Phương trình $\dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{2x + 3}} = \dfrac{{2x - 5}}{4}$ có tập nghiệm là:
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n2x + 3 \ne 0\\\n4({x^2} + 3x + 2) = (2x + 3)(2x - 5)\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $2x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{ - 3}}{2}$
Ta có: $\dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{2x + 3}} = \dfrac{{2x - 5}}{4} \Leftrightarrow 4({x^2} + 3x + 2) = (2x - 5)(2x + 3) \Leftrightarrow 16x + 23 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{{23}}{{16}}$(TM)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = {\rm{\{ - }}\dfrac{{23}}{{16}}{\rm{\} }}$
Đáp án đúng là B.
Nghiệm của phương trình $\left| {3x - 1} \right| = 5$ là:
Để giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu trị tuyệt đối.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left| {3x - 1} \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n3x - 1 = 5\\\n3x - 1 = - 5\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 2\\\nx = - \dfrac{4}{3}\n\end{array} \right.$
Vậy đáp án đúng là C.
Trong các phương trình sau, phương trình vô nghiệm là:
Phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$ vô nghiệm khi và chỉ khi: $\Delta (\Delta \') < 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A: Ta có $\Delta = {3^2} - 4( - 5) = 29 > 0$
Đáp án B: Ta có $\Delta \' = {1^2} - ( - 1) = 2 > 0$
Đáp án C: Ta có $\Delta = {5^2} - 4( - 6) = 49 > 0$
Đáp án D: Ta có $\Delta = {( - 3)^2} - 4.11 = - 35 < 0$
Vậy đáp án đúng là D.
Phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có một nghiệm khi và chỉ khi:
Xét hai trường hợp: $\left[ \begin{array}{l} a = 0\\ a \ne 0 \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với $a=0$ phương trình trở thành $bx = - c$. Khi đó phương trình có một nghiệm khi $b \ne 0$.
Với $a \ne 0$ khi đó phương trình có một nghiệm nếu $\Delta = 0$.
Vậy đáp án đúng là D.
Cho phương trình $\dfrac{1}{4}{x^2} - (m - 3)x + {m^2} - 2m + 7 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\Delta = {(m - 3)^2} - 4.\dfrac{1}{4}({m^2} - 2m + 7) = - 4m + 2$.
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta > 0 \Leftrightarrow - 4m + 2 > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{2}$
Vậy đáp án đúng là B.
Phương trình ${x^4} + (\sqrt 2 - \sqrt 3 ){x^2} = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
${x^4} + (\sqrt 2 - \sqrt 3 ){x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}({x^2} - (\sqrt 2 - \sqrt 3 )) = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l} {x^4} + (\sqrt 2 - \sqrt 3 ){x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}({x^2} - (\sqrt 2 - \sqrt 3 )) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} + \sqrt 2 - \sqrt 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = \sqrt 3 - \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm \sqrt {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \end{array} \right. \end{array}$
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Đáp án đúng là B.
Tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình ${x^2} - 2x - 8 = 0$ là:
${x_1}^2 + {x_2}^2 = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phương trình ${x^2} - 2x - 8 = 0$ có $\Delta\' = 9 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$, và $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\\ {x_1}{x_2} = - 8 \end{array} \right.$
Suy ra ${x_1}^2 + {x_2}^2 = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2}$$=4+2.8=20$
Vậy đáp án đúng là C.
Phương trình ${x^2} - 2mx + {m^2} + 3m - 1 = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi:
Phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta \ge 0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình ${x^2} - 2mx + {m^2} + 3m - 1 = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi:
$\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4({m^2} + 3m - 1) \ge 0 \Leftrightarrow - 3m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{1}{3}$
Vậy đáp án đúng là D.
Tìm tập nghiệm của phương trình $\sqrt {2{x^2} + 5} = x + 2$.
$\sqrt {2{x^2} + 5} = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 2 \ge 0\\ 2{x^2} + 5 = {(x + 2)^2} \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\sqrt {2{x^2} + 5} = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 2 \ge 0\\ 2{x^2} + 5 = {(x + 2)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - 2\\ {x^2} - 4x + 1 = 0 \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - 2\\ \left[ \begin{array}{l} x = 2 + \sqrt 3 \\ x = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \end{array} \right.\left[ \begin{array}{l} x = 2 + \sqrt 3 \\ x = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {\rm{\{ }}2 \pm \sqrt 3 {\rm{\} }}$
Đáp án đúng là D.
Tập nghiệm của phương trình $\dfrac{{{x^2} - 5x}}{{\sqrt {x - 2} }} = - \dfrac{4}{{\sqrt {x - 2} }}$ là:
$\dfrac{{{x^2} - 5x}}{{\sqrt {x - 2} }} = - \dfrac{4}{{\sqrt {x - 2} }} \Rightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x> 2$
Khi đó $\dfrac{{{x^2} - 5x}}{{\sqrt {x - 2} }} = - \dfrac{4}{{\sqrt {x - 2} }} \Rightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1(L)\\ x = 4 \end{array} \right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {\rm{\{ }}4\} $
Đáp án đúng là B.
