Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề nào đúng?
Dùng các kiến thức toán học đã biết để xét tính đúng sai của các mệnh đề.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Câu A đúng vì $x^2 \geq 0$ nên $x^2+1>0$.
+ Câu B sai vì tồn tại $\frac{1}{2} \in \mathbb{R}$ mà ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} < \frac{1}{2}$.
+ Câu C sai vì $ \pm \sqrt 7 \notin \mathbb{Q}$.
+ Câu D sai vì tồn tại $1 \in \mathbb{N}$ mà $1+4$ không chia hết cho $4$.
Vậy đáp án là A.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề: “$\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} - x + 7 < 0$” là mệnh đề:
Phủ định của $\forall$ là $\exists$, phủ định của $<$ là $\geq$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phủ định của $\forall$ là $\exists$, phủ định của $<$ là $\geq$.
Do đó, mệnh đề phủ định của mệnh đề: “$\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} - x + 7 < 0$” là mệnh đề: “$\exists x \in \mathbb{R}:{x^2} - x + 7 \geq 0$”.
Vậy đáp án là D.
Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Phương trình ${x^2} + x + 1 = 0$ có nghiệm”.
Để phủ định một mệnh đề, ta thêm (hoặc bớt) từ “không” (hoặc “không phải”) vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mệnh đề phủ định của mệnh đề: “Phương trình ${x^2} + x + 1 = 0$ có nghiệm” được phát biểu như sau: “Phương trình ${x^2} + x + 1 = 0$ không có nghiệm” hay “Phương trình ${x^2} + x + 1 = 0$ vô nghiệm”.
Vậy đáp án là B.
Cho các mệnh đề $P$ : “$\forall n \in \mathbb{N}:n \vdots 2$ và $n \vdots 3$ thì $n \vdots 6$” và $Q$: “$\forall n \in \mathbb{N}:n \vdots 6$ thì $n \vdots 2$ và $n \vdots 3$”.
Khẳng định nào dưới đây đúng về tính đúng sai của các mệnh đề $P$ và $Q$?
+ Nếu $n \vdots a$, $n \vdots b$ và ƯCLN$(a,b) = 1$ thì $n \vdots ab$.
+ Nếu $n \vdots ab$ thì $n \vdots a$ và $n \vdots b$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Với mọi $n \in \mathbb{N}$ ta có $n \vdots 2$, $n \vdots 3$ mà $(2, 3) = 1$ nên $n \vdots 2.3$, do đó $n \vdots 6$. Vậy $P$ đúng.
+ Với mọi $n \in \mathbb{N}$ ta có $n \vdots 6$ mà $6=2.3$ nên $n \vdots 2$ và $n \vdots 3$. Vậy $Q$ đúng.
Vậy đáp án là D.
Tìm $a$ để mệnh đề: “$\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} - 2 + a > 0$” đúng.
Ta có x2 - 2 + a > 0 nên x2 > 2 - a; mà x2 >= 0 nên 2 - a < 0 suy ra a > 2
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
${x^2} - 2 + a > 0,\,\forall x \in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow {x^2} > 2 - a,\forall x \in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow 2 - a \lt 0,\forall x \in \mathbb{R} \\\Leftrightarrow a \gt 2,\forall x \in \mathbb{R}$ .
Vậy đáp án là C.
Với giá trị nào của $x$ thì mệnh đề: “${x^2} - 1 = 0,\,x \in \mathbb{N}$” đúng.
Giải phương trình ${x^2} - 1 = 0$ với $x \in \mathbb{N}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${x^2} - 1 = 0,\,x \in \mathbb{N} \Leftrightarrow {x^2} = 1,\,x \in \mathbb{N}\Leftrightarrow x = 1$.
Vậy đáp án là A.
Cho tập hợp $S = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}$. Mệnh đề nào sau đây sai?
Xét tính đúng sai của từng mệnh đề.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ $x \in S \Rightarrow x \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}$nên $x \in \mathbb{N}^*,x\le 5$. Do đó A đúng.
+ Nếu $x \in S,\,x \vdots 5$ thì $x \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\},\,x \vdots 5$ nên $x=5$. Do đó B đúng.
+ Nếu $x \in S,\,x \vdots 2$ thì $x \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\},\,x \vdots 2$ nên $x \in \left\{ {2,4} \right\}$. Do đó C đúng.
