Cho tập $X = {\rm{\{ }}x \in \mathbb{Z} |\,\,|x| < 10\} $. Các phần tử của tập $X$ là:
Liệt kê các số nguyên $x$ mà $|x| < 10$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $X = {\rm{\{ }}x \in \mathbb{Z} |\,\,|x| < 10\} $ nên các phần tử của $X$ là $X = {\rm{\{ 0,}} \pm {\rm{1,}} \pm {\rm{2,}} \pm {\rm{3,}} \pm {\rm{4,}} \pm {\rm{5,}} \pm {\rm{6,}} \pm {\rm{7,}} \pm {\rm{8,}} \pm {\rm{9}}\} $.
Vậy đáp án là D.
Cho tập $X = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\,3 < \,|x|\, \le \frac{{19}}{2}} \right\}$. Các phần tử của tập $X$ là:
Liệt kê các số nguyên $x$ mà $3 < \,|x|\, \le \frac{{19}}{2}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $X = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\,3 < \,|x|\, \le \frac{{19}}{2}} \right\}$ nên các phần tử của tập $X$ là $X = {\rm{\{ }} \pm {\rm{4,}} \pm {\rm{5,}} \pm {\rm{6,}} \pm {\rm{7,}} \pm {\rm{8,}} \pm {\rm{9}}\} $.
Vậy đáp án là C.
Cho tập $X = \left\{ {{x^2} + 1|x \in \mathbb{N},\,|x|\, \le 3} \right\}$. Các phần tử của tập $X$ là:
Liệt kê các số tự nhiên $x$ mà $|x|\, \le 3$. Khi đó các phần tử của $X$ có dạng ${x^2} + 1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Các số tự nhiên $x$ thỏa mãn $|x|\, \le 3$ là: $0, 1, 2, 3$. Do đó các phần tử của tập $X$ là $X = \left\{ {1,2,5,10} \right\}$.
Vậy đáp án là D.
Cho tập $X=\left\{ x \in \mathbb{Z}|x^2+1>0\right\}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Liệt kê các phần tử của tập $X$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $x^2+1>0,\forall x \in \mathbb{Z}$ nên $X = \mathbb{Z}$.
Vậy đáp án là D.
Số phần tử của tập $X = \left\{ {x \in \mathbb{Z} |\,({x^2} - 2)({x^2} + 1) = 0} \right\}$ là:
Giải phương trình $({x^2} - 2)({x^2} + 1) = 0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $({x^2} - 2)({x^2} + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{x^2} = 2\\\n{x^2} = - 1\n\end{array} \right. \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm do $x \in \mathbb{Z}$.
Vậy đáp án là A.
Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?
Giải các phương trình để tìm số phần tử của mỗi tập hợp.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Ta có ${x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - 2 \end{array} \right. \Rightarrow $ Phương trình có nghiệm $x=2$ do $x \in \mathbb{N}$. Do đó $A = {\rm{\{ }}2\} $.
+ Ta có ${x^2} + 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + 2 = 0 \Rightarrow $Phương trình vô nghiệm vì ${(x + 1)^2} \ge 0,\,$$\forall x \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow {(x + 1)^2} + 2 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Do đó $B = \emptyset$.
+ Ta có ${x^2} - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \sqrt 5 \\ x = - \sqrt 5 \end{array} \right. \Rightarrow $ Phương trình có 2 nghiệm $x=\sqrt{5}$ và $x=-\sqrt{5}$.
Do đó $C = \left\{ { \pm \sqrt 5 } \right\}$.
+ Ta có ${x^2} + x - 12 = 0 \Leftrightarrow (x + 4)(x - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 4\\ x = 3 \end{array} \right. \Rightarrow $ Phương trình có 2 nghiệm $x=-4$ và $x=3$. Do đó $D = {\rm{\{ - 4,}}\,{\rm{3}}\} $.
Vậy đáp án là B.
Trong các tập hợp sau, tập hợp nào khác tập rỗng?
Giải các phương trình để xác định số phần tử của mỗi tập hợp.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Ta có ${x^2} + x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0 \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm vì ${\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\,$ $\forall x \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$ . Do đó $A=\emptyset$.
+ Ta có ${x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm vì $x \in \mathbb{N}$. Do đó $B=\emptyset$.
+ Ta có $({x^3} - 3)({x^2} + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^3} = 3\\ {x^2} = - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \sqrt[3]{3}\\ {x^2} = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm vì $x \in \mathbb{Z}$. Do đó $C=\emptyset$.
+ Ta có $x({x^2} + 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = - 3 \end{array} \right. \Rightarrow $ Phương trình có nghiệm $x=0$ ( ${x^2} > \, - 3,\,\forall x \in \mathbb{Q}$). Do đó $D = {\rm{\{ 0\} }}$.
