Đường thẳng đi qua 2 điểm $A(1;2),B(2;1)$ có phương trình là:
Một điểm thuộc đường thẳng nếu tọa độ của nó thỏa mãn phương trình đường thẳng đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: $y=ax+b$.
Vì điểm $A(1;2)$ thuộc đường thẳng nên: $2=a+b$(1)
Vì điểm $B(2;1)$ thuộc đường thẳng nên: $1=2a+b$(2)
Từ (1),(2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\na + b = 2\\\n2a + b = 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = - 1\\\nb = 3\n\end{array} \right.$
Suy ra phương trình đường thẳng là: $y=-x+3$
Đáp án đúng là C.
Hàm số $y = \left| {2x - 4} \right|$ có bảng biến thiên là:
$\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} - x,x < 0\\\nx,x \ge 0\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét hàm số: $y = \left| {2x - 4} \right| = \left\{ \begin{array}{l}\n2x - 4,x \ge 2\\\n4 - 2x,x < 2\n\end{array} \right.$
Khi đó:
Với $x \ge 2$ hàm số có hệ số góc $a>0$ nên đồng biến trên khoảng $(2; + \infty )$
Với $x<2$ hàm số có hệ số góc $a<0$ nên nghịch biến trên khoảng $( - \infty ;2)$
Suy ra bảng biến thiên của hàm số $y = \left| {2x - 4} \right|$ là:
Đáp án đúng là A.
Hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào?
Giả sử hàm có dạng $y = a\left| x \right| + b$
Dựa vào các điểm thuộc đồ thị để tìm hệ số $a,b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử hàm số cần tìm có dạng $y = a\left| x \right| + b(a \ne 0)$
Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm $(0;1),(1;0)(-1;0)$ nên ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} 1 = b\\ 0 = a + b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = 1 \end{array} \right.$
Suy ra phương trình đường thẳng đó là: $y =1- \left| x \right|$
Đáp án đúng là D.
Cho hàm số bậc nhất $y = f(x)$ biết rằng $f(1)=-2,f(2)=-3$. Hàm số đó là:
Giả sử hàm số bặc nhất cần tìm là: $y =f(x)= ax + b(a \ne 0)$
Từ $f(1)=-2,f(2)=-3$ suy ra hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn $a,b$. Giải tìm được $a,b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử hàm số bặc nhất cần tìm là: $y =f(x)= ax + b(a \ne 0)$
Ta có: $f(1)=-2,f(2)=-3$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}-2 = a + b\\ - 3 = 2a + b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = -1\\ b = -1 \end{array} \right.$
Vậy hàm số vần tìm là: $y = - x - 1$
Đáp án đúng là B.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(5;2),B(-3;2)$ là?
Giả sử phương trình đường thẳng có dạng $y = ax + b(a \ne 0)$
Thay tọa độ 2 điểm vào phương trình ta được hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn $a,b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử phương trình đường thẳng có dạng $y = ax + b(a \ne 0)$
Đường thẳng đi qua 2 điểm $A(5;2),B(-3;2)$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\n2 = 5a + b\\\n2 = - 3a + b\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = 0\\\nb = 2\n\end{array} \right.$
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $y=2$
Đáp án đúng là D.
Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(1;-1)$ và song song với trục $Ox$ là:
Đường thẳng song song với trục $Ox$: $y = b(b \ne 0)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng song song với trục $Ox$ có dạng: $y = b(b \ne 0)$
Đường thẳng đi qua điểm $A(1;-1)$ nên phương trình đường thẳng cần tìm là: $y=-1$
Đáp án đúng là C.
Với giá trị nào của $a,b$ thì đồ thị hàm số $y=ax+b$ đi qua 2 điểm $A(2;3)$ và $B(-4;1)$?
Một điểm thuộc đường thẳng nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình đường thẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\begin{array}{l}\nA \in (d) \Rightarrow 3 = 2a + b(1)\\\nB \in (d) \Rightarrow 1 = - 4a + b(2)\n\end{array}$
Từ (1)(2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\n2a + b = 3\\ - 4a + b = 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = \dfrac{1}{3}\\\nb = \dfrac{7}{3}\n\end{array} \right.$
Đáp án đúng là C.
Không vẽ đồ thị hãy cho biết những cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?
