Phương trình ${(x + 1)^2} - 3\left| {x + 1} \right| + 2 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
Đặt $t = \left| {x + 1} \right|,t \ge 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = \left| {x + 1} \right|,t \ge 0$
Phương trình đã cho trở thành ${t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nt = 1\\\nt = 2\n\end{array} \right.$
- Với $t=1$, ta có: $\left| {x + 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx + 1 = 1\\\nx + 1 = - 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = - 2\n\end{array} \right.$
- Với $t=2$ ta có: $\left| {x + 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx + 1 = 2\\\nx + 1 = - 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = - 3\n\end{array} \right.$
Vậy phương trình có 4 nghiệm: $x=0, x=-2, x=-3, x=2$
Đáp án đúng là C.
Số nghiệm của phương trình $\sqrt {x + 8 - 2\sqrt {x + 7} } = 2 - \sqrt {x + 1 - \sqrt {x + 7} } $ là:
Đặt $t = \sqrt {x + 7} \Rightarrow x = {t^2} - 7$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = \sqrt {x + 7} \Rightarrow x = {t^2} - 7,(t \ge 0)$
Khi đó phương trình trở thành
$\begin{array}{l} \sqrt {{t^2} + 1 - 2t} = 2 - \sqrt {{t^2} - 6 - t} \Leftrightarrow\sqrt {{t^2} - t - 6} = 2 - \left| {t - 1} \right| \Leftrightarrow t + 4\left| {t - 1} \right| - 11 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5t - 15 = 0\\ - 3t - 7 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3(TM)\\ t = - \dfrac{7}{3}(L) \end{array} \right. \end{array}$
Với $t=3$$ \Leftrightarrow \sqrt {x + 7} = 3 \Leftrightarrow x = 2$
Thử lại thấy $x=2$ thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có 1 nghiệm.
Đáp án đúng là B
Phương trình $\dfrac{{x +2m}}{{x +2}} = \dfrac{{x - 4}}{{x - 2}}(1)$có nghiệm duy nhất khi:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} x \ne 2\\ x \ne - 2 \end{array} \right.$
Phương trình (1) trở thành:
$\dfrac{{x+2m}}{{x + 2}} = \dfrac{{x - 4}}{{x - 2}} \Leftrightarrow (x +2m)(x - 2) = (x - 4)(x + 2) \\\Leftrightarrow {x^2} - 2x+ 2mx-4m = {x^2} - 4x +2x- 8 \\\Leftrightarrow mx = 2m - 4(2)$
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác $2$ và $-2$.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \dfrac{{2m -4}}{m} \ne -2\\ \dfrac{{2m -4}}{m} \ne 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ 4m \ne 4\\ -4 \ne 0 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m \ne 1\\ -4 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m \ne 1 \end{array} \right.$
Vậy đáp án đúng là C.
Với giá trị nào của $a$ thì phương trình $3\left| x \right| + 2ax = - 1$ có nghiệm duy nhất?
Xét + $x \in ( - \infty ;0)$
+ $x \in (0; + \infty )$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dễ thấy $x =0$ không là nghiệm của phương trình.
+Xét $x \in ( - \infty ;0)$
Phương trình trở thành $- 3x + 2ax = - 1 \Leftrightarrow (2a - 3)x = - 1(1)$.
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi $2a - 3{x^2} \ne 0 \Leftrightarrow a \ne \dfrac{3}{2}$
Khi đó nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{{ - 1}}{{2a - 3}}$.
Mà $x<0$ suy ra $x = \dfrac{{ - 1}}{{2a - 3}} < 0$$ \Leftrightarrow 2a - 3 > 0 \Leftrightarrow a > \dfrac{3}{2}$
+Xét $x \in (0; + \infty )$
Phương trình trở thành $3x + 2ax = - 1 \Leftrightarrow (2a + 3)x = - 1(2)$
Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi $2a + 3 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne \dfrac{{ - 3}}{2}$.
Khi đó nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{{ - 1}}{{2a + 3}}$
Mà $x > 0 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{2a + 3}} > 0 \Leftrightarrow 2a + 3 < 0 \Leftrightarrow a < \dfrac{{ - 3}}{2}$
Vậy $a < \dfrac{{ - 3}}{2}$ hoặc $a > \dfrac{3}{2}$ thì phương trình có nghiệm duy nhất
Vậy đáp án đúng là B.
Phương trình $\left| {3 - x} \right| + \left| {2x + 4} \right| = 3$ có nghiệm là:
TH1: $x<-2$
TH2: $- 2 \le x \le 3$
TH3: $x>3$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trường hợp 1: $x<-2$
Phương trình trở thành $3 - x - 2x - 4 = 3 \Leftrightarrow 3x = - 4 \Leftrightarrow x = - \dfrac{4}{3}$(L)
Trường hợp 2: $- 2 \le x \le 3$
Phương trình trở thành $3 - x + 2x + 4 = 3 \Leftrightarrow x = - 4(L)$
Trường hợp 3: $x>3$
Phương trình trở thành $x - 3 + 2x + 4 = 3 \Leftrightarrow 3x = 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}(L)$
Vậy $S = \emptyset $.
Đáp án đúng là D.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn ${\rm{[}} - 5;5]$ để phương trình $\left| {mx + 2x - 1} \right| = \left| {x - 1} \right|$ có đúng hai nghiệm phân biệt?
