Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ${x^2} - 4 = 0$?
Tìm tập nghiệm và so sánh tập nghiệm của hai phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$. Tập nghiệm $S = {\rm{\{ }} \pm 2\} $
Đáp án A: $(x - 2)({x^2} + 3x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 2\\\nx = - 2\\\nx = - 1\n\end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_1} = {\rm{\{ }} - 2; - 1;2\} $
Đáp án B: $(2 + x)( - {x^2} + 2x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = - 2\\\nx = 1 + \sqrt 2 \\\nx = 1 - \sqrt 2 \n\end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_2} = {\rm{\{ }} - 2;1 + \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 {\rm{\} }}$
Đáp án C: $\sqrt {{x^2} - 3} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 2$. Tập nghiệm ${S_3} = {\rm{\{ }} \pm 2\} $=$S$
Đáp án D: ${x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$. tập nghiệm ${S_4} = {\rm{\{ }}2\} $
Vậy đáp án đúng là C.
Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A đúng vì: $x + \sqrt {x - 1} = 1 + \sqrt {x - 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge 1\\\nx = 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$.
Đáp án B sai vì: $\sqrt x (x + 2) = \sqrt x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge 0\\\n\left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx + 2 = 0\n\end{array} \right.\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge 0\\\n\left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = - 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\n\end{array} \right.$. Tập nghiệm ${B_1} = {\rm{\{ }}0\} $
$x + 2 = 1 \Leftrightarrow x = - 1$. Tập nghiệm ${B_2} = {\rm{\{ }} - 1{\rm{\} }}$
Ta thấy ${B_1} \ne {B_2}$ suy ra $\sqrt x (x + 2) = \sqrt x $ và $x+2=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.
Đáp án C sai vì: $x + \sqrt {x - 2} = 1 + \sqrt {x - 2} $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx - 2 \ge 0\\\nx = 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \emptyset $. Tập nghiệm ${C_1} = \emptyset $
$x + 2 = 1 \Leftrightarrow x = - 1$. Tập nghiệm ${C_2} = {\rm{\{ }} - 1\} $
Ta thấy ${C_1} \ne {C_2}$ suy ra $x + \sqrt {x - 2} = 1 + \sqrt {x - 2} $ và $x+2=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.
Đáp án D sai vì: $x(x + 2) = x$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = - 1\n\end{array} \right.$. Tập nghiệm ${D_1} = {\rm{\{ }} - 1;0\} $
$x + 2 = 1 \Leftrightarrow x = - 1$. Tập nghiệm ${D_2} = {\rm{\{ }} - 1\} $
Ta thấy ${D_1} \ne {D_2}$ nên $x(x + 2) = x$ và $x+2=1$ không phải là cặp phương trình tương đương.
Tìm giá trị thực của tham số $m$ để cặp phương trình sau tương đương $2{x^2} + mx - 2 = 0(1)$ và $2{x^3} + (m + 4){x^2} + (2m - 1)x - 4 = 0(2)$.
Điều kiện cần để hai phương trình tương đương là nghiệm của phương trình này cũng là nghiệm của phương trình kia.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $(2) \Leftrightarrow (x + 2)(2{x^2} + mx - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ 2{x^2} + mx - 2 = 0 \end{array} \right.$
Do hai phương trình tương đương nên $x=-2$ cũng là nghiệm của phương trình (1)
Thay $x=-2$ vào (1), ta được $2{( - 2)^2} + m( - 2) - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 3$
Với $m=3$ ta có: (1) trở thành $2{x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$
(2) trở thành $2{x^3} + 7{x^2} + 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow {(x - 2)^2}(2x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$
Suy ra 2 phương trình tương đương. Vậy $m=3$ thỏa mãn.
Vậy đáp án đúng là B.
Cho hai phương trình $x(x - 2) = 3(x - 2)(1)$ và $\dfrac{{x(x - 2)}}{{x - 2}} = 3(2)$ khẳng định nào sau đây đúng?
Dựa vào định nghĩa và định lý về phương trình tương đương và hệ quả.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx - 2 = 0\\\nx = 3\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 2\\\nx = 3\n\end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_1} = {\rm{\{ }}2;3\} $
$(2) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx - 2 \ne 0\\\nx = 3\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3$. tập nghiệm ${S_2} = {\rm{\{ }}3\} $
Vì ${S_2} \subset {S_1}$ nên phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2)
Vậy đáp án đúng là A
Phương trình $\sqrt {{{(x - 3)}^2}(5 - 3x)} + 2x = \sqrt {3x - 5} + 4$ có bao nhiêu nghiệm?
Tìm điều kiện xác định từ đó tìm nghiệm của phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} {(x - 3)^2}(5 - 3x) \ge 0\\ 3x - 5 \ge 0 \end{array} \right.(*)$
Ta thấy $x=3$ thỏa mãn điều kiện (*)
Nếu $x \ne 3$ thì $(*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5 - 3x \ge 0\\ 3x - 5 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le \dfrac{5}{3}\\ x \ge \dfrac{5}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{3}$
Do đó điều kiện xác định của phương trình là $x=3$ hoặc $x = \dfrac{5}{3}$
Thay $x=3$ và $x = \dfrac{5}{3}$ vào phương trình thấy $x=3$ thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Đáp án đúng là C.
Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình $x + \dfrac{1}{x} = 1$?
Tìm tập nghiệm của từng phương trình và so sánh với tập nghiệp của phương trình ban đầu.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $x + \dfrac{1}{x} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ {x^2} - x + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset $. Tập nghiệm ${S_0} = \emptyset $
Đáp án A: Ta có $x\sqrt {x - 5} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}\ \left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ \sqrt {x - 5} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5 \end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_1} = {\rm{\{ }}5\} \ne {S_0}$
Đáp án B: Ta có $\sqrt {6x - 1}\ge 0 \Rightarrow 7 + \sqrt {6x - 1} \ge 7 > - 18$. Do đó phương trình $7 + \sqrt {6x - 1} = - 18$ vô nghiệm. Tập nghiệm ${S_2} = \emptyset = {S_0}$
Đáp án C: Ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} \ge 0\\ \sqrt x \ge 0 \end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + \sqrt x \ge 0$. Do đó phương trình ${x^2} + \sqrt x = - 1$ vô nghiệm. Tập nghiệm $ {S_3} = \emptyset = {S_0}$
Đáp án D: Ta có $\left| {2x - 1} \right| + \sqrt {2x + 1} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {2x - 1} \right| = 0\\ \sqrt {2x + 1} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset $. Tập nghiệm ${S_4} = \emptyset = {S_0}$
Vậy đáp án đúng là A.
Cho phương trình $2{x^2} - x = 0$. Trong các phương trình sau đây phương trình nào không phải hệ quả của phương trình đã cho?
Phương trình này được gọi là hệ quả của phương trình kia nếu tập nghiệm của phương trình này chứa tập nghiệm của phương trình kia.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $2{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = \dfrac{1}{2}\n\end{array} \right.$. Dó đó tập nghiệm $S = {\rm{\{ }}o;\dfrac{1}{2}{\rm{\} }}$
Đáp án A: Ta có $2x - \dfrac{x}{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n1 - x \ne 0\\\n2x(1 - x) - x = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ne 1\\\n\left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = \dfrac{1}{2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = \dfrac{1}{2}\n\end{array} \right.\n\end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_1} = {\rm{\{ }}0;\dfrac{1}{2}{\rm{\} }} \supset S$
Đáp án B: Ta có $4{x^3} - x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = \pm \dfrac{1}{2}\n\end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_2} = {\rm{\{ }}0; \pm \dfrac{1}{2}{\rm{\} }} \supset S$
Đáp án C: Ta có ${(2{x^2} - x)^2} + {(x - 5)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n2{x^2} - x = 0\\\nx - 5 = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n2{x^2} - x = 0\\\nx = 5\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset $. Tập nghiệm ${S_3} = \emptyset ,S \not\subset {S_3}$
Đáp án D: Ta có $2{x^3} + {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = \dfrac{1}{2}\\\nx = - 1\n\end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_4} = {\rm{\{ }}0;\dfrac{1}{2}; - 1\} \supset S$
vậy đáp án đúng là C.
Phương trình $({x^2} - 3x + 2)\sqrt {x - 3} = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
Dùng điều kiện để đánh giá biểu thức trong phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định: $x \ge 3$
Ta có $x=3$ là một nghiệm
Nếu $x > 3$ thì $\sqrt {x - 3} > 0$. Do đó phương trình tương đương $({x^2} - 3x + 2)\sqrt {x - 3} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 2 \end{array} \right.$
Thay $x=1, x=2$ vào phương trình thấy không thỏa mãn vì điều kiện xác định là $x \ge 3$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3.
Đáp án là B.
Phương trình $({x^2} - x - 2)\sqrt {x + 1} = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định: $x \ge - 1$
Ta có $x=-1$ là một nghiệm
Nếu $x>-1$ thì $\sqrt {x + 1} > 0$. Do đó phương trình tương đương ${x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = - 1\\\nx = 2\n\end{array} \right.$.
Thử thấy $x=-1, x=2$ đều là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Đáp án đúng là B.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để cặp phương trình sau tương đương $m{x^2} - 2(m - 1)x + m - 2 = 0(1)$ và $(m - 2){x^2} - 3x + {m^2} - 15 = 0(2)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $(1) \Leftrightarrow (x - 1)(mx - m + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ mx - m + 2 = 0 \end{array} \right.$
Do hai phương trình tương đương nên $x=1$ cũng là nghiệm của phương trình (2).
Thay $x=1$ vào (2) ta được: $(m - 2) - 3 + {m^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + m - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 5\\ m = 4 \end{array} \right.$
Với $m=-5$, ta có: (1) trở thành $- 5{x^2} + 12x - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{7}{5}\\ x = 1 \end{array} \right.$
(2) trở thành $ - 7{x^2} - 3x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \dfrac{{10}}{7}\\ x = 1 \end{array} \right.$
Suy ra hai phương trình không tương đương.
Với $m=4$, ta có: (1) trở thành $4{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$
(2) trở thành $2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{2}\\ x = 1 \end{array} \right.$
Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy $m=4$ thảo mãn.
Vậy đáp án đúng là B.