end{array} \right.$.
Vậy $A = {\rm{\{ }}1,3\} $.
Vậy đáp án là B.
Cho $A$ là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${x^3} + m(x - 2) - 8 = 0$ có 3 nghiệm phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng?
Biến đổi phương trình ${x^3} + m(x - 2) - 8 = 0$ về dạng tích.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phương trình
$\begin{array}{l} {x^3} + m(x - 2) - 8 = 0 \Leftrightarrow ({x^3} - 8) + m(x - 2) = 0\\ \Leftrightarrow (x - 2)({x^2} + 2x + 4) + m(x - 2) = 0\\ \Leftrightarrow (x - 2)({x^2} + 2x + 4 + m) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ {x^2} + 2x + 4 + m = 0\,\,\,(1) \end{array} \right. \end{array}$
Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác $2$.
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta\' = 1 - 4 - m > 0 \Leftrightarrow m < - 3$.
Với $x=2$ thì phương trình (1) trở thành: $12 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 12$ .
Do đó $A = {\rm{\{ }}m \in \mathbb{Z}|\,m < - 3, m \neq -12\} $.
Vậy đáp án là C.
Cho tập $A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\,\,|x|\, \le 2} \right\}$, $B$ là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${x^2} - 2mx + 4 = 0$ vô nghiệm. Khẳng định nào sau đây đúng?
Liệt kê các phần tử của các tập hợp $A, B$.
Điều kiện để phương trình bậc 2 vô nghiệm là $\Delta$< 0 . Tìm tập hợp B.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Do $A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\,\,|x|\, \le 2} \right\}$ nên các phần tử của tập $A$ là $A = \left\{ { - 2, - 1,0,1,2} \right\}$.
+ Xét phương trình ${x^2} - 2mx + 4 = 0$ có $\Delta ’ = {m^2} - 4$.
Để phương trình vô nghiệm thì
$\Delta ’ = {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow (m - 2)(m + 2) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m - 2 > 0\\ m + 2 < 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m - 2 < 0\\ m + 2 > 0 \end{array} \right. \end{array} \right. $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m > 2\\ m < - 2 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m < 2\\ m > - 2 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < m < 2$
Do $m$ nhận giá trị nguyên nên $B = {\rm{\{ }} - 1,0,1\} $.
Do đó $B \subset A$.
Vậy đáp án là B.
Cho hai tập hợp $A = {\rm{\{ }}8k + 5|\,k \in \mathbb{Z} {\rm{\} }},\,\,B = {\rm{\{ }}4l + 1|\,l \in \mathbb{Z} {\rm{\} }}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
$A \subset B \Leftrightarrow (\forall x:x \in A \Rightarrow x \in B)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hiển nhiên $A \ne \emptyset ,\,B \ne \emptyset $.
Giả sử $x \in A \Rightarrow x = 8k + 5\,\,\,(k \in \mathbb{Z})$. Khi đó, ta có thể viết $x = 8k + 5 = 4(2k + 1) + 1 = 4l + 1$ với $l = 2k + 1 \in \mathbb{Z}$ (do $k \in \mathbb{Z}$ ).
Do đó $x \in B$ nên $A \subset B$.
Mặt khác, ta có $1 \in B$ nhưng $1 \notin A$ nên $B \not\subset A$.
Do đó $A \subset B$.
Vậy đáp án là A.
Cho $B_n$ là tập hợp các số tự nhiên là bội số của $n$. Sự liên hệ giữa $m, n$ sao cho ${B_n} \subset {B_m}$ là:
Viết tập hợp $B_n, B_m$ bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${B_n} = {\rm{\{ }}nk|\,k \in \mathbb{N}{\rm{\} }}$, ${B_m} = {\rm{\{ }}mk|\,k \in \mathbb{N}{\rm{\} }}$.
Giả sử $x \in {B_n} \Rightarrow x = nk\,\,(k \in \mathbb{N})$ mà ${B_n} \subset {B_m}$ nên $x \in {B_m} \Rightarrow nk \vdots m\,\,(k \in \mathbb{N}) \Rightarrow n \vdots m$ hay $n$ là bội của $m$.
Vậy đáp án là B.