Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{{4x + 7}}{{\sqrt {3{x^2} + 4x + 1} }} - \sqrt {3x - 4} = 0$ là:
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}\n3{x^2} + 4x + 1 > 0\\\n3x - 4 \ge 0\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định của phương trình là:
$\left\{ \begin{array}{l}\n3{x^2} + 4x + 1 > 0\\\n3x - 4 \ge 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\left[ \begin{array}{l}\nx < - 1\\\nx > - \dfrac{1}{3}\n\end{array} \right.\\\nx \ge \dfrac{4}{3}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \dfrac{4}{3}$
Vậy điều kiện xác định của phương trình là ${\rm{[}}\dfrac{4}{3}; + \infty )$.
Vậy đáp án đúng là C.
Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{{4x}}{{{x^2} - 5x + 6}} - \dfrac{{3 - 5x}}{{{x^2} - 6x + 8}} = \dfrac{{9x + 1}}{{{x^2} - 7x + 12}}$ là:
Điều kiện xác định của phương trình chứa phân thức là mẫu thức khác không.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định của phương trình là:
$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 5x + 6 \ne 0\\ {x^2} - 6x + 8 \ne 0\\ {x^2} - 7x + 12 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x \ne 2\\ x \ne 3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x \ne 2\\ x \ne 4 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x \ne 3\\ x \ne 4 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 2\\ x \ne 3\\ x \ne 4 \end{array} \right.$
Vậy đáp án đúng là C.
Phương trình $({x^2} + 1)(x - 1)(x + 1) = 0$ tương đương với phương trình:
2 phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì ${x^2} + 1 \ge 1,\forall x \in R$ nên $({x^2} + 1)(x - 1)(x + 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 1) = 0$.
Vậy đáp án là D.
Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình $x-1=0$ ?
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Tập nghiệm $T = {\rm{\{ }}1\} $
Đáp án A: $(x - 1)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx - 1 = 0\\\nx + 2 = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = - 2\n\end{array} \right.$. Tập nghiệm ${T_1} = {\rm{\{ }}1; - 2\} $
Đáp án B: $x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$. Tập nghiệm ${T_2} = {\rm{\{ }} - 1\} $
Đáp án C: $2x - 2 = 0 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1$. Tập nghiệm ${T_3} = {\rm{\{ }}1\} $
Đáp án D: $x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$. Tập nghiệm ${T_4} = {\rm{\{ }} - 1\} $
Ta thấy $T = {T_3}$ nên đáp án đúng là C.
Trong các phương trình sau phương trình nào tương đương với phương trình ${x^2} = 9$ ?
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
${x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$. Tập nghiệm $S = {\rm{\{ }} - 3;3\} $
Đáp án A: ĐK: $x\ge0$ pt $\Leftrightarrow x^2=9\Leftrightarrow (x-3)(x+3)=0\Leftrightarrow x=3(TM)$ hoặc $x=-3$(loại) . Tập nghiệm ${S_1} = {\rm{\{ }} 3\} $
Đáp án B: ${x^2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = - 1 \end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_2} = {\rm{\{ }} - 1;4\} $
Đáp án C: ${x^2} - 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset $. Tập nghiệm ${S_3} = \emptyset $
Đáp án D: $\left| x \right| = 3 \Leftrightarrow x = \pm 3$. Tập nghiệm ${S_4} = {\rm{\{ - 3;3\} }}$
Ta thấy $S = {S_4}$ nên đáp án đúng là D.
Phương trình ${f_1}(x) = {g_1}(x)$ được gọi là phương trình hệ quả của phương trình $f(x) = g(x)$ nếu:
Cho hai phương trình ${x^2} + x + 1 = 0(1)$ và $\sqrt {1 - x} = \sqrt {x - 1} + 2(2)$. Khẳng định đúng nhất trong những khẳng định sau là:
Dựa vào định nghĩa của phương trình tương đương và hệ quả.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${x^2} + x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset $. Tập nghiệm ${S_1} = \emptyset $
$\sqrt {1 - x} = \sqrt {x - 1} + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n1 - x \ge 0\\\nx - 1 \ge 0\\\n\sqrt {1 - x} = \sqrt {x - 1} + 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 1\\\n\sqrt {1 - x} = \sqrt {x - 1} + 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset $.
