Tập tất cả các giá trị $m$ để hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2x - 3 > 0\\ x - m < 2 \end{array} \right.$ vô nghiệm
Giải hệ bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} 2x - 3 > 0\\ x - m < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \dfrac{3}{2}\\ x < m + 2 \end{array} \right.$
Hệ bất phương trình vô nghiệm khi $m + 2 \le \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow m \le - \dfrac{1}{2}$.
Chọn B.
Bất phương trình $|x-3|\ge 1$ có nghiệm là:
$|A|\ge B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A \ge B\\A \le - B \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left| {x - 3} \right| \ge 1$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 3 \ge 1\\ x - 3 \le - 1 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 4\\ x \le 2 \end{array} \right.$.
Chọn C.
Hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 2x - 3 > 0}\\{{x^2} - 11x + 28 \ge 0} \end{array}} \right.$ có nghiệm là:
Giải từng bất phương trình rồi kết hợp lại tìm nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 2x - 3 > 0}\\ {{x^2} - 11x + 28 \ge 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) > 0\\ \left( {x - 7} \right)\left( {x - 4} \right) \ge 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in \left( { - \infty ;{\rm{ }} - 1} \right) \cup \left( {3;{\rm{ }} + \infty } \right)\\ x \in \left( { - \infty ;{\rm{ 4}}} \right] \cup \left[ {7;{\rm{ }} + \infty } \right) \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;{\rm{ }} - 1} \right) \cup \left[ {7;{\rm{ }} + \infty } \right)$.
Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình $2x > 1.$
Biến đổi tương đương các bất phương trình tìm ra tạp nghiệm rồi so sánh với tập nghiệm của bất phương trình đã cho.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $2x > 1 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}$
Xét đáp án A:
$2x + \sqrt {x - 2} > 1 + \sqrt {x - 2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 2\\ 2x > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 2$
Xét đáp án B:
$4{x^2} > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > \dfrac{1}{2}\\ x < - \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$
Xét đáp án C:
$2x - \dfrac{1}{{x - 3}} > 1 - \dfrac{1}{{x - 3}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 3\\ x > \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$
Xét đáp án D:
$2x + \sqrt {x + 2} > 1 + \sqrt {x + 2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - 2\\ x > \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}$
Chọn D.
Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{{\sqrt {2 - 3x} }}$ là:
Điều kiện xác định của hàm số $y=\dfrac{A}{\sqrt B}$ là: $\left\{ \begin{array}{l}\nB \ge 0\\\nB \ne 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow B > 0.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $2 - 3x > 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{2}{3}.$
Tập xác định $D = \left( { - \infty ;\dfrac{2}{3}} \right).$
Chọn B.
Tập nghiệm của bất phương trình $\dfrac{{2x - 1}}{{\left| {x + 3} \right|}} < 0$ là:
$\dfrac{A}{{|B|}} < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \ne 0\\ A < 0 \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{{2x - 1}}{{\left| {x + 3} \right|}} < 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 3 \ne 0\\ 2x - 1 < 0 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne - 3\\ x < \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$
Chọn D.
Khi giải bất phương trình $\dfrac{{x + 5}}{2} + \dfrac{1}{{x - 1}} > \dfrac{1}{{x - 1}} + x$. Một học sinh làm như sau
(I) $\dfrac{{x + 5}}{2} + \dfrac{1}{{x - 1}} > \dfrac{1}{{x - 1}} + x \Leftrightarrow \dfrac{{x + 5}}{2} > x$ (1)
(II) $(1) \Leftrightarrow x + 5 > 2x$ (2)
(III) $(2) \Leftrightarrow x < 5$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm $( - \infty ;5)$
Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Sai từ bước $(I)$ vì phép biến đổi đã làm thay đổi điều kiện của bất phương trình.
Bất phương trình $\dfrac{{5x}}{5} - \dfrac{{13}}{{21}} + \dfrac{x}{{15}} < \dfrac{9}{{25}} - \dfrac{{2x}}{{35}}$ có nghiệm là:
Giải bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{{5x}}{5} - \dfrac{{13}}{{21}} + \dfrac{x}{{15}} < \dfrac{9}{{25}} - \dfrac{{2x}}{{35}} \Leftrightarrow \dfrac{{118}}{{105}}x < \dfrac{{514}}{{525}} \Leftrightarrow x < \dfrac{{257}}{{295}}$.
Chọn B.
Các nghiệm tự nhiên nhỏ hơn 4 của bất phương trình $\dfrac{{2x}}{5} - 23 < 2x - 16$ là:
Giải bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{{2x}}{5} - 23 < 2x - 16 \Leftrightarrow - 7 < \dfrac{8}{5}x \Leftrightarrow x > - \dfrac{{35}}{8}$.
Vậy các nghiệm tự nhiên nhỏ hơn 4 của bất phương trình là $0, 1, 2, 3$.
Chọn C.
