Cho $\tan \alpha = \sqrt 2 $. Tính giá trị biểu thức $P = \dfrac{{3\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}$
Chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho $\cos \alpha $. Chú ý trục căn thức để được kết quả cuối cùng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$P = \dfrac{{3\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \dfrac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \dfrac{{3\tan \alpha - 1}}{{\tan \alpha + 1}} = \dfrac{{3\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = \dfrac{{\left( {3\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} = 7 - 4\sqrt 2 $
Tính giá trị của biểu thức $A = \cos 0^\circ + \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + ... + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ $
Ta có: $\alpha + \beta = 180^\circ \Rightarrow \cos \alpha + \cos \beta = 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\cos 0^\circ + \cos 180^\circ = \cos 20^\circ + \cos 160^\circ = ... = \cos 80^\circ + \cos 100^\circ = 0$
Vậy $A = (\cos 0^\circ + \cos 180^\circ ) + \left( {\cos 20^\circ + \cos 160^\circ } \right) + ... + \left( {\cos 80^\circ + \cos 100^\circ } \right) = 0$
Tính giá trị biểu thức $B = \tan 5^\circ \tan 10^\circ \tan 15^\circ ...\tan 80^\circ \tan 85^\circ $
$\alpha + \beta = 90^\circ \Rightarrow \tan \alpha .\tan \beta = 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì: $\tan 5^\circ \tan 85^\circ = \tan 10^\circ .\tan 80^\circ = ... = 1$nên $B = \left( {\tan 5^\circ .\tan 85^\circ } \right)\left( {\tan 10^\circ .\tan 80^\circ } \right)...tan45^\circ = 1$
Tìm $cos x$ và $sin x$ biết $sin x - \cos x = \dfrac{2}{3}$
Giải hệp phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n\sin x - \cos x = \dfrac{2}{3}\\\n{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giải hệp phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\n\sin x - \cos x = \dfrac{2}{3}\\\n{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\sin x = \dfrac{2}{3} + \cos x\\\n{\left( {\dfrac{2}{3} + \cos x} \right)^2} + {\cos ^2}x = 1\n\end{array} \right.$
Giải phương trình ${\left( {\dfrac{2}{3} + \cos x} \right)^2} + {\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + \dfrac{4}{3}\cos x - \dfrac{5}{9} = 0$(*)
Đặt $\cos x = t$ $\left( { - 1 \le t \le 1} \right)$
(*)$ \Leftrightarrow $$2{t^2} + \dfrac{4}{3}t - \dfrac{5}{9} = 0$$ \Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}\nt = \cos x = \dfrac{{ - 2 + \sqrt {14} }}{6}\\\nt = \cos x = \dfrac{{ - 2 - \sqrt {14} }}{6}\n\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\sin x = \dfrac{{2 + \sqrt {14} }}{6}\\\n\sin x = \dfrac{{2 - \sqrt {14} }}{6}\n\end{array} \right.$
Cho $\tan x = - 5$, hãy tìm $\cos x$
Sử dụng ${\tan ^2}x + 1 = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${\tan ^2}x + 1 = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow 26 = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{1}{{26}} \Rightarrow \cos x = \pm \dfrac{1}{{\sqrt {26} }}$
Vì $\tan x < 0$ nên $\cos x < 0$. Vậy $\cos x = - \dfrac{1}{{\sqrt {26} }}$
Cho $\cot x = 3$, tính $\sin x$ với $\sin x > 0$
Sử dụng $1 + {\cot ^2}x = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $1 + {\cot ^2}x = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} \Leftrightarrow 10 = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \dfrac{1}{{10}} \Rightarrow \sin x = \pm \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}$
Vì $$ $$$\sin x > 0$. Vậy $\sin x = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}$
Cho $\cot x = - \sqrt 3 $ , tính $\sin x$ biết $\sin x < 0$
Sử dụng $1 + {\cot ^2}x = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\begin{array}{l}\n1 + {\cot ^2}x = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} \Rightarrow {\sin ^2}x = \dfrac{1}{{1 + {{\cot }^2}x}} = \dfrac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow \sin x = \pm \dfrac{1}{2}\n\end{array}$
Mà $\sin x < 0 \Rightarrow \sin x = - \dfrac{1}{2}$
Cho $\tan x = 2$. Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{{2{{\sin }^2}x - 3{{\cos }^2}x}}{{3 + 2\sin x\cos x}}$
Chia cả tử và mẫu cho ${\cos ^2}x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$P = \dfrac{{2{{\tan }^2}x - 3}}{{\dfrac{3}{{{{\cos }^2}x}} + 2\tan x}} = \dfrac{{2{{\tan }^2}x - 3}}{{3\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) + 2\tan x}} = \dfrac{5}{{19}}$
Cho $\alpha + \beta = 180^\circ $. Tính $A = \sin \alpha .\sin \beta - \cos \alpha .\cos \beta + \cos \alpha .\sin \beta + \sin \alpha .\cos \beta $
$\alpha + \beta = 180^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\sin \alpha = \sin \beta \\\n\cos \alpha = - \cos \beta \n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\alpha + \beta = 180^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\sin \alpha = \sin \beta \\\n\cos \alpha = - \cos \beta \n\end{array} \right.$
$A = \sin \alpha .\sin \beta - \cos \alpha .\cos \beta + \cos \alpha .\sin \beta + \sin \alpha .\cos \beta = \sin \alpha .\sin \alpha + cos\alpha .cos\alpha + \cos \alpha .\sin \alpha - \sin \alpha .\cos \alpha = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
Cho $\alpha ;\beta $ là các góc bù nhau. Tính giá trị biểu thức $P = {\left( {\tan \alpha + \cot \beta } \right)^2} - {\left( {\tan \alpha - \cot \beta } \right)^2}$
$\alpha + \beta = 180^\circ $thì $\cot \alpha = - \cot \beta $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$P = {\left( {\tan \alpha + \cot \beta } \right)^2} - {\left( {\tan \alpha - \cot \beta } \right)^2} = - 4\tan \alpha .\cot \beta = - 4$