Tập nghiệm ${S_2} = \emptyset $
Ta thấy ${S_1} \subset {S_2},{S_2} \subset {S_1},{S_1} = {S_2}$ nên đáp án đúng là D.
Tập xác định của phương trình $\dfrac{{\sqrt {x +1} }}{{{x^2} - 3x + 2}} - \dfrac{{11x}}{{\sqrt {5 - 3x} }} = 15x+1$?
Tìm điều kiện để mẫu thức khác không và biểu thức trong căn không âm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} x +1\ge 0\\ {x^2} - 3x + 2 \ne 0\\ 5 - 3x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge -1\\ \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ x \ne 2 \end{array} \right.\\ x < \dfrac{5}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in {\rm{[}}-1;\dfrac{5}{3})\backslash {\rm{\{ }}1\} $
Vậy tập xác định của phương trình là $D = {\rm{[}}-1;\dfrac{5}{3})\backslash {\rm{\{ }}1\} $
Đáp án đúng là C.
Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} - 2x} = \sqrt {2x - {x^2}} $ là:
Dựa vào điều kiện để tìm nghiệm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} - 2x \ge 0\\\n2x - {x^2} \ge 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = 2\n\end{array} \right.$
Thử $x=0$, $x=2$ vào phương trình thấy thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $T = {\rm{\{ 0;}}2\} $
Vậy đáp án đúng là D.
Cho phương trình $2{x^2} - x = 0(1)$. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải hệ quả của phương trình (1).
Dựa vào định nghĩa của phương trình tương đương và hệ quả.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:$2{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$. Tập nghiệm $S = {\rm{\{ }}0;\dfrac{1}{2}{\rm{\} }}$
Đáp án A: $4{x^3} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 4{x^2} - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \dfrac{1}{2}\\ x = - \dfrac{1}{2} \end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_1} = {\rm{\{ }}0;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}{\rm{\} }}$
Đáp án B: $2x - \dfrac{x}{{1 - x}} = 0 \Rightarrow 2{x^2} - x = 0$.
Đáp án C: ${(2{x^2} - x)^2} = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - x = 0$
Đáp án D: ${x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Tập nghiệm ${S_4} = {\rm{\{ }}1\} $
Ta thấy $S \subset {S_1},S \not\subset {S_4}$ nên đáp án đúng là D.
Phương trình $\left| {x - 2} \right| = 2 - x$ có bao nhiêu nghiệm?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left| {x - 2} \right| = 2 - x \Leftrightarrow x - 2 \le 0 \Leftrightarrow x \le 2$.
Suy ra phương trình có vô số nghiệm.
Vậy đáp án đúng là D.
Tập nghiệm của phương trình $x - \sqrt {x - 3} = \sqrt {3 - x} + 3$ là:
Bài này ta dùng mẹo. Bước 1 là tìm điều kiện xác định của phương trình. Tức tìm điều kiện để căn có nghĩa.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} x - 3 \ge 0\\ 3 - x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 3\\ x \le 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3$
Thử thấy $x=3$ là nghiệm của phương trình.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {\rm{\{ }}3\} $.
Đáp án đúng là B.
Tập nghiệm của phương trình $x + \sqrt x = \sqrt x - 1$ là:
Chú ý điều kiện của biểu thức trong căn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$x + \sqrt x = \sqrt x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ x = -1 \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow x \in \emptyset $
Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \emptyset $
Đáp án đúng là A.
