Tâm của đường tròn $(C)$ có phương trình ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 12$ là:
Phương trình tổng quát của đường tròn: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ với $I(a;b)$ là tâm của đường tròn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ phương trình tổng quát của $\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 12$ ta suy ra tâm của đường tròn là $I(3,-4)$.
Vậy đáp án là C.
Tâm của đường tròn $(C)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 4 = 0$ là:
Phương trình tổng quát của đường tròn: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ với $I(a;b)$ là tâm của đường tròn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ phương trình tổng quát của $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 4 = 0 \Leftrightarrow \left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2+(y-2)^2=\dfrac{25}{4}$
Ta suy ra tâm của đường tròn là $I$$\left( { - \dfrac{5}{2};\,\,2} \right)$.
Vậy đáp án là C.
Bán kính của đường tròn $(C)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 4 = 0$ là:
Phương trình tổng quát của đường tròn: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $I(a;b)$ là tâm của đường tròn và bán kính được tính bằng công thức $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} $.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ phương trình tổng quát của đường tròn ${x^2} + {y^2} + 5x - 4y + 4 = 0$ ta suy ra bán kính của $(C)$ là $R = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{5}{2}} \right)}^2} + {2^2} - 4} = \dfrac{5}{2}$.
Vậy đáp án là D.
Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn có phương trình ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25$ .
Phương trình tổng quát của đường tròn: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ với $I(a;b)$ là tâm của đường tròn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình đường tròn có dạng: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25$.
Do đó : $\left\{ \begin{array}{l} - a = - 2\\ - b = 3\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = 2\\\nb = - 3\n\end{array} \right.$ suy ra tâm $I\left( {2; - 3} \right)$ và ${R^2} = 25 \Rightarrow R = 5$.
Vậy đáp án là A.
Cho đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0$. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Phương trình tổng quát của đường tròn: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $I(a;b)$ là tâm của đường tròn và bán kính được tính bằng công thức $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} $.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ phương trình tổng quát của đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0$ ta suy ra $a=-1, b=-2$.
Do đó tâm của đường tròn là $I(-1;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{1+4+20}=5$ .
Thay tọa độ $M(2;2)$ vào phương trình đường tròn: $4+4+4+8-20=0$ ( thỏa mãn).
Thay tọa độ $A(1;1)$ vào phương trình đường tròn: $1+1+2+4-20=-12$ ( không thỏa mãn).
Vậy đáp án là A.
Phương trình nào là phương trình của đường tròn có tâm $I\left( { - 3;4} \right)$ và bán kính $R = 2$?
Phương trình tổng quát của đường tròn: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ với $I(a;b)$ là tâm của đường tròn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình của đường tròn có tâm $I\left( { - 3;4} \right)$ và bán kính $R = 2$ có dạng ${\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4 $.
Vậy đáp án là A.
Đường tròn tâm $I(1;4)$ và đi qua điểm $B(2;6)$ có phương trình là:
Đường tròn có tâm $I$ và đi qua điểm $A$ thì có bán kính là $IA$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn có tâm $I(1;4)$ và đi qua điểm $B(2;6)$ thì có bán kính là
$R = IB = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 5 $
Khi đó có phương trình là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5$.
Vậy đáp án là D.
Đường tròn tâm $I(-1;2)$ và đi qua điểm $M(2,1)$ có phương trình là:
Đường tròn có tâm $I$ và đi qua điểm $A$ thì có bán kính là $IA$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn có $I(-1;2)$ và đi qua điểm $M(2,1)$ thì có bán kính là: $R = IM = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} $
Khi đó có phương trình là: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 5 = 0$.
Vậy đáp án là A.
Cho hai điểm $A(5; - 1)$, $B( - 3;7)$. Đường tròn có đường kính $AB$ có phương trình là:
Đường tròn có đường kính $AB$ nhận trung điểm của $AB$ làm tâm và bán kính $R=\dfrac{1}{2}AB$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tâm $I$ của đường tròn là trung điểm của $AB$ nên $I(1;3)$.