Tập nghiệm $S$ của phương trình $\left| {3x - 2} \right| = 3 - 2x$ là:
$\left| {3x - 2} \right| = 3 - 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n3 - 2x \ge 0\\\n{\left| {3x - 2} \right|^2} = {(3 - 2x)^2}\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}\n\left| {3x - 2} \right| = 3 - 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n3 - 2x \ge 0\\\n{\left| {3x - 2} \right|^2} = {(3 - 2x)^2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \le \frac{3}{2}\\\n9{x^2} - 12x + 4 = 4{x^2} - 12x + 9\n\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \le \dfrac{3}{2}\\\n5{x^2} = 5\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm 1\n\end{array}$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {\rm{\{ }} \pm 1\} $
Đáp án đúng là A.
Phương trình $\left| {2x - 4} \right| - 2x + 4 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
$\left| {2x - 4} \right| - 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left| {2x - 4} \right| = 2x - 4$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left| {2x - 4} \right| - 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left| {2x - 4} \right| = 2x - 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n2x - 4 \ge 0\\\n2x - 4 = 2x - 4\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 2$
Do đó phương trình có vô số nghiệm.
Vậy đáp án đúng là D.
Tập nghiệm $S$ của phương trình $\left| {x - 2} \right| = \left| {3x - 5} \right|$ là:
$\left| {x - 2} \right| = \left| {3x - 5} \right| \Leftrightarrow {\left| {x - 2} \right|^2} = {\left| {3x - 5} \right|^2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}\n\left| {x - 2} \right| = \left| {3x - 5} \right| \Leftrightarrow {\left| {x - 2} \right|^2} = {\left| {3x - 5} \right|^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 9{x^2} - 30x + 25\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - 26x + 21 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = \dfrac{3}{2}\\\nx = \dfrac{7}{4}\n\end{array} \right.\n\end{array}$
Vậy tập nghiệm $S = {\rm{\{ }}\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{4}{\rm{\} }}$
Đáp án đúng là D.
Hai đẳng thức $\left| {2x - 3} \right| = 2x - 3$ và $\left| {3x - 8} \right| = 8 - 3x$ cùng xảy ra khi và chỉ khi:
$\left| x \right| = \left[ \begin{array}{l}\nx,x \ge 0\\ - x,x \le 0\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\left| {2x - 3} \right| = 2x - 3 \Leftrightarrow 2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{3}{2}$
$[\left| {3x - 8} \right| = 8 - 3x \Leftrightarrow 3x - 8 \le 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac{8}{3}$
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow $ $\dfrac{3}{2} \le x \le \dfrac{8}{3}$
Vậy đáp án đúng là A.
Nghiệm của phương trình $\dfrac{{3x + 3}}{{{x^2} - 1}} + \dfrac{4}{{x - 1}} = 3$ là:
$\dfrac{{3x + 3}}{{{x^2} - 1}} + \dfrac{4}{{x - 1}} = 3 \Leftrightarrow 3x + 3 + 4(x + 1) = 3({x^2} - 1)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $x \ne \pm 1$
$\dfrac{{3x + 3}}{{{x^2} - 1}} + \dfrac{4}{{x - 1}} = 3 \Leftrightarrow 3x + 3 + 4(x + 1) = 3({x^2} - 1)$$ \Leftrightarrow 7x + 7 = 3{x^2} - 3 \Leftrightarrow 3{x^2} - 7x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = - 1(L)\\\nx = \dfrac{{10}}{3}(TM)\n\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{{10}}{3}$
Vậy đáp án đúng là C.
Nghiệm của phương trình $2\sqrt {{x^2} + x + 1} = 2 - 3x$ là:
$2\sqrt {{x^2} + x + 1} = 2 - 3x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2 - 3x\ge 0\\ 4({x^2} + x + 1) = {(2 - 3x)^2} \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$2\sqrt {{x^2} + x + 1} = 2 - 3x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2 - 3x \ge 0\\ 4({x^2} + x + 1) = {(2 - 3x)^2} \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le \dfrac{2}{3}\\ 5{x^2} - 16x = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le \dfrac{2}{3}\\ \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \dfrac{{16}}{5} \end{array} \right. \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow x = 0$
Vậy phương trình có nghiệm $x=0$
Đáp án đúng là A.
Nghiệm của phương trình ${x^2} - 7x + 12=0$ có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${x^2} - 7x + 12 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 7x - 12$
Do đó nghiệm của phương trình đã cho có thể coi là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = {x^2},y = 7x - 12$
Vậy đáp án đúng là D.
Cho phương trình $4{x^2} - 4x + m + 1 = 0$ vô nghiệm khi:
Phương trình bậc hai vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta (\Delta \') < 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình $4{x^2} - 4x + m + 1 = 0$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow \Delta \' < 0 \Leftrightarrow - 4m < 0 \Leftrightarrow m > 0$
Vậy với $m>0$ thì phương trình vô nghiệm
Đáp án đúng là B.
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:
- Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt :$\Delta > 0$
- Tổng hai số âm là một số âm
- Tích hai số âm là một số dương
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{array}{l}\n\Delta > 0\\\nP > 0\\\nS < 0\n\end{array} \right.$
Đáp án đúng là B.
Tập nghiệm của phương trình $\left| {x - 2} \right| = 2x - 1$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left| {x - 2} \right| = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x - 1 \ge 0\\ \left[ \begin{array}{l} x - 2 = 2x - 1\\ x - 2 = 1 - 2x \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{1}{2}\\ \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {\rm{\{ }}1\} $
Đáp án đúng là B.