Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình $2x > 1$?
Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $2x > 1 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}$.
Xét bất phương trình $2x + \sqrt {x + 2} > 1 + \sqrt {x + 2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx + 2 \ge 0\\\n2x > 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge - 2\\\nx > \dfrac{1}{2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}.$
Vậy bất phương trình $2x > 1$ $ \Leftrightarrow 2x + \sqrt {x + 2} > 1 + \sqrt {x + 2} $.
Chọn D.
Giải bất phương trình sau: $\sqrt {x - 4} + 2 \le 0$
Tìm điều kiện xác định sau đó giải bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\sqrt {x - 4} + 2 \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx - 4 \ge 0\\\n\sqrt {x - 4} \le - 2\n\end{array} \right.$ (vô nghiệm).
Chọn D.
Bất phương trình: $2x + \dfrac{3}{{2x - 4}} < 5 + \dfrac{3}{{2x - 4}}$ tương đương với?
Tìm điều kiện xác định của bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $2x + \dfrac{3}{{2x - 4}} < 5 + \dfrac{3}{{2x - 4}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n2x < 5\\\nx \ne 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx < \dfrac{5}{2}\\\nx \ne 2\n\end{array} \right.$.
Chọn B.
Bất phương trình $(3m-1)x+2m \le (3m+2)x+5$ có tập hợp nghiệm là tập con của $[2;+\infty)$ khi và chỉ khi:
Giải bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(3m-1)x+2m \le (3m+2)x+5$ $\Leftrightarrow 3x \ge 2m-5 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2m-5}{3}$.
Để tập nghiệm là tập con của $[2;+\infty)$ thì $\dfrac{2m-5}{3} \ge 2 \Leftrightarrow 2m \ge 11 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{11}{2}$.
Chọn B.
Nghiệm của bất phương trình ${\left( {x + \sqrt 3 } \right)^2} \ge {\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + 2$ là?
Giải bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${\left( {x + \sqrt 3 } \right)^2} \ge {\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2\sqrt 3 x + 3 \ge {x^2} - 2\sqrt 3 x + 3 + 2 \Leftrightarrow 4\sqrt 3 x \ge 2 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}.$
Chọn A.
Nghiệm của bất phương trình $\dfrac{{5x + 2\sqrt {3 - x} }}{4} - 1 > \dfrac{x}{4} - \dfrac{{4 - 3\sqrt {3 - x} }}{6}$ là?
Tìm điều kiện xác định của bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{{5x + 2\sqrt {3 - x} }}{4} - 1 > \dfrac{x}{4} - \dfrac{{4 - 3\sqrt {3 - x} }}{6} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n3 - x \ge 0\\\n15x +6\sqrt{3-x}-12 > 3x-8+6\sqrt{3-x}\n\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n3 - x \ge 0\\\n12x > 4\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \le 3\\\nx > \dfrac{1}{3}\n\end{array} \right.$.
Chọn B.
Nghiệm của bất phương trình $\sqrt {{x^2} + 2x + 2} > \sqrt {{x^2} - 2x + 3} $ là?
Tìm điều kiện xác định của bất phương trình & giải bất phương trình
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\sqrt {{x^2} + 2x + 2} > \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2x + 3 \ge 0\\ {x^2} + 2x + 2 > {x^2} - 2x + 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow 4x > 1 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{4}$
Chọn A.
Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}mx + 2m > 0\\\dfrac{{2x + 3}}{5} > 1 - \dfrac{{3x}}{5} \end{array} \right.$. Xét các mệnh đề sau:
I) Khi $m < 0$ thì hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm.
(II) Khi $m=0$ thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.
(III) Khi $m \ge 0$ thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\left( {\dfrac{2}{5}; + \infty } \right)$.
(IV)Khi $m > 0$ thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\left( {\dfrac{2}{5}; + \infty } \right)$.
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng?
Xét từng trường hợp của $m$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} mx + 2m > 0\\ \dfrac{{2x + 3}}{5} > 1 - \dfrac{{3x}}{5} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} mx > - 2m\\ x > \dfrac{2}{5} \end{array} \right.$.
• Với $m < 0$ thì $\left\{ \begin{array}{l} mx > - 2m\\ x > \dfrac{2}{5} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < - 2\\ x > \dfrac{2}{5} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x \in \emptyset $. Vậy (I) đúng.
• Với $m=0$ thì $\left\{ \begin{array}{l} mx > - 2m\\ x > \dfrac{2}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0x > 0\\ x > \dfrac{2}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset $. Vậy (II) sai.
• Với $m > 0$ thì $\left\{ \begin{array}{l} mx > - 2m\\ x > \dfrac{2}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - 2\\ x > \dfrac{2}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{2}{5}$. Vậy (III), (IV) đúng.
Chọn D.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n3\left( {x - 6} \right) < - 3\\\n\dfrac{{5x + m}}{2} > 7\n\end{array} \right.$ có nghiệm.
Giải bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\n3\left( {x - 6} \right) < - 3\\\n\dfrac{{5x + m}}{2} > 7\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n3x < 15\\\n5x + m > 14\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx < 5\\\nx > \dfrac{{14 - m}}{5}\n\end{array} \right.$.
Hệ bất phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \dfrac{{14 - m}}{5} < 5 \Leftrightarrow 14 - m < 25 \Leftrightarrow m > - 11$.
Chọn A.
Cho bất phương trình: $\sqrt {1 - x} \left( {mx - 2} \right) < 0$ (*). Xét các mệnh đề sau:
(I) Bất phương trình tương đương với $mx - 2 < 0$.
(II) $m \ge 0$ là điều kiện cần để mọi $x<1$ là nghiệm của bất phương trình (*).
(III) Với $m < 0$, tập nghiệm của bất phương trình là $\dfrac{2}{m} < x < 1$.
Mệnh đề nào đúng?
Xét từng trường hợp của $m$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
• Ta có: $\sqrt {1 - x} \left( {mx - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - x > 0\\ mx - 2 < 0 \end{array} \right.$. Vậy (I) sai.
• Với $m=0$ thì: $\left\{ \begin{array}{l} 1 - x > 0\\ mx - 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 1\\ 0x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x < 1$.
• Với $m>0$ thì: $\left\{ \begin{array}{l} 1 - x > 0\\ mx - 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 1\\ x < \dfrac{2}{m} \end{array} \right.$. Vậy (II) đúng.
• Với $m < 0$ thì: $\left\{ \begin{array}{l} 1 - x > 0\\ mx - 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 1\\ x > \dfrac{2}{m} \end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{2}{m} < x < 1$ $\left(\text{ do } {{\rm{ }}m < 0{\rm{ }} \Leftrightarrow \dfrac{2}{m} < 0 < 1} \right)$
Vậy (III) đúng.
Chọn C.