Xét mệnh đề $R$: “Vì $\sqrt {13} > \sqrt {10} $ nên $13>10$”. Nếu viết mệnh đề $R$ dưới dạng $P \Rightarrow Q$ thì mệnh đề $P$ và $Q$ là:
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ được phát biểu là “Nếu $P$ thì $Q$”, “$P$ kéo theo $Q$” , “Từ $P$ suy ra $Q$”.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mệnh đề $R$: “Vì $\sqrt {13} > \sqrt {10} $ nên $13>10$” nên có thể phát biểu là “Từ $\sqrt {13} > \sqrt {10} $ suy ra $13>10$” nên $P$: “$\sqrt {13} > \sqrt {10} $”, $Q$: “$13>10$”.
Vậy đáp án là B.
Để chứng minh định lý sau bằng phương pháp phản chứng “ Nếu $n$ là số tự nhiên và $n^2$ chia hết cho $5$ thì $n$ chia hết cho $5$”, một học sinh lý luận như sau:
(I) Giả sử $n$ chia hết cho $5$.
(II) Như vậy $n = 5k\,\, (k \in \mathbb{Z})$.
(III) Suy ra $n^2=25k^2$. Do đó $n^2$ chia hết cho $5$.
(IV) Vậy mệnh đề đã được chứng minh.
Lập luận trên sai từ giai đoạn nào?
Bước 1: Ta giả sử n không chia hết cho 5
Để chứng minh phản chứng mệnh đề $P \Rightarrow Q$ ta cần tìm được mệnh đề phủ định của mệnh đề $Q$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mệnh đề $Q$ trong trường hợp này là “$n$ chia hết cho $5$”. Mệnh đề phủ định của $Q$ là “$n$ không chia hết cho $5$”.
Do đó, để chứng minh bằng phản chứng ta giả sử $n$ không chia hết cho $5$.
Vậy lập luận trên sai từ giai đoạn (I).
Vậy đáp án là A.
Mệnh đề: “Nếu $n$ là số tự nhiên sao cho $n^2$ chia hết cho $3$ thì $n$ cũng chia hết cho $3$” là đúng hay sai?
Chứng minh bằng phản chứng.
Bước 1: giả sử n không chia hết cho 3 thì n = 3k +1 hoặc n = 3k + 2
Bước 2: n = 3k + 1 thì n3 = 27k3 + 27k2 +9k + 1 không chia hết cho 3 nên mâu thuẫn vs đề bài.
Bước 3: Chứng minh tương tự với n = 3k+ 1 ta thấy mâu thuẫn
Bước 4: Vậy mệnh đề trên đúng; điều giả sử sai
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử tồn tại $n \in \mathbb{N}$ để $n^2$ chia hết cho $3$ nhưng $n$ không chia hết cho $3$.
Nếu $n = 3k + 1\,\,\,(k \in \mathbb{N})$ thì ${n^2} = (3k + 1)(3k + 1) = 3k(3k + 2) + 1$ không chia hết cho $3$.
Nếu $n = 3k -1\,\,\,(k \in \mathbb{N})$ thì ${n^2} = (3k - 1)(3k - 1) = 3k(3k - 2) + 1$ không chia hết cho $3$.
Do đó, điều giả sử là sai.
Vậy đáp án là B.
Mệnh đề: “$\sqrt{2}$ là số vô tỉ” đúng hay sai?
Chứng minh bằng phản chứng.
Dùng định nghĩa về số vô tỉ để xét tính đúng/sai
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ.
Khi đó $\sqrt 2 = \dfrac{a}{b}\,\,$ ( $a, b$ là số nguyên dương, $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản).
Từ đó ta có $2 = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\,\, \Rightarrow {a^2} = 2{b^2} \Rightarrow {a^2} \vdots {b^2} \Rightarrow a \vdots b$ (vô lý vì $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản).
Do đó điều giả sử là sai.
Vậy đáp án là A.
Cho các số thực ${a_1},\,{a_2},\,...,\,{a_n}$. Gọi $a = \dfrac{{{a_1} + \,{a_2}\, + ... + \,\,{a_n}}}{n}$. Hỏi mệnh đề: “Có ít nhất một trong các số ${a_1},\,{a_2},\,...,\,{a_n}$ sẽ lớn hơn hoặc bằng $a$” là đúng hay sai.
Chứng minh bằng phản chứng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử mọi số thực ${a_1},\,{a_2},\,...,\,{a_n}$ đều nhỏ hơn $a$.
Khi đó $a = \dfrac{{{a_1} + \,{a_2}\, + ... + \,\,{a_n}}}{n} < \dfrac{{na}}{n} < a$ (vô lý).
