Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua $A(3; - 6)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = (4; - 2)$ là:
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M(x_0;y_0)$ và nhận $\overrightarrow u = (u_1; u_2)$ làm vtcp là : $\left\{ \begin{array}{l}\nx = {x_0} + t{u_1}\\\ny = {y_0} + t{u_2}\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $d$ vtcp là $(4;-2)$ suy ra có vtcp là $\left( {2; - 1} \right)$. Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua $A(3; - 6)$ là $\left\{ \begin{array}{l}\nx = 3 + 2t\\\ny = - 6 - t\n\end{array} \right.$.
Vậy đáp án đúng là A.
Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm $M\left( {a;b} \right)$.
$O\left( {0;0} \right),\,\,M\left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {a;b} \right)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $O(0;0)$.
Tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua $O(0;0)$ và điểm $M\left( {a;b} \right)$ là $\overrightarrow {OM} = \left( {a;b} \right)$.
Vậy đáp án là B.
Tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường phân giác của góc $xOy$.
$O\left( {0;0} \right),\,\,M\left( {a;b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {a;b} \right)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường phân giác góc $xOy$ đi qua $O(0;0)$, $A(1;1)$ nên có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow u =\overrightarrow{OA}= \left( {1;1} \right)$.
Vậy đáp án là D.
Cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 + 1 - \sqrt 3 t\\ y = - \sqrt 2 + 1 + \sqrt 2 t \end{array} \right.$. Điểm nào sau đây không thuộc $\Delta$?
Thay tọa độ của các điểm vào phương trình đường thẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thay tọa độ của các điểm vào phương trình $\Delta$:
+ Xét điểm $(12 + \sqrt 3 \;;\;\sqrt 2 )$ ta có $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} 12+\sqrt3 = \sqrt 3 + 1 - \sqrt 3 t\\ \sqrt2 = - \sqrt 2 + 1 + \sqrt 2 t \end{array} \right.$ suy ra không tồn tại $t$ thỏa mãn hệ phương trình.
Vậy đáp án đúng là A.
Đường thẳng đi qua $A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)$, nhận $\overrightarrow n = (2; - 4)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$ và nhận $\overrightarrow n = (a; b)$ làm VTPT là: $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng đi qua $A\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right)$, nhận $\overrightarrow n = (2; - 4)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $2\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0$.
Vậy đáp án đúng là D.
Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua $A\left( { - 3;2} \right)$ và $B\left( {1;4} \right)$ là
$\overrightarrow u. \overrightarrow n = \overrightarrow 0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $AB$ có VTCP là $\overrightarrow {AB} = \left( {4;2} \right) = 2\left( {2;1} \right)$ nên VTPT là $\overrightarrow n=(-1,2)$.
Vậy đáp án là B.
Cho đường thẳng $d:2x + 3y - 4 = 0$. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của $d$?
Đường thẳng $d$ có phương trình $ax+by+c=0$ thì VTPT của $d$ là $\overrightarrow n= (a;b)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Một vectơ pháp tuyến của $d$ là $(2;3)$ nên vectơ $-2\overrightarrow { n} = ( - 4;{\rm{ }} - 6)$ là vectơ pháp tuyến của $d$.
Vậy đáp án là B.
Cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l} x = 5 - \dfrac{1}{2}t\\ y = - 3 + 3t \end{array} \right.$ . Một vectơ chỉ phương của $d$ có tọa độ là:
Đường thẳng có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l} x = x_0 +tu_1\\ y = y_0 + tu_2 \end{array} \right.$ thì có VTCP là $\overrightarrow u =(u_1;u_2)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ phương trình tham số, ta suy ra $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - \dfrac{1}{2};3} \right)$.
Do $\left( { - 1;6} \right) = 2.\left( {- \dfrac{1}{2};3} \right) \Rightarrow $ $\left( { - 1;6} \right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.
Vậy đáp án là A.
Cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 + 5t\\ y = 2 - 4t\n\end{array} \right.$ và các điểm $N( - 28;{\rm{ }}22)$, $P(17; - 14)$, $Q( - 3; - 2)$. Các điểm nằm trên $\Delta$ là:
Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Lần lượt thế tọa độ $N, P, Q$ vào phương trình đường thẳng, ta có
Thay $P(17; - 14)$ : $\left\{ \begin{array}{l}\n17 = - 3 + 5t\\ - 14 = 2 - 4t\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nt = 4\\\nt = 4\n\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 4 \Rightarrow P \in \Delta$
Thay $N( - 28;{\rm{ }}22)$ : $\left\{ \begin{array}{l} - 28 = - 3 + 5t\\\n22 = 2 - 4t\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nt = - 5\\\nt = - 5\n\end{array} \right. \Leftrightarrow t = - 5 \Rightarrow N \in \Delta $
Thay $Q( - 3; - 2)$ : $\left\{ \begin{array}{l} - 3 = - 3 + 5t\\ - 2 = 2 - 4t\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nt = 0\\\nt = 1\n\end{array} \right. \Rightarrow Q \notin \Delta $
Tìm vectơ pháp tuyến của đường phân giác của góc $xOy$.
$\overrightarrow u.\overrightarrow n=\overrightarrow 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có đường phân giác của góc $xOy$ đi qua điểm $O(0;0)$ và điểm $A(1;1)$ nên có VTCP là $\overrightarrow {OA} = (1;1)$.
Suy ra VTPT là $(-1;1)$.
Vậy đáp án là C.
Cho đường thẳng $d$ có phương trình tổng quát $3x + 5y = 2006$. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Đường thẳng có VTCP là $\overrightarrow u=(u_1;u_2)$ thì có hệ số góc là $k=\dfrac{u_2}{u_1}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $d:3x + 5y - 2006 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;5} \right)$ nên vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {5; - 3} \right)$. Do đó hệ số góc là $k =- \dfrac{3}{5}$.
Đường thẳng $d_1:3x + 5y = 0$ có vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow {n_1}=(3;5)$ $ \Rightarrow d{\rm{//}}{d_1}$.
Vậy đáp án là C.
Đường thẳng đi qua điểm $M\left( {1;2} \right)$ và vuông góc với vectơ $\overrightarrow a = \left( {2;3} \right)$ có phương trình chính tắc là:
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$ và có VTCP là $\overrightarrow u(a;b)$là: $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}$ $(a,b \neq 0)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có đường thẳng vuông góc với $\overrightarrow a = \left( {2;3} \right)$ nên có VTCP là $\overrightarrow u = \left( {3;\,\, - 2} \right)$.
Phương trình chính tắc đi qua $M\left( {1;\,\,2} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u = \left( {3;\,\, - 2} \right)$ là $\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{-2}$.
Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = 3 - 5t}\\\n{y = 1 + 4t}\n\end{array}} \right.$ ?
Tìm VTCP và một điểm mà đường thẳng đó đi qua dựa vào phương trình tham số đã biết.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {3\,;\,1} \right)$ và có VTCP ${\rm{ }}\vec u = \left( { - 5\,;\,4} \right)$ $\Rightarrow {\rm{ }}\vec n = \left( {4\,;\,5} \right)$.
Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng là $4x + 5y - 17 = 0$.
Vậy đáp án là C.
Cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\ y = 6 + 7t \end{array} \right.$. Viết phương trình tổng quát của $\Delta$.
Tìm VTCP và một điểm mà đường thẳng đi qua dựa vào phương trình tham số của đường thẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng có VTCP $\overrightarrow u = (0;7)$ nên có VTPT $\overrightarrow n = (1;0)$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $(15;6)$ nên có phương trình tổng quát là: $x - 15 = 0$.
Vậy đáp án là C.