Vậy đáp án là D.
Tìm một tính chất đặc trưng xác định các phần tử của tập hợp sau $A = \left\{ { - 1 - \sqrt 5 , - 1 + \sqrt 5 } \right\}$.
Sử dụng định lý Vi-ét để tìm phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Áp dụng định lý Vi-ét ta có $- 1 - \sqrt 5 , - 1 + \sqrt 5 $ là nghiệm của phương trình: ${x^2} - Sx + P = 0$ với $S = - 1 - \sqrt 5 + ( - 1 + \sqrt 5 ) = - 2$, $P = ( - 1 - \sqrt 5 )( - 1 + \sqrt 5 ) = - 4$
Do đó $A = {\rm{\{ }}x \in \mathbb{R} |{x^2} + 2x - 4 = 0{\rm{\} }}$.
Vậy đáp án là A.
Tìm một tính chất đặc trưng xác định các phần tử của tập hợp sau $A = \left\{ { - \dfrac{1}{2},2,3,5} \right\}$.
Tìm một phương trình bậc 4 nhận các phần tử của tập hợp làm nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có phương trình bậc 4 nhận $ - \dfrac{1}{2},2,3,5$ làm nghiệm có dạng $(2x + 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5) = 0 \Leftrightarrow 2{x^4} - 19{x^3} + 52{x^2} - 29x - 30 = 0$.
Do đó $A = {\rm{\{ }}x \in \mathbb{R} |\,2{x^4} - 19{x^3} + 52{x^2} - 29x-30 = 0{\rm{\} }}$.
Vậy đáp án là B.
Tìm một tính chất đặc trưng xác định các phần tử của tập hợp sau $A = \left\{ {\dfrac{4}{3},\dfrac{9}{4},\dfrac{{16}}{5},\dfrac{{25}}{6},\dfrac{{36}}{7},\dfrac{{49}}{8}} \right\}$.
$\dfrac{4}{3} = \dfrac{{{2^2}}}{{2 + 1}},\dfrac{9}{4} = \dfrac{{{3^2}}}{{3 + 1}},...$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta thấy rằng $\dfrac{4}{3} = \dfrac{{{2^2}}}{{2 + 1}},\dfrac{9}{4} = \dfrac{{{3^2}}}{{3 + 1}},\dfrac{{16}}{4} = \dfrac{{{4^2}}}{{4 + 1}},\dfrac{{25}}{6} = \dfrac{{{5^2}}}{{5 + 1}},\dfrac{{36}}{7} = \dfrac{{{6^2}}}{{6 + 1}},\dfrac{{49}}{8} = \dfrac{{{7^2}}}{{7 + 1}}$.
Do đó các phần tử thuộc $A$ có dạng $\dfrac{{{n^2}}}{{n + 1}}$ với $n \in \mathbb{N}, 2 \leq n \leq 7$.
Vậy đáp án là D.
Cho tập $X = {\rm{\{ }}9,12,15,18\} $. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Liệt kê các phần tử của các tập hợp trên.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ $X = {\rm{\{ }}3k|\,k \in \mathbb{N},3 \le k \le 6\} = {\rm{\{ }}9,12,15,18\} $.
+ $X = {\rm{\{ }}3(k + 2)|\,k \in \mathbb{N},1 \le k \le 4\} = {\rm{\{ }}9,12,15,18\} $.
+ $X = {\rm{\{ }}x|\,(x - 9)(x - 12)(x - 15)(x - 18) = 0\} = {\rm{\{ }}9,12,15,18\} $.
Vậy đáp án là D.
Cho $A$ là tập hợp các tam giác, $B$ là tập hợp các tam giác đều, $C$ là tập hợp các tam giác cân. Khẳng định nào sau đây là đúng?
$A \subset B \Leftrightarrow \left( {\forall x:x \in A \Rightarrow x \in B} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta thấy rằng tam giác đều, tam giác cân đều là tam giác nên $A$ chứa tập $B$ và $C$ .
Mọi tam giác đều đều là tam giác cân nên $C$ chứa $B$.
Do đó $B \subset C \subset A$.
Vậy đáp án là B.
Cho $A$ là tập hợp các hình chữ nhật, $B$ là tập hợp các hình tứ giác, $C$ là tập hợp các hình vuông. Khẳng định nào sau đây là đúng?
$A \subset B \Leftrightarrow \left( {\forall x:x \in A \Rightarrow x \in B} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta thấy rằng mọi hình vuông đều là hình chữ nhật và hình tứ giác, mọi hình chữ nhật đều là tứ giác. Do đó $C \subset A \subset B$ .
Vậy đáp án là D.
