Tìm $m$ để $\left( {{C_m}} \right):{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + 4mx - 2my + 2m + 3 = 0$ là phương trình đường tròn ?
Phương trình $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $a^2+b^2-c>0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$(C_m)$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0 \Leftrightarrow {\left( { - 2m} \right)^2} + {m^2} - \left( {2m + 3} \right) > 0$$\Leftrightarrow 5{m^2} - 2m - 3 > 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{5}{3} $hoặc $m> 1$.
Vậy đáp án là A.
Cho ba điểm $A\left( {1;4} \right),\,\,B\left( {3;2} \right),\,\,C\left( {5;4} \right)$. Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là:
Gọi phương trình tổng quát của đường tròn; thay tọa độ 3 điểm A; B; C vào phương trình tìm hệ số a; b; c trong phương trình tổng quát
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\begin{array}{l} AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 8 \\ AC = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {16} \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\\ BC = \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 8 \end{array}$
Do đó tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Từ đó suy ra, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm của đoạn $AC$, điểm này có tọa độ $\left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{{1 + 5}}{2} = 3\\ y = \dfrac{{4 + 4}}{2} = 4 \end{array} \right.$
Vậy đáp án là D.
Trong mặt phẳng toạ độ cho ba điểm $A( - 2;0),B(8;0),C(0;4)$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Đường tròn $(C)$ có tâm $I$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ khi $IA=IB=IC$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $I(x;y)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} IA = IB\\ IA = IC \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = {\left( {x - 8} \right)^2} + {y^2}\\ {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 20x = 60\\ 4x + 8y = 12 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 0 \end{array} \right. \Rightarrow I(3;0) \Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( { - 5;0} \right) \Rightarrow R = IA = 5$
Vậy đáp án là D.
.
Với những giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $\Delta :3x + 4y + 3 = 0$ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right):{(x - m)^2} + {y^2} = 9$.
Đường thẳng $d$ tiếp xúc với đường tròn $(C)$ thì khoảng cách từ tâm đường tròn đến $d$ bằng bán kính.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(C)$ có tâm $I\left( {m;0} \right)$ và bán kính $R=3$ nên theo đề bài ta được: $d\left( {I;\Delta } \right) = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3m + 4.0 + 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {3m + 3} \right| = 15 \Leftrightarrow m = 4 $hoặc $m=-6$
Vậy đáp án là B.
Cho đường tròn $(C):\;{x^2} + {y^2} + 2x - 6y + 5 = 0$. Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $d:x + 2y - 15 = 0$ là:
$\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi $d\left( {I,\Delta } \right) = R$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$(C)$ có tâm $I(-1;3)$ và bán kính $R = \sqrt {1 + 9 - 5} = \sqrt 5$.
Tiếp tuyến song song với $d$ nên có phương trình $\Delta :x + 2y + m = 0$
$\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi $d\left( {I,\;\Delta} \right) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 1 + 6 + m} \right|}}{{\sqrt {1 + 4} }} = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {m +5} \right| = 5$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m + 5 = - 5\\ m + 5 = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = -10 \Rightarrow \Delta:x + 2y -10= 0\\ m = 0 \Rightarrow \Delta:x + 2y = 0 \end{array} \right.$
Vậy đáp án là A.
.
Cho đường tròn $(C):\;{x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 5 = 0$ và đường thẳng $d:\;2x + (m - 2)y - m - 7 = 0$. Với giá trị nào của $m$ thì $d$ là tiếp tuyến của $(C)$?
$\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi : $d\left( {I,\Delta } \right) = R$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$(C) $ có tâm $I(3;-1)$ và bán kính $R=\sqrt5$.
Ta có $d$ là tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi $d\left( {I,\;d} \right) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {6 - m + 2 - m - 7} \right|}}{{\sqrt {4 + {{(m - 2)}^2}} }} = \sqrt 5 \Leftrightarrow {m^2} - 16m + 39 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm = 3\\\nm = 13\n\end{array} \right..$
Vậy đáp án là D.
Đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2}-2x - 2y + 1 = 0$ cắt đường thẳng $d:x + y - 2 = 0$ theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?
Tính khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;1)$ bán kính $R=1$.
Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng $d:x + y - 2 = 0$ là $d\left( {I,d} \right) = \dfrac{|1.1+1.1-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=0$ nên dây cung đi qua tâm có độ dài bằng đường kính là bằng $2R=2$.
Vậy đáp án là B.
Đường thẳng $d:\;x\cos \alpha + y\sin \alpha + 2\sin \alpha - 3\cos\alpha + 4 = 0$ luôn tiếp xúc với đường tròn nào sau đây?
Đường thẳng $d$ tiếp xúc với đường tròn $(C)$ thì khoảng cách từ tâm đường tròn đến $d$ bằng bán kính.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_o};\;{y_o}} \right)$ đến $d$ là:$d = \dfrac{{\left| {\left( {{x_o} - 3} \right)c{\rm{os}}\alpha + \left( {{y_o} + 2} \right)\sin \alpha + 4} \right|}}{{{{\sin }^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} = \left| {\left( {{x_o} - 3} \right)c{\rm{os}}\alpha + \left( {{y_o} + 2} \right)\sin \alpha + 4} \right|$
Chọn ${x_o} = 3,\;{y_o} = - 2$ thì $d=4$ : không phụ thuộc vào $\alpha$.
Suy ra $d$ luôn tiếp xúc với đường tròn tâm $I(3;-2)$ và bán kính $R=4$.
Vậy đáp án là A.
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-1;3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:\;3x - 4y + 5 = 0$ tại điểm $H$ có tọa độ là:
$IH \bot d$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $IH \bot d \Rightarrow IH:4x + 3y + c = 0$. Đường thẳng $IH$ qua $I(-1;3)$ nên $4( - 1) + 3.3 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 5$. Do đó $IH:4x + 3y - 5 = 0$ .
Tọa độ điểm $H$ thỏa mãn hệ: $\left\{ \begin{array}{l}\n4x + 3y - 5 = 0\\\n3x - 4y + 5 = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = \dfrac{1}{5}\\\ny = \dfrac{7}{5}\n\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\dfrac{1}{5};\;\dfrac{7}{5}} \right)$.
Vậy đáp án là B.
Cho hai điểm $A(3;0), B(0;4)$. Đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ có phương trình là:
Đường tròn tâm $I$nội tiếp tam giác $OAB$ thì ta có $\left\{ \begin{array}{l}\nd\left( {I,OA} \right) = d\left( {I,OB} \right)\\\nd\left( {I,OA} \right) = d\left( {I,BA} \right)\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình đường thẳng $AB: \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y - 12 = 0$.
Gọi $I(x;y)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$.
Nhận xét: $x>0;y>0$, .
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\nd\left( {I,OA} \right) = d\left( {I,OB} \right)\\\nd\left( {I,OA} \right) = d\left( {I,BA} \right)\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\left| x \right| = \left| y \right|\\\n\left| x \right| = \dfrac{{\left| {3x + 4y - 12} \right|}}{5}\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = y\\\nx = \dfrac{{\left| {7x - 12} \right|}}{5}\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 1\\\ny = 1\n\end{array} \right.$
Bán kính $R = d\left( {I,OA} \right) = 1$.
Vậy phương trình đường tròn là: ${x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0$.
Vậy đáp án là C.