+ Nếu $\left| x \right| \le 5 $ thì ta có thể chọn $x=-1$ nên $x \notin S$. Do đó D sai.
Vậy đáp án là D.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề: “$\exists x:{x^2} + 2x$ là số nguyên tố” là:
Phủ định của $\exists$ là $\forall$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phủ định của $\exists$ là $\forall$., phủ định của “số nguyên tố” là “không là số nguyên tố”. Do đó, mệnh đề phủ định của mệnh đề: “$\exists x:{x^2} + 2x$ là số nguyên tố” là mệnh đề: “$\forall x:{x^2} + 2x$ không là số nguyên tố”.
Vậy đáp án là D.
Mệnh đề: “$\sqrt {23} < 5 \Rightarrow - 2\sqrt {23} < - 10$” là đúng hay sai?
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mệnh đề “$\sqrt {23} < 5$” đúng và “$ - 2\sqrt {23} < - 10$” sai nên mệnh đề “$\sqrt {23} < 5 \Rightarrow - 2\sqrt {23} < - 10$” là sai.
Vậy đáp án là B.
Cho mệnh đề chứa biến $P\left( x \right): x + 15 \le {x^2}$ , với $x$ là số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Thay các giá trị của $x$ vào $P\left( x \right)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ $P\left( 0 \right):0 + 15 \le {0^2}$ là mệnh đề sai.
+ $P\left( 3 \right):3 + 15 \le {3^2}$ là mệnh đề sai.
+ $P\left( 4 \right):4 + 15 \le {4^2}$ là mệnh đề sai.
+ $P\left( 5 \right):5 + 15 \le {5^2}$ là mệnh đề đúng.
Vậy đáp án là D.
Cho mệnh đề $(P)$: "$ABCD$ là hình thoi có tâm $O$". Cần thêm điều kiện gì để $(P)$ tương đương với mệnh đề: “$ABCD$ là hình vuông”.
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình vuông ta thấy: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
+ Xét mệnh đề “Nếu hình thoi $ABCD$ có $AC=BD$ thì $ABCD$ là hình vuông” là mệnh đề đúng.
+ Mệnh đề “ Nếu $ABCD$ là hình vuông thì $ABCD$ là hình thoi và $AC=BD$” là mệnh đề đúng.
Do đó “$ABCD$ là hình vuông khi và chỉ khi $ABCD$ là hình thoi và $AC=BD$”.
Vậy đáp án là B.
Cho tam giác $ABC$ với đường trung tuyến $AM$. Xét hai mệnh đề
$P$: “Tam giác $ABC$ vuông tại $A$”.
$Q$: “Trung tuyến $AM$ bằng nửa cạnh $BC$”.
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề đúng hay sai?
Ta có định lý trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$: “Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì trung tuyến $AM$ bằng nửa cạnh $BC$” là mệnh đề đúng.
Vậy đáp án là A.
Cho tam giác $ABC$ với đường trung tuyến $AM$. Xét hai mệnh đề
$P$: “Tam giác $ABC$ vuông tại $A$”.
$Q$: “Trung tuyến $AM$ bằng nửa cạnh $BC$”.
Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng hay sai?
$P$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Mệnh đề $P \Rightarrow Q$: “Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì trung tuyến $AM$ bằng nửa cạnh $BC$” là mệnh đề đúng.
+ Mệnh đề $Q \Rightarrow P$: “Nếu trung tuyến $AM$ bằng nửa cạnh $BC$ thì tam giác $ABC$ vuông tại $A$” là mệnh đề đúng.
Do đó mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng.
Vậy đáp án là A.
Cho hai mệnh đề:
$P$: “$42$ chia hết cho $5$”.
$Q$: “$42$ chia hết cho $10$”.
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề đúng hay sai?
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$: “Nếu $42$ chia hết cho $5$ thì $42$ chia hết cho $10$” là mệnh đề đúng vì $P$ là mệnh đề sai.
Vậy đáp án là A.
Kí hiệu $X$ là tập hợp các cầu thủ $x$ trong đội tuyển bóng đá, $P\left( x \right)$ là mệnh đề chứa biến “$x$ cao trên $170cm$”. Mệnh đề “$\forall x \in X:P\left( x \right)$” khẳng định rằng:
Kí hiệu $\forall$ đọc là “với mọi”.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mệnh đề “$\forall x \in X:P\left( x \right)$” có thể viết là “$\forall x \in X:x$ cao trên $170cm$” tức là “Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng đá đều cao trên $170cm$.”