$\left| {mx + 2x - 1} \right| = \left| {x - 1} \right| \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}mx + 2x - 1 = x - 1\\mx + 2x - 1 = - (x - 1) \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left| {mx + 2x - 1} \right| = \left| {x - 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} mx + 2x - 1 = x - 1\\ mx + 2x - 1 = - (x - 1) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} (m + 1)x = 0(1)\\ (m + 3)x = 2(2) \end{array} \right.$
Xét (1) ta có:
+ $m=-1$ thì phương trình nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$
+ $m \ne - 1$ thì phương trình có nghiệm $x=0$
Xét (2) ta có:
+ $m=-3$ thì phương trình vô nghiệm
+ $m \ne - 3$ thì phương trình có nghiệm $x = \dfrac{2}{{m + 3}}$
Vì $\dfrac{2}{{m + 3}} \ne 0,\forall m \ne - 3$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là $x=0$, $x = \dfrac{2}{{m + 3}}$ khi $m \ne - 1,m \ne - 3$
Mà $m \in {\rm{[}} - 5;5],m \in \mathbb{Z}$ suy ra $m \in {\rm{\{ }} - 5; - 4; - 2;0;1;2;3;4;5\} $.
Vậy có 9 giá trị của $m$ thỏa mãn
Đáp án đúng là A.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${(\dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}})^2} + \dfrac{{2{x^2}}}{{x - 1}} + m = 0$ có đúng 4 nghiệm?
Đặt $\dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} = t$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $\dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} = t$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ {x^2} - tx + t = 0(*) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - t + t \ne 0\\ {\Delta _t} = {t^2} - 4t \end{array} \right.$
Với mỗi $t$ thỏa mãn ${\Delta _t} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t < 0\\ t > 4 \end{array} \right.$ thì (*) có hai nghiệm $x$ phân biệt
Mặt khác phương trình đã cho trở thành ${t^2} + 2t + m = 0 \Leftrightarrow {(t + 1)^2} = 1 - m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \le 1\\ \left[ \begin{array}{l} t = - 1 - \sqrt {1 - m} < 0 (**)\\ t = - 1 + \sqrt {1 - m} \end{array} \right. \end{array} \right.$
Phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (**) có hai nghiệm $t$ phân biệt thỏa mãn điều kiện ${\Delta _t} > 0$ hay $\left\{ \begin{array}{l} m < 1\\ \left[ \begin{array}{l} - 1 + \sqrt {1 - m} < 0\\ - 1 + \sqrt {1 - m} > 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 1\\ \left[ \begin{array}{l} 1 - m < 1\\ 1 - m > 25 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < m < 1\\ m < - 24 \end{array} \right.$
Vậy có vô số giá trị $m$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
Đáp án đúng là D.
Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $\dfrac{{2x - 3m}}{{x - 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} = 3$ vô nghiệm?
Đặt ĐK đưa về phương trình bậc hai, biện luận với phương trình bậc hai.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $x \ne 1,x \ne 2$
Xét phương trình
$\begin{array}{l}\n\dfrac{{2x - 3m}}{{x - 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} = 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 3mx + 3m + {x^2} - 4 = 3({x^2} - 3x + 2)\\ \Leftrightarrow 7x - 3mx = 10 - 3m \Leftrightarrow (7 - 3m)x = 10 - 3m(1)\n\end{array}$
Khi $7 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{7}{3} \Rightarrow 0x = 3$ phương trình (1) vô nghiệm
Khi $7 - 3m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{7}{3} \Rightarrow $ phương trình (1) có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{{10 - 3m}}{{7 - 3m}}$
Để phương trình (1) vô nghiệm thì$\left[ \begin{array}{l}\n\dfrac{{10 - 3m}}{{7 - 3m}} = 1\\\n\dfrac{{10 - 3m}}{{7 - 3m}} = 2\n\end{array} \right. \Rightarrow m = \dfrac{4}{3}$
Vậy với $m = \dfrac{7}{3},m = \dfrac{4}{3}$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Đáp án đúng là D.
Phương trình ${20x^6} + 2019{x^3} - 2021= 0$ có bao nhiêu nghiệm âm?
Đặt $t = {x^3}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = {x^3}$ phương trình trở thành $20{t^2} + 2019t - 2021 = 0(1)$
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu suy ra phương trình ban đầu có hai nghiệm trái dấu
Suy ra phương trình ban đầu có 1 nghiệm âm.
Vậy đáp án đúng là A.
Biết phương trình $x - 2 + \dfrac{{x + a}}{{x - 1}} = a$ (1) có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là nghiệm nguyên. Vậy nghiệm đó là:
$x - 2 + \dfrac{{x + a}}{{x - 1}} = a \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 + x + a = ax - a \Leftrightarrow {x^2} - (2 + a)x + 2a + 2 = 0(2)$
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow $ phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác 1 hoặc phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng 1.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $x \ne 1$
Phương trình (1) trở thành $x - 2 + \dfrac{{x + a}}{{x - 1}} = a \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 + x + a = ax - a \Leftrightarrow {x^2} - (2 + a)x + 2a + 2 = 0(2)$
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow $ phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác 1 hoặc phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng 1.
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\left\{ \begin{array}{l}\n{a^2} - 4a - 4 = 0\\\na + 1 \ne 0\n\end{array} \right.\\\n\left\{ \begin{array}{l}\n{a^2} - 4a - 4 > 0\\\na + 1 = 0\n\end{array} \right.\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\na = 2 + 2\sqrt 2 \\\na = 2 - 2\sqrt 2 \\\na = - 1\n\end{array} \right.$
Với $a = 2 + 2\sqrt 2 $ phương trình có nghiệm $x = 2 + 2\sqrt 2 $
Với $a = 2 - 2\sqrt 2 $ phương trình có nghiệm $x = 2 - 2\sqrt 2 $
Với $a=-1$ phương trình có nghiệm $\left[ \begin{array}{l}\nx = 1(L)\\\nx = 0(TM)\n\end{array} \right.$
Vậy nghiệm nguyên duy nhất của phương trình là $x=0$
Đáp án đúng là D.