Cho các góc $\alpha $, $\beta $ thỏa mãn $\frac{\pi }{2} < \alpha ,\beta < \pi , \sin \alpha = \frac{1}{3}], \cos \beta = - \frac{2}{3}$. Tính $\sin \left( {\alpha + \beta } \right)$.
Tính $\cos \alpha ,\,\sin \beta \sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha .\cos \beta + \cos \alpha .\sin \beta = \frac{1}{3}.\left( { - \frac{2}{3}} \right) + \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 5 }}{3} = - \;\frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A.
Do $\frac{\pi }{2} < \alpha , \beta < \pi \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}\n \cos \alpha < 0 \hfill \\\n \sin \beta > 0 \hfill \\ \n\end{gathered} \right.$
Vậy $\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = - \;\frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}.$
Rút gọn biểu thức $S = \sin \left( {x + \frac{{2017\pi }}{2}} \right) + 2{\sin ^2}\left( {x - \pi } \right) + \cos \left( {x + 2019\pi } \right) + \cos 2x$ ta được:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn B.
$S = \sin \left( {x + \frac{{2017\pi }}{2}} \right) + 2{\sin ^2}\left( {x - \pi } \right) + \cos \left( {x + 2019\pi } \right) + \cos 2x$\[ = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) + 2{\sin ^2}x - \cos x + \cos 2x\]\[ = \cos x + 1 - \cos 2x - \cos x + \cos 2x = 1\].
Chia cả tử và mẫu cho ${\cos ^3}\alpha $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn B.
$= \frac{{\tan \alpha \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)}}{{{{\tan }^3}\alpha + 2}} = \frac{{2\left( {1 + {2^2}} \right)}}{{{2^3} + 2}} = 1.$
Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A.
Ta có: \[{x_1},{x_2} \in \left[ {90^\circ ;180^\circ } \right):{x_1} < {x_2} \Rightarrow \sin {x_1} > \sin {x_2},\cos {x_1} > \cos {x_2}\].
Nên: \[\cos 90^\circ 30' > \cos 100^\circ \].
Chú ý $\tan \alpha .\cot \alpha = 1.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn B. ${\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha = {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^3} - 3\tan \alpha .\cot \alpha \left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right) = {m^3} - 3m$.
Cho $\Delta ABC$ có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c thỏa mãn hệ thức $\frac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \frac{{2a + c}}{{2a - c}}$ là tam giác
Sử dụng định lí hàm số sin.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A.
Gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
$\frac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \frac{{2a + c}}{{2a - c}}$$ \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \frac{{2.2R\sin A + 2R\sin C}}{{2.2R\sin A - 2R\sin C}}$$ \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \frac{{2\sin A + \sin C}}{{2\sin A - \sin C}}$$ \Leftrightarrow 2\sin A + 2\sin A\cos B - \sin C - \sin C\cos B = 2\sin A - 2\sin A\cos B + \sin C - \sin C\cos B$ $ \Leftrightarrow 4\sin A\cos B = 2\sin C$
$ \Leftrightarrow 4.\frac{a}{{2R}}.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = 2.\frac{c}{{2R}}$
$\Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} = {c^2} \Leftrightarrow a = b.$
Vậy $\Delta ABC$ cân tại $C$.
Giá trị $k$ để cung $\alpha = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ thỏa mãn $10\pi < \alpha < 11\pi $ là
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn D.
$10\pi < \alpha < 11\pi \Leftrightarrow 10\pi < \frac{\pi }{2} + k.2\pi < 11\pi \Leftrightarrow \frac{{19\pi }}{2} < k2\pi < \frac{{21\pi }}{2} \Leftrightarrow \frac{{19}}{4} < k < \frac{{21}}{4} \Leftrightarrow k = 5$.
Cho hình vuông ABCD có tâm O và một trục $\left( l \right)$ đi qua O. Xác định số đo của các góc giữa tia OA với trục$\left( l \right)$, biết trục $\left( l \right)$ đi qua đỉnh A của hình vuông.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn D.
Vì trục $\left( l \right)$ đi qua đỉnh A và tâm O của hình vuông nên trục $\left( l \right) \equiv OA$ nên số đo của các góc giữa tia OA với trục $\left( l \right)$ bằng ${0^{\text{o}}} + {\text{ }}k{360^{\text{o}}} = k{360^{\text{o}}}$.
Cung $\alpha$ có mút đầu là A và mút cuối là M thì số đo của $\alpha$ là
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn D.
Cung $\alpha$ có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều dương có số đo là \[\frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \] nên loại A,C.
Cung $\alpha$ có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều âm có số đo là \[ - \frac{{3\pi }}{4}\] và chỉ có duy nhất một điểm M trên đường tròn lượng giác nên loại B.
Cho hình vuông ABCD có tâm O và trục $\left( i \right)$ đi qua O. Xác định số đo góc giữa tia OA với trục $\left( i \right)$, biết trục $\left( i \right)$ đi qua trung điểm I của cạnh AB.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn A
$\widehat {AOB} = {90^{\text{o}}}$ và $OA = OB$
Tam giác $AOB$ vuôg cân tại $O
$\le
$ \Rightarrow \left( i \right)$ là đường phân giác của góc $\widehat {AOB}$ nên $\left( {\widehat {\overrightarrow {OA} ,\left( i \right)}} \right) = {45^{\text{o}}}$.