C1: Hai đường thẳng song song nếu hệ số góc $a$ bằng nhau và hệ số $b$ khác nhau
C2: Hai đường thẳng song song nếu phương trình hoành độ giao điểm của chúng vô nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét các đáp án
Đáp án A sai vì: Ta thấy $2 \ne - 1$ nên suy ra 2 đường thẳng cắt nhau
Đáp án B đúng vì: Ta thấy $\sqrt 2 = \sqrt 2 ,3 \ne 0$ nên suy ra 2 đường thẳng song song
Đáp án C sai vì: $2y + 1 = \dfrac{5}{2}x \Leftrightarrow y = \dfrac{5}{4}x - \dfrac{1}{2}$ nên suy ra 2 đường thẳng trùng nhau
Đáp án D sai vì: Ta thấy $ - 1 \ne 1$ nên suy ra 2 đường thẳng cắt nhau
Đáp án là B.
Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y = ({m^2} + 1)x - 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$?
hàm số $y=ax+b(a \ne 0)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nếu $a>0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để hàm số $y = ({m^2} + 1)x - 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì ${m^2} + 1 > 0$
Ta thấy ${m^2} + 1 > 0,\forall m \in \mathbb{R}$
Đáp án đúng là C.
Cho hàm số $y=2x+m+1$, tìm giá trị thực của $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $3$?
Các điểm nằm trên trục hoành thì tung độ bằng $0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $3$ suy ra điểm $A(3;0)$ thuộc đồ thị hàm số.
$ \Rightarrow 0 = 2.3 + m + 1 \Leftrightarrow m = - 7$
Đáp án đúng là D.
Cho hàm số $y=2x+m+1$, tìm giá trị thực của $m$ để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-2$?
Các điểm nằm trên trục tung thì hoành độ bằng $0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-2$ suy ra điểm $B(0;-2)$ thuộc đồ thị hàm số.
$ \Rightarrow -2 = 2.0 + m + 1 \Leftrightarrow m = - 3$
Đáp án đúng là A.
Tìm giá trị thực của $m$ để hai đường thẳng $d:y = mx - 3,\Delta :y + x = m$ cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.
Bước 1: Cho f1= f2( phương trình hoành độ điểm chung)
Bước 2 : Cho x = 0 tìm m
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $A(0;a)$ là giao điểm của 2 đường thẳng nằm trên trục tung
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A \in d\\ A \in \Delta \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0.m - 3\\ a + 0 = m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 3\\ m = - 3 \end{array} \right.$
Đáp án đúng là C.
Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hai đường thẳng $d:y = mx - 3,\Delta :y + x = m$ cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành?
$B(b;0) = d \cap \Delta \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \in d\\ B \in \Delta \end{array} \right..$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $B(b;0)$ là giao điểm của 2 đường thẳng nằm trên trục hoành
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \in d\\ B \in \Delta \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0= m.b - 3\\ 0+b = m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {b^2}= 3\\ b = m \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = m = \sqrt 3 \\ b = m = - \sqrt 3 \end{array} \right.$
Đáp án đúng là C.
Các đường thẳng $y = - 5(x + 1),y = ax + 3,y = 3x + a$ đồng quy với giá trị của $a$ là:
B1:Tìm giao điểm của 2 đường thẳng $y=3x+a,y=ax+3$ theo $a$
B2: Thay tọa độ giao điểm vào đường thẳng $y=-5(x+1)$ tìm $a$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hai đường thẳng $y=3x+a,y=ax+3$ có phương trình hoành độ giao điểm là:
$3x + a = ax + 3 \Leftrightarrow x(3 - a) = 3 - a \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 3 + a$
Tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là $M(1;3+a)$
Vì 3 đường thẳng đồng quy nên $M(1;3+a)$ thuộc đường thẳng $y=-5(x+1)$
Suy ra $3+a=-5(1+1)$$\Leftrightarrow a = - 13$
Đáp án đúng là B.
