Xét sự biến thiên của hàm số $y = \dfrac{3}{{x - 1}}$ trên khoảng $(1; + \infty )$. Khắng định nào sau đây sai?
TXĐ: $D$
Lấy ${x_1};{x_2} \in D,{x_1} \ne {x_2}$
Đặt $T = \dfrac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$
Nếu $T>0$ thì hàm số đồng biến trên $D$
Nếu $T<0$ thì hàm số nghịch biến trên $D$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với mọi ${x_1},{x_2} \in (1; + \infty ),{x_1} \ne {x_2}$
$f({x_1}) - f({x_2}) = \dfrac{3}{{{x_1} - 1}} - \dfrac{3}{{{x_2} - 1}} = \dfrac{{3({x_2} - {x_1})}}{{({x_1} - 1)({x_2} - 1)}}$
Vì ${x_1} > 1,{x_2} > 1 \Rightarrow ({x_1} - 1)({x_2} - 1) > 0$
$\dfrac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}} = - \dfrac{3}{{({x_1} - 1)({x_2} - 1)}} < 0$
Do đó hàm số $y = \dfrac{3}{{x - 1}}$ nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty )$.
Đáp án là A.
Xét tính chẵn lẻ của hàm số $f(x) = \sqrt {2 + x} + \dfrac{1}{{\sqrt {2 - x} }}$?
B1: Tìm TXĐ
B2: $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D?$
B3: + $f(-x)=f(x)$ hàm chẵn
+ $f(-x)=-f(x)$ hàm lẻ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} 2 + x \ge 0\\ 2 - x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - 2\\ x < 2 \end{array} \right.$
Suy ra TXĐ $D=[-2;2)$
Ta có ${x_0} = - 2 \in D$ nhưng $ - {x_0} = 2 \notin D$
Vậy hàm số đã cho không chẵn cũng không lẻ.
Đáp án đúng là C.
Cho hàm số $y = f(x) = {x^2} - 4$. Xét chiều biến thiên của hàm số trên khoảng $( - \infty ;0),(0; + \infty )$.
Khẳng định nào sau đây đúng?
TXĐ: $D$
Lấy ${x_1};{x_2} \in D,{x_1} \ne {x_2}$
Đặt $T = \dfrac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$
Nếu $T>0$ thì hàm số đồng biến trên $D$
Nếu $T<0$ thì hàm số nghịch biến trên $D$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$\forall {x_1},{x_2} \in \mathbb{R},{x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_2} - {x_1} > 0$
$T = f({x_2}) - f({x_1}) = ({x_2}^2 - 4) - ({x_1}^2 - 4) = ({x_2} - {x_1})({x_2} + {x_1})$
Nếu ${x_1},{x_2} \in ( - \infty ;0)$ thì $T<0$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ;0)$
Nếu ${x_1},{x_2} \in (0; + \infty )$ thì $T>0$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$
Đáp án đúng là C.
Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}$?
B1: Tìm TXĐ
B2: $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D?$
B3: + $f(-x)=f(x)$ hàm chẵn
+ $f(-x)=-f(x)$ hàm lẻ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Với $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$
$f( - x) = 3.{( - x)^3} + 2\sqrt[3]{-x} = - (3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}) = - f(x)$
Suy ra hàm đã cho là hàm lẻ
Đáp án đúng là A.
Cho hàm số $y = \sqrt {4x + 5} + \sqrt {x - 1} $ . Khẳng định nào sau đây sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} 4x + 5 \ge 0\\ x - 1 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - \dfrac{5}{4}\\ x \ge 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$
Suy ra TXĐ: $D = {\rm{[}}1; + \infty )$
$\forall {x_1},{x_2} \in {\rm{[}}1; + \infty ),{x_1} \ne {x_2}$
Ta có:
$\begin{array}{l} f({x_1}) - f({x_2}) = (\sqrt {4{x_1} + 5} + \sqrt {{x_1} - 1} )-(\sqrt {4{x_2} + 5} + \sqrt {{x_2} - 1} )\\ = \dfrac{{4({x_1} - {x_2})}}{{\sqrt {4{x_1} + 5} + \sqrt {4{x_2} + 5} }} + \dfrac{{{x_1} - {x_2}}}{{\sqrt {{x_1} - 1} + \sqrt {{x_2} - 1} }}\\ = ({x_1} - {x_2})(\dfrac{4}{{\sqrt {4{x_1} + 5} + \sqrt {4{x_2} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_1} - 1} + \sqrt {{x_2} - 1} }})\\ \Rightarrow \dfrac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}} = \dfrac{4}{{\sqrt {4{x_1} + 5} + \sqrt {{x_2} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_1} - 1} + \sqrt {{x_2} - 1} }} > 0 \end{array}$
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng ${\rm{[}}1; + \infty )$
Đáp án là B.
Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {5 - 3\left| x \right|} }}{{{x^2} + 4x + 3}}$ là:
Tập tất cả các giá trị sao cho biểu thức có nghĩa hay $\left\{ \begin{array}{l} 5 - 3\left| x \right| \ge 0\\ {x^2} + 4x + 3 \ne 0 \end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} 5 - 3\left| x \right| \ge0 \\ {x^2} + 4x + 3 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| x \right| \le \dfrac{5}{3}\\ (x + 1)(x + 3) \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{5}{3} \le x \le \dfrac{5}{3}\\ x \ne - 1\\ x \ne - 3 \end{array} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $D = {\rm{[}} - \dfrac{5}{3};\dfrac{5}{3}{\rm{]\backslash \{ }} - 1\} $
Đáp án đúng là C.
Cho hàm số $y = \dfrac{{mx}}{{\sqrt {x - m + 2} - 1}}$. Tập xác định của hàm số theo tham số $m$ là:
Tập tất cả các giá trị sao cho $\dfrac{{mx}}{{\sqrt {x - m + 2} - 1}}$ có nghĩa hay $\left\{ \begin{array}{l}\n\sqrt {x - m + 2} - 1 \ne 0\\\nx - m + 2 \ge 0\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}\n\sqrt {x - m + 2} - 1 \ne 0\\\nx - m + 2 \ge 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx - m + 2 \ne 1\\\nx \ge m - 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ne m - 1\\\nx \ge m - 2\n\end{array} \right.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D = {\rm{[}}m - 2; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}m - 1\} $
Đáp án đúng là C.
Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{{x + 2m + 2}}{{x - m}}$ xác định trên $(-1;0)$?
ĐKXĐ: $x \ne m$
Hàm số xác định trên $(-1;0)$$ \Leftrightarrow m \notin ( - 1;0)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $x \ne m$
Hàm số xác định trên $(-1;0)$$ \Leftrightarrow m \notin ( - 1;0)$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm \ge 0\\\nm \le - 1\n\end{array} \right.$
Vậy với $m \in ( - \infty ; - 1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}0; + \infty )$ thì hàm số xác định trên $(-1;0)$
Đáp án đúng là A.
Tìm $m$ để hàm số $y = \sqrt {x - m + 1} + \dfrac{{2x}}{{\sqrt { - x + 2m} }}$ xác định trên $(-1;3)$?
Tìm ĐKXĐ của hàm số và dựa vào yêu cầu để tìm $m$ thỏa mãn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}\nx - m + 1 \ge 0\\ - x + 2m > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge m - 1\\\nx < 2m\n\end{array} \right.(*)$
Với $m \le - 1$ thì (*) vô nghiệm
Với $m>-1$ thì
$\begin{array}{l} (*)\Leftrightarrow m - 1 \le x < 2m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm - 1 \le - 1\\\n2m > 3\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm \le 0\\\nm > \dfrac{3}{2}\n\end{array} \right.\n\end{array}$(vô nghiệm)
Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn yêu cầu.
Đáp án đúng là D.
Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y = {x^3} - ({m^2} - 9){x^2} + (m + 3)x + m - 3$ nhận gốc tọa dộ $O$ làm tâm đối xứng?
Đồ thị hàm số nhận O làm tâm đối xứng suy ra hàm số phải là hàm lẻ hay $f(-x)=-f(x)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D=\mathbb{R}$ nên $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$
Đồ thị hàm số đã cho nhận gốc O là tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm lẻ
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow f( - x) = - f(x),\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {( - x)^3} - ({m^2} - 9){( - x)^2} + (m + 3)( - x) + m - 3 = {x^3} - ({m^2} - 9){x^2} + (m + 3)x + m - 3,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 2({m^2} - 9) - 2(m - 3) = 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 9 = 0\\ m - 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3 \end{array}$
Vậy $m=3$ là giá trị cần tìm.
Đáp án đúng là B.