Hướng dẫn giải (chi tiết)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{8}{x}\ge 2 \sqrt{\dfrac{x}{2}.\dfrac{8}{x}} =4.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Áp dụng bất đẳng thức BCS được: $|T|=|x+y|\le \sqrt{(1^2 +1^2 )(x^2+y^2)} =2\sqrt 2.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $f(x)=x+\dfrac{2}{x-1}=x-1+\dfrac{2}{x-1}+1\ge 2\sqrt{(x-1).\dfrac{2}{x-1}}+1=2\sqrt 2+1.$ 

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx > 1\\\nx - 1 = \dfrac{2}{{x - 1}}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2.$ Vậy $m=2\sqrt 2 +1.$

Chọn B.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

(I) đúng vì BĐT $\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)-(a-b)(a^2+b^2)>0\Leftrightarrow ab(a-b)>0.$

(II) đúng vì BĐT $\Leftrightarrow a^3 -3a^2b+3ab^2-b^3>0\Leftrightarrow (a-b)^3>0.$

(III) đúng vì BĐT $\Leftrightarrow a^3 -3a^2b+3ab^2-b^3>0 \Leftrightarrow (a-b)^3>0.$

(IV) sai vì BĐT $\Leftrightarrow (a^3-b^3)(b-a)^3<0.$

Chọn D.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm $x, y.$ Ta có:

$x+y\ge 2\sqrt{xy}=2\sqrt{36}=12.$

Chọn A.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm $x, y.$ Ta có:

$\sqrt{xy}\le \dfrac{x+y}{2}=6.$

Chọn A.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm $x^2$ và $y^2$. Ta có:

$A=x^2+y^2\ge 2\sqrt{x^2y^2}=2\sqrt{(xy)^2}=4.$

Đẳng thức xảy ra $x=y=\sqrt 2.$

Chọn D.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

A sai vì $a-b<0$ (chưa chắc). Ví dụ: $a=b=3\ne0 \Rightarrow a-b =3-3=0.$

Tương tự D sai.

B sai vì $a^2-ab+b^2 =\Big(a-\dfrac{1}{2}b\Big)^2+\dfrac{3}{4}b^2>0( a, b \ne0).$

C đúng vì $a^2+ab+b^2 =\Big(a+\dfrac{1}{2}b\Big)^2+\dfrac{3}{4}b^2>0( a, b \ne0).$

Chọn C.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$2Q=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)$

$=(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\ge0 \ \forall a, b, c \in \mathbb R $

$\Rightarrow Q\ge 0 \ \forall a, b, c \in \mathbb R.$

Vậy chọn D.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số dương $a,b,c$

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2,$ đẳng thức xảy ra khi $a=b.$

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3\sqrt[3] {\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}=3$ , đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

$(a+b)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})\ge 2\sqrt{ab}.2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=4$, đẳng thức xảy ra khi $a=b.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $x>2 \Leftrightarrow x-2>0$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$P=x+\dfrac{1}{x-2}=(x-2)+(\dfrac{1}{x-2})+2\ge 2\sqrt{(x-2).\dfrac{1}{x-2}}+2=4$

Vậy GTNN của $P=4$

Dấu bằng xảy ra khi $x-2=\dfrac{1}{x-2}\Rightarrow x=3.$

Chọn D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét $VT = 1 + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}} + \dfrac{1}{{abc}}$

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương trên ta có:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{abc}}}}$; $\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}} \ge \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {abc} \right)}^2}}}}}$ và $abc \le {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)^3} = \dfrac{1}{{27}}$

Suy ra $VT \ge 1 + 9 + 27 + 27 = 64$

Dâu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = \dfrac{1}{3}$.

Chọn C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

${a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + {e^2} \ge a(b + c + d + e)$

$\Leftrightarrow \left( {\dfrac{{{a^2}}}{4} - ab + {b^2}} \right) + \left( {\dfrac{{{a^2}}}{4} - ac + {c^2}} \right) + \left( {\dfrac{{{a^2}}}{4} - ad + {d^2}} \right) + \left( {\dfrac{{{a^2}}}{4} - ae + {e^2}} \right) \ge 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {b - \dfrac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {c - \dfrac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {d - \dfrac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {e - \dfrac{a}{2}} \right)^2} \ge 0$

Chọn B.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $x - y = \left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right) - \left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) = a\left( {c + d} \right) + b\left( {c + d} \right) - a\left( {b + d} \right) - c\left( {b + d} \right)$

$ = a\left( {c - b} \right) + bd - cd = \left( {d - a} \right)\left( {b - c} \right) < 0$

Suy ra $x< y$

Tương tự: $x - z = \left( {a - c} \right)\left( {d - b} \right) < 0 \Rightarrow x < z$; $y - z = \left( {a - b} \right)\left( {d - c} \right) < 0 \Rightarrow y < z$

Chọn A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: ${(m + n)^2} \ge 4mn \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} \ge 2mn \Leftrightarrow {\left( {m - n} \right)^2} \ge 0$ (luôn đúng)

${(m + n)^2} + m + n \ge 0$ (luôn đúng vói mọi $m, n >0$)

Vậy ${(m + n)^2} \ge 4mn \Leftrightarrow {(m + n)^2} + m + n \ge 0$

Chọn C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $P + 3 = \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)$

Áp dụng bất đẳng thức $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{{x + y + z}}$ suy ra $\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}} \ge \dfrac{9}{{2\left( {a + b + c} \right)}}$

Do đó $P + 3 \ge \dfrac{9}{2} \Rightarrow P \ge \dfrac{3}{2}$; Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

Chọn D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

+ A đúng khi áp dụng BĐT Cauchy có: $1 + 2a \ge 2\sqrt {2a} ;\,\,2a + 3b \ge 2\sqrt {6ab} ;\,\,3b + 1 \ge 2\sqrt {3b} $

+ B đúng khi áp dụng BĐT Cauchy có: $1 + 2b \ge 2\sqrt {2b} ;\,\,2b + 3a \ge 2\sqrt {6ab} ;\,\,3a + 1 \ge 2\sqrt {3a} $  

+ C sai vì $a=1, b=2, c=3$

+ D đúng khi áp dụng BĐT Cauchy có: $\dfrac{a}{b} + 1 \ge 2\sqrt {\dfrac{a}{b}} ;\,\,\dfrac{b}{c} + 1 \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{c}} ;\,\,\dfrac{c}{a} + 1 \ge 2\sqrt {\dfrac{c}{a}} $

Chọn C.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: $ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}$

Do đó: $ab > a + b \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} > a + b \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} - 4\left( {a + b} \right) > 0 \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a + b - 4} \right) > 0$

$ \Leftrightarrow a + b - 4 > 0 \mbox{ (vì } a+b>0) \Leftrightarrow a+b>4.$

Chọn B.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Thật vậy 

$P + 3 = \dfrac{a}{{b + c}} + 1 + \dfrac{b}{{c + a}} + 1 + \dfrac{c}{{a + b}} + 1 = \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}} \right)$

$= \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {b + c} \right) + \left( {c + a} \right)} \right] \cdot \left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}} \right)$

$\ge \dfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt[3]{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \cdot 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}}} = \dfrac{9}{2} \Rightarrow P = \dfrac{9}{2} - 3 = \dfrac{3}{2}$

Chọn D