Tìm giá trị của tham số $m$ để các hàm số sau đây là hàm số bậc nhất:
$y = \sqrt {4 - m} (x - 17)$, $y = \dfrac{{m - 1}}{{{m^2} + 9}}x - 2016$
Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng $y = ax + b(a \ne 0)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để hàm số $y = \sqrt {4 - m} (x - 17)$ là hàm số bậc nhất thì $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {4 - m} \ne 0\\ 4 - m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < 4$(1)
Để hàm số $y = \dfrac{{m - 1}}{{{m^2} + 9}}x - 2016$ là hàm số bậc nhất thì $\dfrac{{m - 1}}{{{m^2} + 9}} \ne 0 \Leftrightarrow m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$(2)
Từ(1)(2) thì $m \in ( - \infty ;4)\backslash {\rm{\{ }}1\} $
Đáp án đúng là D.
Cho hàm số $y = \left| { - x - 3} \right| + \left| {2x + 1} \right| + \left| {x + 1} \right|$. Điểm nào trong các điểm sau thuộc đồ thị hàm số?
Một điểm thuộc đồ thị hàm số nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn hàm số đã cho.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A sai vì: Ta có $\left| { - ( - 1) - 3} \right| + \left| {2( - 1) + 1} \right| + \left| {( - 1) + 1} \right| = 3\ne 2$
Đáp án B sai vì: Ta có $\left| { - 1 - 3} \right| + \left| {2.1 + 1} \right| + \left| {1 + 1} \right| = 9 \ne 1$
Đáp án C sai vì: Ta có $\left| { - ( - 3) - 3} \right| + \left| {2.( - 3) + 1} \right| + \left| {( - 3) + 1} \right| = 7 \ne 4$
Đáp án D đúng vì: Ta có $\left| { - ( - 2) - 3} \right| + \left| {2.( - 2) + 1} \right| + \left| {( - 2) + 1} \right| = 5$
Đáp án đúng là D.
Viết phương trình đường thẳng $(d)$ song song với đường thẳng $y=2x+1$ và đi qua điểm $A(-1;1)$.
Hai đường thẳng song song nếu hệ số góc của chúng bằng nhau.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử phương trình $(d):y=ax+b$
Ta có $(d)$ song song với đường thẳng $y=2x+1$ nên có hệ số góc $a=2$$ \Rightarrow (d):y = 2x + b$
Mặt khác $(d)$ đi qua điểm $A(-1;1)$ nên ta có: $1 = 2.( - 1) + b \Rightarrow b = 3$
Suy ra $(d):y = 2x + 3$
Đáp án đúng là A.
Cho hàm số $y=-x+5$. Khẳng định nào sau đây SAI?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A đúng vì: Hàm số $y=-x+5$ có $a=-1<0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
Đáp án B đúng vì: cho $y = 0 \Rightarrow x = 5$ suy ra đồ thị hàm số cắt trục hoành tạo điểm $A(5;0)$
Đáp án C đúng vì: cho $x = 0 \Rightarrow y = 5$ suy ra đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $B(0;5)$
Đáp án D sai vì: cho $x = 0 \Rightarrow y = 5 \ne 0$ suy ra đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ
Đáp án là D.
Xác định hàm số $y=ax+b$ biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm $M(-2;3),N(1;2)$?
Một điểm thuộc đồ thị hàm số nếu tọa độ của nó thỏa mãn phương trình đường thẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điểm $M(-2;3)$ thuộc đồ thị hàm số nên $3=-2a+b$(1)
Điểm $N(1;2)$ thuộc đồ thị hàm số nên $2=a+b$(2)
Từ (1)(2) ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 3\\\na + b = 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = - \dfrac{1}{3}\\\nb = \dfrac{7}{3}\n\end{array} \right.$
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $y = - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}$
Đáp án đúng là C.
Tìm $m$ để 3 đường thẳng ${d_1}:y = x + 1,{d_2}:y = 3x - 1,{d_3}:y = 2mx - 4m$ đồng quy?
3 đường thẳng đồng quy là cùng đi qua điểm.
Tìm giao điểm của 2 đường thẳng ${d_1},{d_2}$, thay vào ${d_3}$ tìm được $m$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình hoành độ giao điểm của ${d_1},{d_2}$ là: $x + 1 = 3x - 1 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 2$
Vậy ${d_1}$ cắt ${d_2}$ tại $I(1;2)$
Để ${d_1},{d_2},{d_3}$ đồng quy thì $I(1;2) \in {d_3}$
$ \Rightarrow 2 = 2m.1 - 4m \Leftrightarrow m = - 1$
Đáp án đúng là A.