Cho $A$ là tập hợp hình thang, $B$ là tập hợp hình bình hành, $C$ là tập hợp hình chữ nhật, $D$ là tập hợp tứ giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
$A \subset B \Leftrightarrow \left( {\forall x:x \in A \Rightarrow x \in B} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta thấy rằng cả hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật đều là tứ giác nên $D$ là tập chứa các tập còn lại.
Hình bình hành và hình chữ nhật đều là hình thang nên tập $A$ chứa tập $B, C$.
Hình chữ nhật là hình bình hành nên tập $B$ chứa tập $C$.
Do đó $C \subset B \subset A \subset D$.
Vậy đáp án là A.
Cho $A$ là tập hợp hình bình hành, $B$ là tập hợp hình thang, $C$ là tập hợp hình thoi, $D$ là tập hợp tứ giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
$A \subset B \Leftrightarrow \left( {\forall x:x \in A \Rightarrow x \in B} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta thấy rằng cả hình bình hành, hình thang, hình thoi đều là tứ giác nên $D$ là tập chứa các tập còn lại.
Hình bình hành và hình thoi đều là hình thang nên tập $B$ chứa tập $A,C$ .
Hình thoi là hình bình hành nên tập $A$ chứa tập $C$.
Do đó $C \subset A \subset B \subset D$.
Vậy đáp án là C.
Số phần tử của tập $A = \left\{ {{{\left( { - 1} \right)}^n},\,\,n \in \mathbb{N}{^*}} \right\}$ là:
Liệt kê các phần tử của tập $A$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
${( - 1)^1} = {( - 1)^3} = ... = {( - 1)^{2k + 1}} = - 1$.
${( - 1)^2} = {( - 1)^4} = ... = {( - 1)^{2k}} = 1$.
Do đó
+ Với $n = 2k + 1$ thì ${( - 1)^{2k + 1}} = - 1$.
+ Với $n = 2k$ thì ${( - 1)^{2k}} = 1$.
Từ đó suy ra $A = {\rm{\{ }} - 1,\,1\} $.
Vậy đáp án là C.
Cho tập hợp $A = \left\{ { - 2,0,7} \right\},\,B = \left\{ {x,0,y} \right\}$. Để $A = B$ thì tất cả các giá trị của $x, y$ là:
$A = B \Leftrightarrow \left( {\forall x:x \in A \Leftrightarrow x \in B} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để $A=B$ thì $-2, 7 \in B$ . Khi đó $x = - 2,y = 7$ hay $x = 7,y = -2$.
Vậy đáp án là C.
Cho ba tập hợp $A = \left\{ {2,5} \right\},\,B = \left\{ {5,x} \right\},\,\,C = \left\{ {x,y,5} \right\}$. Để $A=B=C$ thì tất cả các giá trị của $x , y$ là:
$A = B \Leftrightarrow \left( {\forall x:x \in A \Leftrightarrow x \in B} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để $A=B$ thì $x=2$. Khi đó $C = {\rm{\{ 2,y,5\} }}$.
Để $A=C$ thì $y=2$ hoặc $y=5$.
Do đó để $A=B=C$ thì $x = y = 2$ hay $x =2, y = 5$.
Vậy đáp án là C.
Số các tập con có 3 phần tử chứa $a$ của tập $A = {\rm{\{ }}a,b,c,d,e\} $ là :
Liệt kê các tập con có 3 phần tử chứa $a$ của tập $A = {\rm{\{ }}a,b,c,d,e\} $.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số các tập con có 3 phần tử chứa $a$ của tập $A = {\rm{\{ }}a,b,c,d,e\} $ là: ${\rm{\{ }}a,b,c{\rm{\} }},{\rm{\{ }}a,b,d{\rm{\} }},{\rm{\{ }}a,b,e\} ,{\rm{\{ }}a,c,d{\rm{\} }},{\rm{\{ }}a,c,e\} ,{\rm{\{ }}a,d,e\} $.
Vậy đáp án là D.
Số các tập con có 3 phần tử chứa $3;5$ của tập $A = {\rm{\{ 1,2,3,4,5,9,10}}\} $ là :
Liệt kê các tập con có 3 phần tử chứa $3;5$ của tập $A = {\rm{\{ 1,2,3,4,5,9,10}}\} $ .
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Các tập con cần tìm luôn chứa $3;5$. Do đó ta chỉ cần chọn thêm một phần tử nữa từ tập hợp ${\rm{\{ 1,2,4,9,10}}\} $.
Có $5$ tập hợp như vậy đó là ${\rm{\{ 1,3,5\} ,\{ }}2,3,5\} ,$${\rm{\{ }}3,4,5\} ,{\rm{\{ }}3,5,9\} ,{\rm{\{ }}3,5,10\} $.
Vậy đáp án là C.