Bán kính $R = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 3 - 5} \right)}^2} + {{\left( {7 + 1} \right)}^2}} = 4\sqrt 2 $
Do đó phương trình đường tròn là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 32 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 6y - 22 = 0$
Vậy đáp án là C.
Cho hai điểm $A(1;1), B(7;5)$. Phương trình đường tròn đường kính $AB$ là:
Đường tròn có đường kính $AB$ nhận trung điểm của $AB$ làm tâm và bán kính $R=\dfrac{1}{2}AB$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ suy ra $I(4;3)$.
Ta có $AI = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {13} $.
Đường tròn cần tìm có đường kính $AB$ nên nó nhận $I$ làm tâm và bán kính $R=AI$ có dạng:${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 12 = 0$.
Vậy đáp án là C.
Cho đường tròn $(C):\;{(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} = 10$. Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $A(4;4)$ là:
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ có tâm $I(a;b)$ tại điểm $M(x_0;y_0)$ là $(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$(C)$ có tâm $I\left( {3;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {1;3} \right)$ là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến.
Suy ra phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $A(4;4)$ là $1\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 16 = 0$
Vậy đáp án là D.
Cho đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 3x - y = 0$. Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M(1;-1)$ là:
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ có tâm $I(a;b)$ tại điểm $M(x_0;y_0)$ là $(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$(C)$ có tâm $I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( { - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right) = - \dfrac{1}{2}\left( {1;3} \right)$ là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến.
Suy ra phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M(1;-1)$ là $1\left( {x -1} \right) + 3\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + 2 = 0$
Vậy đáp án là D.
Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm $A( - 1;1),\,\,B(3;1),\,\,C(1;3)$.
Đường tròn đi qua 3 điểm thì tọa độ 3 điểm đó phải thỏa mãn phương trình đường tròn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi phương trình đường tròn có dạng $(C):{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0$ trong đó ${a^2} + {b^2} - c > 0$.
Vì $(C)$ đi qua 3 điểm $A( - 1;1),\,\,B(3;1),\,\,C(1;3)$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n1 + 1 - 2a + 2b + c = 0\\\n9 + 1 + 6a + 2b + c = 0\\\n1 + 9 + 2a + 6b + c = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 2b + c = - 2\\\n6a + 2b + c = - 10\\\n2a + 6b + c = - 10\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = - 1\\\nb = - 1\\\nc = - 2\n\end{array} \right.$
.
Do đó phương trình đường tròn là $(C): {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0$.
Vậy đáp án là A.
Đường tròn đi qua 3 điểm $A\left( {0;2} \right),{\rm{ }}B\left( {2;2} \right),{\rm{ }}C(1;1 + \sqrt 2 )$ có phương trình là:
Đường tròn đi qua 3 điểm thì tọa độ 3 điểm đó phải thỏa mãn phương trình đường tròn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)$.
Đường tròn đi qua 3 điểm $A\left( {0;2} \right),{\rm{ }}B\left( {2;2} \right),{\rm{ }}C(1;1 + \sqrt 2 )$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\n4 - 4b + c = 0\\\n8 - 4a - 4b + c = 0\\\n4 + 2\sqrt 2 - 2a - 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)b + c = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = 1\\\nb = 1\\\nc = 0\n\end{array} \right.$
Do đó phương trình đường tròn đi qua 3 điểm $A, B, C$ là ${x^2} + {y^2} - 2x - 2y = 0$.
Vậy đáp án là B.
Đường tròn $(C)$ tâm $I(4;3)$ và tiếp xúc với đườngthẳng $\Delta :3x - 4y + 5 = 0$ có phương trình là:
Đường tròn có tâm $I$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ thì có bán kính là $R=d(I;\Delta)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$(C)$ có bán kính $R = d\left( {I,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {3.4 - 4.3 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1$
Do đó, $(C)$ có phương trình ${(x - 4)^2} + {(y - 3)^2} = 1$.
