Cho đa giác lồi có $n$ cạnh. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ- không mà có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của đa giác?
Mỗi đỉnh của đa giác kết hợp với 1 đỉnh còn lại bất kì sẽ tạo thành 1 vectơ.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có đa giác $n$ cạnh suy ra đa giác cũng có $n$ đỉnh.
Với mỗi đỉnh của đa giác ta có thể lấy đỉnh đó làm điểm đầu và $n-1$ đỉnh còn lại làm điểm cuối $\Rightarrow $ có $n-1$ vectơ
Mà đa giác có $n$ đỉnh suy ra sẽ có $n(n-1)$ vectơ
Đáp án đúng là A.
Cho hai vectơ khác vectơ-không không cùng phương. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không cùng phương với cả hai vectơ đó?
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử $\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 $, tồn tại vectơ $\overrightarrow c $ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$. Ki đó tồn tại số thực $h, k$ sao cho $\overrightarrow c = h\overrightarrow a ,\overrightarrow c = k\overrightarrow b $.
Từ đó suy ra $h\overrightarrow a = k\overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a = \dfrac{k}{h}.\overrightarrow b $
Suy ra hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ cùng phương (mâu thuẫn)
Đáp án đúng là D.
Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $B$ qua tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Khẳng định nào sau đây đúng?
$AH//DC$, $CH//AD$ suy ra $ADCH$ là hình bình hành.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $AH \bot BC$ và $DC \bot BC$ (do góc $DCB$ chắn nửa đường tròn).
Suy ra $AH//DC$ .
Tương tự ta có $CH//AD$.
Suy ra tứ giác $ADCH$ là hình bình hành.
Do đó $\overrightarrow {HA} = \overrightarrow {CD} $ và $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {HC} $
Đáp án đúng là B.
Cho tam giác đều $ABC$ với đường cao $AH$. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A sai vì: $\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {HC} $ ngược hướng nên $\overrightarrow {HB} \ne \overrightarrow {HC} $
Đáp án B đúng vì: $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = BC = 2HC = 2\left| {\overrightarrow {HC} } \right|$
Đáp án C sai vì: nếu đặt cạnh của tam giác bằng $a$ thì:
$\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = AH = \sqrt {A{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$, $\left| {\overrightarrow {HC} } \right| = HC = \dfrac{a}{2}$
Suy ra $\dfrac{{\left| {\overrightarrow {AH} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {HC} } \right|}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AH} } \right| = \sqrt 3 \left| {\overrightarrow {HC} } \right|$
Đáp án D sai vì: $ABC$ là tam giác nên $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ không cùng phương nên $\overrightarrow {AB} \ne \overrightarrow {AC} $
Chọn đáp án B.
Cho bát giác đều ABCDEFGH tâm O. Hỏi có bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của bát giác và cùng phương với $\overrightarrow {AB} $?
Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Các vectơ cùng phương với $\overrightarrow {AB} $ là: $\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {FE} ,\overrightarrow {HC} ,\overrightarrow {CH} ,\overrightarrow {GD} ,\overrightarrow {DG} $
Vậy có 7 vectơ cùng phương với $\overrightarrow {AB} $
Đáp án là A.
Cho tứ giác $ABCD$, điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} $?
Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB//CD\\ AB = CD \end{array} \right. \Rightarrow $$ABDC$ là hình bình hành
Mặt khác do $ABDC$ là hình bình hành $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB//CD\\ AB = CD \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} $
Do đó điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} $ là $ABDC$ là hình bình hành
Đáp án đúng là B.
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng 1, trọng tâm $G$. Độ dài vectơ $\overrightarrow {AG} $ bằng?
$AG = \dfrac{2}{3}AM$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
G là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $AG = \dfrac{2}{3}AM$
$\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$
Đáp án đúng là A.
Cho hình thoi $ABCD$ tâm $O$, cạnh bằng $a$ và góc $A$ bằng ${60^o}$. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình thoi có 2 đường chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $ABCD$ là hình thoi suy ra hai đường chéo $AC, BD$ vuông góc với nhau tại O.
Xét tam giác vuông $ABO$ có $\widehat {OAB} = {30^o}$
Ta có: $\sin \widehat {OAB} = \dfrac{{OB}}{{AB}} \Rightarrow OB = \sin \widehat {OAB}.AB = \sin {30^o}.a = \dfrac{a}{2}$
$\cos \widehat {OAB} = \dfrac{{OA}}{{AB}} \Rightarrow OA = \cos \widehat {OAB}.AB = \cos {30^o}.a = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Suy ra $\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \dfrac{a}{2}$
Vậy đáp án đúng là A.
Cho hình thang $ABCD$ ($AB//CD$). Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD, BC$. Các cặp vectơ nào sau đây không cùng phương?
$M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD, BC$ nên $AB//CD//MN$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD, BC$ nên $AB//CD//MN$
Suy ra $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {MN} $ cùng phương.
Suy ra đáp án A, B, D đúng
Đáp án là C.
Cho tứ giác $ABCD$, $M, N, P, Q$ là lượt là trung điểm của $AB, BC, CD, DA$. Khẳng định nào sau đây sai?
$\left\{ \begin{array}{l} MN//PQ\\ MN = PQ \end{array} \right.$ (do cùng song song và bằng $\dfrac{1}{2}AC$)
suy ra $ABCD$ là hình bình hành
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} MN//PQ\\ MN = PQ \end{array} \right.$ (do cùng song song và bằng $\dfrac{1}{2}AC$)
Do đó $MNPQ$ là hình bình hành.
Suy ra $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} $, $\left| {\overrightarrow {QP} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|$, $\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {NP}$
đáp án A, B, C đúng
Vậy đáp án là D.