Vậy đáp án là A.
Kí hiệu $X$ là tập hợp các cầu thủ $x$ trong đội tuyển bóng đá, $P\left( x \right)$ là mệnh đề chứa biến “$x$ cao trên $170cm$”. Mệnh đề “$\exists x \in X:P\left( x \right)$” khẳng định rằng:
Kí hiệu $\exists$ đọc là “có một (tồn tại một, có ít nhất một, tồn tại ít nhất một)”.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mệnh đề “$\exists x \in X:P\left( x \right)$” có thể viết là “$\exists x \in X:x$ cao trên $170cm$” tức là “Trong đội tuyển bóng đá có một (tồn tại một, có ít nhất một, tồn tại ít nhất một) cầu thủ cao trên $170cm$.”
Vậy đáp án là A.
Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$. Tìm điều kiện để mệnh đề $P \Rightarrow Q$ đúng.
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ $P$ đúng, $\overline{Q}$ đúng thì $P$ đúng, $Q$ sai. Do đó $P \Rightarrow Q$ sai.
+ $P$ đúng, $Q$ sai, do đó $P \Rightarrow Q$ sai.
+ $\overline{P}$ sai, $Q$ sai thì $P$ đúng, $Q$ sai. Do đó $P \Rightarrow Q$ sai.
+ $\overline{P}$ sai, $\overline{Q}$ sai thì $P$ đúng, $Q$ đúng. Do đó $P \Rightarrow Q$ đúng.
Vậy đáp án là D.
Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$. Tìm điều kiện để mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ đúng.
$P$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ $P$ đúng, $Q$ sai nên $P \Rightarrow Q$ sai, $Q \Rightarrow P$ đúng. Do đó $P \Leftrightarrow Q$ sai.
+ $\overline{P}$ đúng, $Q$ sai thì $P$ sai, $Q$ sai nên $P \Rightarrow Q$ đúng, $Q \Rightarrow P$ đúng. Do đó $P \Leftrightarrow Q$ đúng.
+ $P$ sai, $\overline{Q}$ sai thì $P$ sai, $Q$ đúng nên $P \Rightarrow Q$ đúng, $Q \Rightarrow P$ sai. Do đó $P \Leftrightarrow Q$ sai.
+ $\overline{P}$ đúng, $\overline{Q}$ sai thì $P$ sai, $Q$ đúng nên $P \Rightarrow Q$ đúng, $Q \Rightarrow P$ sai. Do đó $P \Leftrightarrow Q$ sai.
Vậy đáp án là B.
Cho $A$ là mệnh đề sai, $B$ là mệnh đề đúng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
+ Mệnh đề P đúng thì mệnh đề phủ định là $\overline{P}$ sai
+ Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
+ $P$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ $A$ sai, $B$ đúng nên $B \Rightarrow A$ sai.
+ $A$ sai, $B$ đúng nên $B \Rightarrow A$ sai, $A \Rightarrow B$ đúng. Do đó $B \Leftrightarrow A$ sai.
+ $A$ sai, $B$ đúng thì $B$ đúng, $\overline{A}$ đúng nên $B \Rightarrow \overline{A}$ đúng.
+ $A$ sai, $B$ đúng thì $\overline{A}$ đúng, $\overline{B}$ sai nên $\overline{A} \Rightarrow \overline{B}$ sai, $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$ đúng. Do đó $\overline{B} \Leftrightarrow \overline{A}$ sai.
Vậy đáp án là C.
Cho $A$ là mệnh đề đúng, $B$ là mệnh đề sai. Mệnh đề nào sau đây sai?
Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ $B$ sai, $A$ đúng thì $B$ sai, $\overline{A}$ sai nên $B \Rightarrow \overline{A}$ đúng.
+ $A$ đúng, $B$ sai thì $\overline{A}$ sai, $B$ sai nên $\overline{A} \Rightarrow B$ đúng.
+ $A$ đúng, $B$ sai thì $\overline{A}$ sai, $\overline{B}$ đúng nên $\overline{A} \Rightarrow \overline{B}$ đúng.
+ $A$ đúng, $B$ sai thì $\overline{A}$ đúng, $\overline{B}$ sai nên $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$ sai.
Vậy đáp án là D.