Đường tròn có tâm $O$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:x + y - 4\sqrt 2 = 0$ . Hỏi bán kính của đường tròn bằng bao nhiêu?
Đường tròn có tâm $I$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ thì có bán kính là $R=d(I;\Delta)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn có tâm $O(0;0)$ tiếp xúc với đường thẳng $d:x + y - 4\sqrt 2 = 0$thì có bán kính là: $R=d(O,d) = \dfrac{{|4\sqrt 2 |}}{{\sqrt 2 }} = 4$.
Vậy đáp án là A.
Tìm giao điểm $M$ đường tròn $({C_1}):{x^2} + {y^2} - 4 = 0$ và $(C_2): {x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 4 = 0$.
Tọa độ giao điểm của 2 đường tròn phải thỏa mãn hệ phương trình phương tròn đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} + {y^2} - 4 = 0\\\n{x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 4 = 0\n\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n4x + 4y - 8 = 0\\\n{x^2} + {y^2} = 4\n\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\ny = 2 - x\\\n{x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0 \Rightarrow y = 2\\\nx = 2 \Rightarrow y = 0\n\end{array} \right.\n\end{array} \right.$
Do đó giao điểm của $(C_1); (C_2)$ là $\left( {2;0} \right);\left( {0;2} \right)$.
Vậy đáp án là C.
Cho điểm $M(0;4)$ và đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 21 = 0$. Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
Đường tròn $(C)$ có tâm $I$ và bán kính $R$:
+ $M$ nằm trong đường tròn $(C)$ khi $IM < R$.
+ $M$ nằm ngoài đường tròn $(C)$ khi $IM > R$.
+ $M$ nằm trên đường tròn $(C)$ khi $IM = R$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(4;3)$, bán kinh $R = \sqrt {{4^2} + {3^2} - 21} = 2$.
Ta có: $IM = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {17} > R$. Do đó, $M$ nằm ngoài đường tròn $(C)$.
Vậy đáp án là A.
Đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm $A(1;3), B(3;1)$và có tâm nằm trên đường thẳng $d:\;2x - y + 7 = 0$ có phương trình là:
Đường tròn có tâm $I$ đi qua hai điểm $A, B$ thì $IA=IB$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $I(a;b)$là tâm của đường tròn $(C)$, do đó: $A{I^2} = B{I^2} \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}$
hay $a = b\;\;(1)$. Mà $I\left( {a;\,b} \right) \in d:2x - y + 7 = 0{\text{ nên }} 2a - b + 7 = 0\;\;(2)$.
Thay (1) vào (2) ta có: $a = - 7 \Rightarrow b = - 7 \Rightarrow {R^2} = A{I^2} = 164$.
Vậy $\left( C \right):{\left( {x + 7} \right)^2} + {\left( {y + 7} \right)^2} = 164$.
Vậy đáp án là B.
Cho đường tròn $(C):\;{(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} = 9$ . Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ đi qua điểm $A(-5;1)$ là:
$\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi : $d\left( {I,\Delta } \right) = R$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(2;2)$ và bán kính $R=3$ .
Ta có $\overrightarrow n = \left( {A;B} \right)$ là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến nên $\Delta:\;A\left( {x - 5} \right) + B\left( {y + 1} \right) = 0$.
$\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi : $d\left( {I,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {A\left( {2 - 5} \right) + B\left( {2 + 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 3 \Leftrightarrow A.B = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nA = 0{\text{ chọn }}B = 1 \Rightarrow y = - 1\\\nB = 0{\text{ chọn }}A = 1 \Rightarrow x = 5\n\end{array} \right.$
Do đó phương trình tiếp tuyến của $(C)$ đi qua điểm $A(-5;1)$ là: $x = 5$ hoặc $y=-1$.
Vậy đáp án là B.
.