Do đó điều giả sử là sai.
Vậy đáp án là C.
Mệnh đề sau là đúng hay sai “Nếu $x \ne - 1,\,\,y \ne - 1$ thì $x + y + xy \ne - 1$”.
Chứng minh bằng phản chứng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử $x + y + xy = - 1$. Khi đó $x + y + xy + 1 = 0 \Leftrightarrow (x + 1) + y(x + 1) = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(y + 1) = 0$$ \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $y = - 1$ (mâu thuẫn với giả thiết $x \ne - 1,\,\,y \ne - 1$).
Do đó điều giả sử là sai.
Vậy đáp án là C.
Cho $A$ là mệnh đề đúng, $B$ là mệnh đề sai và $C$ là mệnh đề sai. Mệnh đề nào sau đây sai?
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ $A$ đúng, $B$ sai nên $A \Rightarrow B$ sai. Do đó $A \Rightarrow B \Rightarrow C$ đúng.
+ $A$ đúng, $C$ sai nên $A \Rightarrow C$ sai. Do đó $\overline {(A \Rightarrow C)} $ đúng và $\overline B$ đúng. Vậy $\overline {(A \Rightarrow C)} \Rightarrow \overline B$ đúng.
+ $C$ sai, $B$ sai nên $C \Rightarrow B$ đúng. Do đó $ \overline {(C \Rightarrow B)} $ sai và $A$ đúng. Vậy $A \Rightarrow \overline {(C \Rightarrow B)} $ sai.
+ $C$ sai, $B$ sai thì $\overline C$ đúng, $\overline B$ đúng nên $\overline C \Rightarrow \overline B$ đúng. Do đó $A \Rightarrow (\overline C \Rightarrow \overline B)$ đúng.
Vậy đáp án là C.
Cho $A, B, C$ là ba mệnh đề sai. Mệnh đề nào sau đây sai?
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ $A$ sai, $B$ sai thì $B$ sai, $\overline A$ đúng nên $B \Rightarrow \overline A$ đúng.
+ $A$ sai, $B$ sai nên $A \Rightarrow B$ đúng. Do đó $A \Rightarrow B \Rightarrow C$ sai.
+ $A$ sai, $B$ sai, $C$ sai thì $\overline C$ đúng, $A$ sai, $\overline B$ đúng nên $\overline C \Rightarrow A $ sai. Do đó $\overline C \Rightarrow A \Rightarrow \overline B$ đúng.
+ $A$ sai, $B$ sai, $C$ sai thì $A$ sai, $\overline C$ đúng nên $A \Rightarrow \overline C$ đúng. Do đó $B \Rightarrow (A \Rightarrow \overline C)$ đúng.
Vậy đáp án là B.
Cho $A, B, C$ là ba mệnh đề đúng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ $B$ đúng, $C$ đúng thì $B$ đúng, $\overline C$ sai nên ${B \Rightarrow \overline C} $ sai. Do đó $A \Rightarrow \left( {B \Rightarrow \overline C} \right)$ sai.
+ $C$ đúng, $A$ đúng thì $C$ đúng, $\overline A$ sai nên $C \Rightarrow \overline A$ sai.
+ $A$ đúng, $C$ đúng nên $A \Rightarrow C$ đúng nên $ \overline {\left( {A \Rightarrow C} \right)} $ sai. Do đó $B \Rightarrow \overline {\left( {A \Rightarrow C} \right)} $ sai.
+ $B$ đúng, $A$ đúng nên $B \Rightarrow A$ đúng. Do đó $C \Rightarrow \left( {B \Rightarrow A} \right)$ đúng.
Vậy đáp án là D.
Cho $A$ là mệnh đề đúng, $B$ là mệnh đề sai và $C$ là mệnh đề đúng. Mệnh đề nào sau đây sai?
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ $A$ đúng, $C$ đúng nên $A \Rightarrow C$ đúng.
+ $A$ đúng, $B$ sai nên $A$ đúng, $\overline B$ đúng, do đó ${A \Rightarrow \overline B}$ đúng. Vậy $C \Rightarrow \left( {A \Rightarrow \overline B} \right)$ đúng.
+ $A$ đúng, $B$ sai nên $ {A \Rightarrow B} $ sai. Vậy $C \Rightarrow \left( {A \Rightarrow B} \right)$ sai.
+ $B$ sai, $C$ đúng nên $\overline B$ đúng, $C$ đúng, do đó $ {\overline B \Rightarrow C}$ đúng. Vậy $\left( {\overline B \Rightarrow C} \right) \Rightarrow A$ đúng.
Vậy đáp án là C.