Cho phương trình $\sqrt {x - 1} (x - 2) = 0(1)$ và $x + \sqrt {x - 1} = 1 + \sqrt {x - 1} (2)$. Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là:
Dựa vào quan hệ giữa hai tập nghiệm của hai phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\sqrt {x - 1} (x - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = 2\n\end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_1} = {\rm{\{ }}1;2\} $
$x + \sqrt {x - 1} = 1 + \sqrt {x - 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge 1\\\nx = 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$. Tập nghiệm ${S_2} = {\rm{\{ }}1\} $
Ta thấy ${S_2} \subset {S_1}$ nên phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2)
Vậy đáp án đúng là C.
Cho phương trình $\dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {x + 1} }}$ (1) và ${x^2} - x - 2 = 0$ (2). Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là:
Dựa vào quan hệ giữa hai tập nghiệm của hai phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {x + 1} }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx > - 1\\\nx = 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$. Tập nghiệm ${S_1} = {\rm{\{ }}2\} $
${x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = - 1\\\nx = 2\n\end{array} \right.$. Tập nghiệm ${S_2} = {\rm{\{ }} - 1;2\} $
Ta thấy ${S_1} \subset {S_2}$ nên (2) là phương trình hệ quả của (1)
Vậy đáp án đúng là B.
Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {2x - 1} = x - 1$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}\n\sqrt {2x - 1} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge 1\\\n2x - 1 = {(x - 1)^2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge 1\\\n{x^2} - 4x + 2 = 0\n\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge 1\\\n\left[ \begin{array}{l}\nx = 2 - \sqrt 2 \\\nx = 2 + \sqrt 2 \n\end{array} \right.\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 + \sqrt 2 \n\end{array}$
Tập nghiệm của phương trình là $S = {\rm{\{ }}2 + \sqrt 2 {\rm{\} }}$
Vậy đáp án đúng là B.
Hãy chỉ ra khẳng định sai:
Dựa vào quan hệ giữa 2 tập nghiệm của 2 phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A đúng vì : $\begin{array}{l}\n\sqrt {x - 1} = 2\sqrt {1 - x} \Leftrightarrow x = 1\\\nx - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\n\end{array}$.
Đáp án B sai vì: Khi bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho. Do đó $\left| {x - 2} \right| = x + 1 \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = {(x + 1)^2}$ là sai.
Đáp án C đúng vì: $\begin{array}{l}\n{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \emptyset \\\n\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {x - 1} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx > 1\\\nx = 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \emptyset \n\end{array}$
Đáp án D đúng vì: ${x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$
vậy đáp án là B.
Phương trình $x({x^2} - 1)\sqrt {x - 1} = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
Đặt điều kiện và giải phương trình tích.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$
Phương trình tương đương với $\left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} - 1 = 0\\ x - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\\ x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.$
Đối chiếu điều kiện của phương trình ta được $x=1$ là nghiệm của phương trình.
Số nghiệm của phương trình là 1
Vậy đáp án đúng là B
Phương trình $\sqrt { - {x^2} + 6x - 9} + {x^3} = 27$ có bao nhiêu nghiệm?
Tìm điều kiện để căn có nghĩa rồi suy ra nghiệm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $ - {x^2} + 6x - 9 \ge 0 \Leftrightarrow - {(x - 3)^2} \ge 0 \Leftrightarrow x = 3$
Thử thấy $x=3$ thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.
Đáp án đúng là B.
Phương trình $\sqrt {{x^3} - 4{x^2} + 5x - 2} + x = \sqrt {2 - x} $ có bao nhiêu nghiệm?
Tìm ĐKXĐ từ đó tìm nghiệm của phương trình.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}\n{x^3} - 4{x^2} + 5x - 2 \ge 0\\\n2 - x \ge 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{(x - 1)^2}(x - 2) \ge 0\\\nx \le 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = 2\n\end{array} \right.$
Thử lại $x=1, x=2$ vào phương trình thấy $x = 1$ thỏa mãn.
Vậy phương trình có 1 nghiệm.
Đáp án đúng là C.