Cho đường thẳng $d$ qua điểm $M\left( {1;3} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1; - 2} \right).$ Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của $d$ ?
Viết các phương trình tham số, phương trình chính tắc, phương trình tổng quát của đường thẳng $d$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $d$ qua điểm $M\left( {1;3} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1; - 2} \right)$ thì có phương trình tham số là: $\left\{ \begin{array}{l}\nx = 1 - t\\\ny = 3 + 2t\n\end{array} \right.\quad \left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ và phương trình chính tắc là: $ \dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 3}}{2}$
$ \Rightarrow 2x + y - 5 = 0 \Rightarrow y = - 2x + 5$ .
Vậy đáp án là D.
Đường thẳng $d$ có phương trình chính tắc $\dfrac{{x + 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 2}}{1}$. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của $d$ ?
Tìm VTCP và một điểm mà đường thẳng đi qua dựa vào phương trình chính tắc của đường thẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $d$ có VTCP ${\rm{ }}\vec u = \left( { - 3\,;1} \right)$ và đi qua điểm $M\left( { - 1;\,\,2} \right)$.
Do đó phương trình tham số của đường thẳng là $d:\left\{ \begin{array}{l}\nx = - 3t - 1\\\ny = t + 2\n\end{array} \right.$.
Vậy đáp án là D.
Đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {1;\,1} \right)$, $B\left( {3;\,1} \right)$ có phương trình là:
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(x_A;y_A), B(x_B;y_B)$ có dạng
+, $AB: \dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}$ $(x_A \neq x_B, y_A \neq y_B)$.
+ $AB: x=x_A (x_A=x_B)$, $AB: y=y_A (y_A=y_B)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta thấy rằng $y_A=y_B=1$ nên phương trình đường thẳng $AB$ có dạng $y=1$.
Vậy đáp án là D.
Đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {2;\,1} \right)$, $B\left( {-3;\,3} \right)$ có phương trình là:
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(x_A;y_A), B(x_B;y_B)$ có dạng
+, $AB: \dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}$ $(x_A \neq x_B, y_A \neq y_B)$.
+ $AB: x=x_A (x_A=x_B)$, $AB: y=y_A (y_A=y_B)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {2;\,1} \right)$, $B\left( {-3;\,3} \right)$ là $\dfrac{{x - 2}}{{ - 3 - 2}} = \dfrac{{y - 1}}{{3 - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{ - 5}} = \dfrac{{y - 1}}{2} \Leftrightarrow 2x + 5y - 9 = 0$.
Vậy đáp án là A.
Khoảng cách từ điểm $M\left( {2;0} \right)$ đến đường thẳng $d: \left\{ {\begin{array}{} {x = 1 + 3t}\\ {y = 2 + 4t} \end{array}} \right.$ là:
Khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0)$ đến đường thẳng $\Delta : d(M;\Delta)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;2)$ và có VTCP là $\overrightarrow u =(3;4)$ nên VTPT là $\overrightarrow n =(4;-3)$. Phương trình tổng quát của đường thẳng là $d:4x - 3y + 2 = 0 \Rightarrow d\left( {M,d} \right) = \dfrac{{\left| {4.2 - 3.0 + 2} \right|}}{5} = 2$.
Vậy đáp án là A.
Khoảng cách từ điểm $M\left( {15;1} \right)$ đến đường thẳng $d: \left\{ {\begin{array}{} {x = 2 + 3t}\\ {y = t} \end{array}} \right.$ là:
Khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0)$ đến đường thẳng $\Delta : d(M;\Delta)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(2;0)$ và có VTCP là $\overrightarrow u =(3;1)$ nên VTPT là $\overrightarrow n =(1;-3)$.
Phương trình tổng quát của đường thẳng là $d:x - 3y - 2 = 0 \Rightarrow d\left( {M,d} \right) = \dfrac{{\left| {15 - 3.1 - 2} \right|}}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$.
Vậy đáp án là A.