Tập nghiệm của bất phương trình $\dfrac{1}{{x + 2}} + 3 > \dfrac{{3x + 5}}{{x - 2}}$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{1}{{x + 2}} + 3 > \dfrac{{3x + 5}}{{x - 2}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 2}} + 3 - \dfrac{{3x + 5}}{{x - 2}} > 0 $
$\Leftrightarrow \dfrac{{-10x - 24}}{{{x^2} - 4}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{10x + 24}}{{{x^2} - 4}} < 0$
Đặt $f\left( x \right) = \dfrac{{10x + 24}}{{{x^2} - 4}}$. Ta có bảng xét dấu
Vậy $x < - \dfrac{{12}}{5}$ hoặc $-2< x<2$.
Chọn C.
Bất phương trình nào sau đây không tương đương với bất phương trình $x + 5 \ge 0$?
Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 5$
Tập nghiệm của bất phương trình là ${T_1} = \left[ { - 5;{\rm{ + }}\infty } \right)$.
Ta có $\sqrt {x + 5} \left( {x - 5} \right) \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx + 5 \ge 0\\\nx - 5 \ge 0\n\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge - 5\\\nx \ge 5\n\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x \ge 5$
Tập nghiệm của bất phương trình này là ${T_2} = \left[ {5;{\rm{ + }}\infty } \right)$.
Vì hai bất phương trình này không có cùng tập nghiệm nên chúng không tương đương nhau.
Chọn D.
Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương:
Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $5x - 1 + \dfrac{1}{{x - 2}} > \dfrac{1}{{x - 2}}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx - 2 \ne 0\\\n5x - 1 > 0\n\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ne 2\\\nx > \dfrac{1}{5}\n\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x \in \left( {\dfrac{1}{5};{\rm{ }} + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}$
Lại có $5x-1>0$ $ \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{5}$ $\Leftrightarrow x \in \left( {\dfrac{1}{5}; + \infty } \right)$.
Vậy hai bất phương trình không tương đương nhau.
Chọn B.
Bất phương trình $\sqrt {2x + 3} \ge x - 2$ tương đương với:
$\sqrt A \ge B \Leftrightarrow $ $\left[ \begin{array}{l}\n\left\{ \begin{array}{l}\nA \ge 0\\\nB \le 0\n\end{array} \right.\\\n\left\{ \begin{array}{l}\nA \ge {B^2}\\\nB > 0\n\end{array} \right.\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\sqrt {2x + 3} \ge x - 2$ $\Leftrightarrow $ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{2x + 3 \ge 0}\\\n{x - 2 \le 0}\n\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{2x + 3 \ge {{\left( {x - 2} \right)}^2}}\\\n{x - 2 > 0}\n\end{array}} \right.$
Chọn C.
Tập hợp nghiệm của bất phương trình $\left| {3x - 5} \right| < 2x + 3$ là:
Bài toán có hai trường hợp: $3x - 5 \ge 0$ và $3x - 5 < 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trường hợp 1: $3x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{5}{3}$.
Bất phương trình trở thành $3x - 5 < 2x + 3 \Leftrightarrow x < 8$. Vậy ${S_1} = \left[ {\dfrac{5}{3};8} \right)$.
Trường hợp 2: $3x - 5 < 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{5}{3}$.
Bất phương trình trở thành $5 - 3x < 2x + 3 \Leftrightarrow 5x > 2 \Leftrightarrow x > \dfrac{2}{5}$. Vậy ${S_2} = \left( {\dfrac{2}{5};\dfrac{5}{3}} \right)$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {\dfrac{2}{5};8} \right)$.
Chọn A.
Số $x=1$ là nghiệm của bất phương trình $2m - 3m{x^2} \ge 1$ khi và chỉ khi:
Thay $x=1$ vào bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $x=1$ là nghiệm của bất phương trình nên $2m - 3m \ge 1 \Leftrightarrow m \le - 1.$
Chọn A.
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\x - m < 3 \end{array} \right.$ vô nghiệm khi và chỉ khi:
Giải hệ bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hệ bất phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > \dfrac{1}{2}\\ x < m + 3 \end{array} \right.$
Hệ vô nghiệm khi $m + 3 \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m \le - \dfrac{5}{2}$.
Vậy chọn B.
Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + m \le 0\,\,\\- x + 5 < 0\, \end{array} \right.$. Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:
Giải hệ bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} x + m \le 0\,\,\\ - x + 5 < 0\, \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le -m\,\,\\ x > 5\, \end{array} \right.$
Hệ có nghiệm khi $ - m > 5 \Leftrightarrow m < - 5$.
Chọn A.
Tập hợp các giá trị của $m$ để hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 3\\x - m \le 0 \end{array} \right.$ có nghiệm duy nhất là:
Giải hệ bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} 2x - 1 \ge 3\\ x - m \le 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le m \end{array} \right.$. Hệ có nghiệm duy nhất khi $m=2$.
Chọn B.
Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + m \le 0\,\,\,\,(1)\\{x^2} - x + 4 < {x^2} - 1\,\,\,\,\,(2) \end{array} \right.$.Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:
Giải hệ bất phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giải (2) ta được $x>5$.
Giải (1) ta được $x \le - m$.
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi $ - m > 5 \Leftrightarrow m < - 5$.
Chọn A.
Bất phương trình $mx > 3$ vô nghiệm với mọi $x$ khi:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $mx > 3$ vô nghiệm với mọi $x$ $\Leftrightarrow m=0$.
Chọn A.