Cho điểm $A\left( {1; - 4} \right)$, $B\left( {3;2} \right)$. Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
Đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ thì vuông góc với $AB$ tại trung điểm của $AB$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử $\Delta$ là đường trung trực của $AB \Rightarrow \Delta$ vuông góc với $AB$ tại trung điểm của $AB$.
Tọa độ trung điểm $M$ của $AB$ là: $\left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 2\\ {y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2; - 1} \right)$.
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;6} \right) =2 \left( {1;3} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }} = \overrightarrow {AB} = \left( {1;3} \right)$.
Do đó phương trình tổng quát của đường trung trực đoạn thẳng $AB$ là: $1\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + 1 = 0$.
Vậy đáp án là A.
Cho tam giác $ABC$ có $A\left( { - 1;3} \right),\,B\left( { - 2;0} \right),\,C\left( {5;1} \right).$ Phương trình đường cao vẽ từ $B$ là:
Trong tam giác $ABC$, đường cao vẽ từ $B$ vuông góc với $AC$ và đi qua $B$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường cao vẽ từ $B$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 2} \right)$ hay $ \left( {3; - 1} \right)$, nên có phương trình là: $3\left( {x + 2} \right) - y = 0 \Rightarrow 3x-y+6=0$.
Vậy đáp án là B.
Cho đường thẳng $d:x - 2y + 1 = 0$ . Nếu đường thẳng $\Delta$ qua điểm $M\left( {1; - 1} \right)$ và song song với $d$ thì $\Delta$ có phương trình:
Đường thẳng $d {//}d’$ nhận $\overrightarrow{u_{d’}} $ làm vectơ chỉ phương.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $d$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)$.
Do $\Delta$ qua điểm $M\left( {1; - 1} \right)$ và song song với $d$ nên $\Delta:{\rm{ }}1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 3 = 0$.
Vậy đáp án là A.
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $I\left( { - 1;2} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình $2x - y + 4 = 0$.
Đường thẳng $d \bot d’$ nhận $\overrightarrow{n_{d’}} $ làm vectơ chỉ phương.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\overrightarrow {n_d}=(2;-1)$ nên đường thẳng $\Delta$ nhận $\overrightarrow {n_d}=(2;-1)$ là vectơ chỉ phương.
Do đó vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow {n_\Delta}=(1;2)$.
Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $(x+1)+2(y-2)=0 \Rightarrow x + 2y - 3 = 0.$
Vậy đáp án là B.
Với giá trị nào của $m$ thì ba đường thẳng sau ${d_1}:3x-4y + 15 = 0,{d_2}:5x + 2y-1 = 0,$ ${d_3}:mx-4y + 15 = 0$ đồng quy?
Tìm tọa độ giao điểm của 3 đường thẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là nghiệm của hệ $\begin{array}{l}\n\left\{ \begin{array}{l}\n3x-4y + 15 = 0\\\n5x + 2y-1 = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = - 1\\\ny = 3\n\end{array} \right.\\\n\n\end{array}$.
Vậy $d_1$ cắt $d_2$ tại $A(-1;3)$.
Để ba đường thẳng $d_1$, $d_2$, $d_3$ đồng quy thì $d_3$ phải đi qua điểm $A$.
Do đó tọa độ điểm $A$ phải thỏa phương trình $d_3$ $ \Rightarrow - m - 4.3 + 15 = 0 \Rightarrow m = 3$.
Vậy đáp án là C.
Giả sử đường thẳng $d$ có hệ số góc $k$ và đi qua điểm $A\left( { - 1;7} \right).$ Khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến $d$ bằng $5$ thì $k$ bằng:
Khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0)$ đến đường thẳng $\Delta : d(M;\Delta)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình đường thẳng $d$ là: $y - 7 = k\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow kx - y + 7 + k = 0$.
Ta có $d\left( {O,D} \right) = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {7 + k} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 5 \Leftrightarrow {k^2} + 14k + 49 = 25{k^2} + 25$
$\Leftrightarrow 24{k^2} - 14k - 24 = 0 \Leftrightarrow k = \dfrac{4}{3}$ hoặc $k =- \dfrac{3}{4}$.
Vậy đáp án là C.
Phương trình của đường thẳng $d$ qua $P\left( {2;5} \right)$ và cách $Q(5;1)$ một khoảng bằng $3$ là:
Khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0)$ đến đường thẳng $\Delta : d(M;\Delta)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $d $ qua $P\left( {2;5} \right) \Rightarrow d :a(x - 2) + b(y - 5) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 2a - 5b = 0$.
Ta có $d\left( {Q,\Delta } \right) = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {5a + b - 2a - 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {3a - 4b} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} $
$\Leftrightarrow - 24ab + 7{b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nb = 0\\\nb = \dfrac{{24}}{7}a\n\end{array} \right.$
Với $b = 0$, chọn $a = 1 \Rightarrow d :x = 2$.
Với $b = \dfrac{{24}}{7}a$, chọn $a = 7 \Rightarrow b = 24 \Rightarrow d :7x + 24y - 134 = 0$.
Vậy đáp án là C.
Cho hai điểm $A\left( {2;3} \right)$ và $B(1;4)$. Đường thẳng nào sau đây cách đều hai điểm $A, B$ ?
Đường thẳng cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $AB$ $ \Rightarrow I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$.
Gọi $d$ là đường thẳng cách đều 2 điểm $A, B \Rightarrow d$ là đường trung trực của đoạn $AB$.
Đường thẳng $d$ đi qua $ I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1} \right)$ làm VTPT có phương trình là $ d: - \left( {x - \dfrac{3}{2}} \right) + \left( {y - \dfrac{7}{2}} \right) = 0 \Rightarrow d: - x + y - 2 = 0$.
Vậy đáp án là A.
Cho 3 đường thẳng ${d_1}:3x-2y + 5 = 0,{\rm{ }}{d_2}:2x + 4y-7 = 0,{\rm{ }}{d_3}:3x + 4y-1 = 0.$ Phương trình đường thẳng $d$ đi qua giao điểm của $d_1$ và $d_2$ và song song với $d_3$ là:
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng phải thỏa mãn phương trình hai đường thẳng đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giao điểm $A$ của $d_1$ và $d_2$ là nghiệm của hệ $\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 3x-2y + 5 = 0\\ 2x + 4y-7 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{{ - 17}}{8}\\ y = \dfrac{{ - 11}}{{16}} \end{array} \right.\\ \end{array}$ .
Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {\dfrac{{ - 17}}{8};\dfrac{{ - 11}}{{16}}} \right)$ nhận $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;4} \right)$ làm véc tơ pháp tuyến là $3\left( {x + \dfrac{{17}}{8}} \right) + 4\left( {y + \dfrac{{11}}{{16}}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 24x + 32y + 73 = 0.$
Vậy đáp án là B.
Đường thẳng song song với đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 2t - 3\\ y = t + 5 \end{array} \right.$ và cách $A\left( {1;1} \right)$ một khoảng $3\sqrt 5 $ là $d: x + by+ c = 0$ . Tính $b+c$.
Từ $d // \Delta $ tìm vectơ pháp tuyến của $d$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $d: x + by+ c = 0$.
Vì đường thẳng $d{\rm{ // }}\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 2t - 3\\ y = t + 5 \end{array} \right.$ nên $\overrightarrow {u_d} = \left( { 2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {n_d}=(1;-2) \Rightarrow b=-2$.
Phương trình của $d:x - 2y + c = 0$.
Theo đề bài ta có: $d\left( {A;d} \right) = 3\sqrt 5 \Rightarrow \dfrac { \left| {c - 1} \right| } {\sqrt {1+4} } = 3\sqrt 5 \Rightarrow \left| {c - 1} \right| = 15 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} c = - 14\\ c = 16 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b+c = - 16\\ b+c = 14 \end{array} \right.$
Vậy đáp án là A.